高中物理 2.3《匀速圆周运动的案例分析》学案沪科版必修2

匀速圆周运动的案例分析 学案
【基础知识精讲】
1.向心力的来源
向心力并不是一种特殊的、另外的力，它可以由一个力或几个力的合力来提供.在解决圆周运动有关问题时，分析向心力的来源是非常重要的，以下是几类典型情况.
1)水平面的圆周运动
①汽车转弯
汽车在水平的圆弧路面上的做匀速圆周运动时(如图6-1甲所示)，是什么力作为向心力的呢?如果不考虑汽车翻转的情况，我们可以把汽车视为质点.汽车在竖直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一对平衡力；如果不考虑汽车行驶时受到的阻力，则汽车所受的地面对它的摩擦力就是向心力，如图6-1乙所示.如果考虑汽车行驶时受到的阻力F f ，则静摩擦力沿圆周切线方向的分F t (通常叫做牵引力)与阻力F f 平衡，而静摩擦力指向圆心的分力F n 就是向心力，如下图丙所示，这时静摩擦力指向圆心的分力F n 也就是汽车所受的合力.
②火车转弯
火车转弯时，是什么力作为向心力呢?如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F 就是使火车转弯的向心力(如下左图所示).设
转弯半径为r ，火车质量为m ，转弯时速率为v ，则，F=m r
v 2
.由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.
实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r 和规定的行驶速度v 0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力F N 的合力来提供，如上右图所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtg α=mgtg α，
故mgtg α=m r
v 20, 通常倾角α不太大，可近似取tg α=h/d ，则 hr=d g
v 20.
我国铁路转拐速率一般规定为v 0=54km/h,即v 0=15m/s,轨距d=1435mm,所以hr 为定值.铁
路弯道的曲率半径r 是根据地形条件决定的.
2)竖直平面内的圆周运动
①汽车过凸桥
我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的
质量为m ，过最高点时的速度为v ，桥面半径为r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如上图所示，重力G 和桥对它的支持力F 1的合力就是汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下(指向圆心)所以
G-F 1=m r v 2，则F 1=G-m r
v 2
. 汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力
故压力F 1′＝F 1＝G-m r
v 2
. ②水流星
水流星中的水在整个运动过程中均由重力和压力提供向心力，如下图所示，要使水在最高点不离开杯底，则N ≥0
由 N ＋mg=m R
v 2
. 则 V ≥gR
2.离心现象及其原因
物体作圆周运动时，如果m 、r 、v 已确定，那么它所需要的向心力F ＝m r
v 2
就已确定.当外界不能满足它所需的向心力时，物体必将偏离圆轨道，其中有两种情况①F 法＝0，沿切线离
开圆心.②F 法＜m r
v 2
沿曲线远离圆心. 【重点难点解析】
本节重点是具体问题中分析向心力，综合运用牛顿定律解决问题.难点是在解决实际问题时仍然混淆向心力与合力，抓不住临界点的特征，如竖直面内圆周的最高点等，这都要通过反复的比较分析和训练才能逐步提高能力.
例1 长度不同的两根细绳，悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内作圆锥摆运动，如下图所示，则( )
A.它们的周期相同
B.较长的绳所系小球的周期较大
C.两球的向心力与半径成正比
D.两绳张力与绳长成正比
分析 设小球作圆锥摆运动时，摆长为L ，摆角为θ，小球受到拉力为T 0与重力mg 的作用，由于加速度a 水平向右，拉力T 0与重力mg 的合力ma 的示意图如下图所示，由图可知
mgtg θ=ma
因 a=ω2R=22
T 4 Lsin θ
得T=2πg L /cos θ，
Lcos θ为旋转平面到悬点的高度，容易看出两球周期相同
T 0sin θ=m 22
4T
πLsin θ T 0=22
4T
π L 2
2
4T π一定，T 0∝L F 向＝22
4T
π r ，F 向∝r 故正确选项为A 、C 、D
例2 质量为m 的汽车，以速度V 通过半径R 的凸形桥最高点时对桥的压力为 ，当速度V ′＝ 时对桥的压力为零，以速度V 通过半径为R 凹型最低点时对桥的压力为 .
分析 汽车以速率V 作匀速圆周运动通过最高点时，牵引力与摩擦力相平衡，汽车在竖直方向的受力情况如下图所示.
汽车在凸桥的最高点时，加速度方向向下，大小为a=v 2/R,由F=ma
mg-N 1=mv 2/R
所以，汽车对桥的压力
N 1′=N 1=mg-mv 2/R
当N 1′=N 1=0时，v ′=Rg .
汽车在凹桥的最低点时，竖直方向的受力如下图所示，此时汽车的加速度方向向上，同
理可得，N 2′=N 2=mg ＋mv 2/R.
小结 由分析可以看出，圆周运动中的动力学问题只是牛顿第二定
律的应用中的一个特例，与直线运动中动力学的解题思路，分析方法完
全相同，需要注意的是其加速度a=v 2/R 或a=ω2R 方向指向圆心.
【难题巧解点拨】
例3 在水平转台上放一个质量为M 的木块，静摩擦因数为μ，转
台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M ，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为m 的木块，如下图所示，求m 与转台能保持相对静止时，M 到转台中心的最大距离R 1和最小距离
R 2.
分析 M 在水平面内转动时，平台对M 的支持力与Mg 相平
衡，拉力与平台对M 的摩擦力的合力提供向心力.
设M 到转台中心的距离为R ，M 以角速度ω转动所需向心力
为M ω2R ，若M ω2R ＝T ＝mg ，此时平台对M 的摩擦力为零.
若R 1＞R ，M ω2R 1＞mg ，平台对M 的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律
f+mg=M ω2R 1，当f 为最大值μMg 时，R 1最大.所以，M 到转台的最大距离为
R 1=(μMg+mg)/M ω2.
若R 2＜R ，M ω2R 2＜mg ，平台对M 的摩擦力水平向右，由F=ma.
mg-f=M ω2R 2
f=μMg 时，R 2最小，最小值为R 2=(mg-μMg)/M ω2.
小结 本例实际上属于一个简单的连接体，直线运动中关于连接体的分析方法，在圆周
运动中同样适用.
例4 长L=0.5m ，质量可忽略的杆，其下端固定于O 点，上端连接一个零件A ，A 的质量为m=2kg ，它绕O 点做圆周运动，如下图所示，在A 通过最高点时，求下列两种情况下杆受的力：
(1)A 的速率为1m/s ，(2)A 的速率为4m/s.
分析 杆对A 的作用力为竖直方向，设为T ，重力mg 与T 的合力提
供向心力，由F=ma ，a=v 2/R ，得mg+T=mv 2/R
T=m(v 2/R-g)
(1)当v=1m/s 时，T=2(12/0.5-10)N=-16N
(2)当v=4m/s 时，T=2(42/0.5-10)N=44N
(1)问中T 为负值，表明T 与mg 的方向相反，杆对A 的作用力为支持力.
讨论(1)由上式，当v=Rg 时，T ＝0，当v ＞Rg 时，T 为正值，对A 的作用力为拉力，当v ＜Rg 时，T 为负值，对A 的作用力为支持力.
(2)如果把杆换成细绳，由于T ≥0，则有v ≥Rg .
例5 如下图甲所示，质量为m 的物体，沿半径为R 的圆形轨道自A 点滑下，A 点的法线为水平方向，B 点的法线为竖直方向，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物体滑至B 点时的速度为v ，求此时物体所受的摩擦力.
解析：物体由A 滑到B 的过程中，受到重力、
轨道对其弹力及轨道对其摩擦力的作用，物体一般
做变速圆周运动.已知物体滑到B 点时的速度大小
为v ，它在B 点时的受力情况如图6-12乙所示.其
中轨道的弹力F N 、重力G 的合力提供物体做圆周运
动的向心力，方向一定指向圆心.故 甲 乙
F N -G=m R v 2 F N =mg+m R
v 2
， 则滑动摩擦力为
F 1=μF N =μ(mg+m R
v 2
). 这里的分析和计算所依据的仍是普遍的运动规律——牛顿第二定律，只是这里的加速度是向心加速度.向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动得出的，但向心力公式F ＝m r
v 2
实际上就是牛顿第二定律的一种特殊形式，因此也适用于变速圆周运动.在变速圆周运动中，上式中的v 必须用对应位置的瞬时速度值.由图6-12乙可知，物体所受的合力是轨道的弹力F N 、摩擦力F 1重力G 这三个力的合力，方向应斜向上，在此我们再次看到物体做变速圆周运动时的向心力与其所受的合力是不同的.
【典型热点考题】
例1 如下图所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平面，另一端通过光
滑小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N ，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态?(g ＝
10m/s 2)
解析：f m ＝2N ＜mg ＝3N 故水平面必须转动，m 才能静止.
据静摩擦力的可变性，有两种情况
mg+f m ＝MR ω12，ω1＝02
.06.05⨯ mg-f m ＝MR ω22
,ω2＝2.06.01⨯ 例2 如下图所示，光滑水平面上钉两个钉子A 和B ，相距为20cm 。

用长度为1m 的细绳，一端系一只质量为0.4kg 的小球，另一端固定在钉子上。

开始时小球与钉子A 、B 均在同一直线上，然后使小球以2m/s 的速率，开始在水平面上作匀速圆周运动。

若绳子能承受的最大张力是4N ，那么从开始到绳断所经历的时间是( )
A.0.9πs
B.1.2πs
C.1.4πs
D.2.4πs
解析：由F 大＝m 小R v 2得R 小＝大
F m v 2
＝0.4(m)，即小球作圆周运动的最小半径为0.4m 。

由图可知，小球每转动半圈运动半径缩短0.2m 。

小球从图示位置转过一圈半运动半径将达0.4m ，接着尚可继续转半圈而绳子不断。

从开始到绳断小球应转满两圈。

t ＝v R R R R 4
321ππππ+++＝1.4π(S)。

故C 正确.
注意：向心力公式实质上是牛顿第二定律在圆周运动中的具体表达式。

【同步达纲练习】
1.若火力按规定速率转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，则火车以较小速率转弯时
( )
A.仅内轨对车轮有侧压力
B.仅外轨对车轮有侧压力
C.内、外轨对车轮都有侧压力
D.内、外轨对车轮均无侧压力
2.把盛水的水桶拴在长为l 的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是( ) A. gl 2 B. 2/gl C. gl D.2gl E.0
3.A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，静摩擦系数均为μ，A 的质量为2m ，B 、C 的质量均为m ，A 、B 离轴为R ，C 离轴为2R ，则当圆台旋转时：(设A 、B 、
C 都没有滑动，如下图所示)( )
A.C 物的向心加速度最大
B.B 物的静摩擦力最小
C.当圆台转速增加时，C 比A 先滑动
D.当圆台转速增加时，B 比A 先滑动
4.如下图所示：在以角速度ω旋转的光滑的细杆上穿有质量分别为m 和M 的两球，两球用轻细线连接.若M ＞m,则( )
A.当两球离轴距离相等时，两球都不动
B.当两球离轴的距离之比等于质量之比时，两球都不动
C.若转速为ω时两球不动，那么转速为2ω时两球也不会动
D.若两球滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
5.如下图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO′匀速转动，下列关于小球的说
法中正确的是( )
A.小球受到重力、弹力和摩擦力
B.小球受到重力、弹力
C.小球受到一个水平指向圆心的向心力
D.小球受到重力、弹力的合力是恒力
6.m为在水平传送带上被传送的物体，A为终端皮带轮.如下图所示，A轮半径为r，则m 可被平抛出去时，A轮的角速度至少为 .
7.如下图所示，在光滑的水平面上钉两个钉子A和B，相距20cm.
用一根长1m的细绳，一端系一个质量为0.5kg的小球，另一端固定
在钉子A上，开始时球与钉子A、B在一直线上，然后使小球以2m/s
的速率开始在水平面内做匀速圆周运动.若绳子能承受的最大拉力为4N，那么从开始到绳断所
经历的时间是多少?
【素质优化训练】
1.宽阔的路面上，假设汽车和地面的滑动摩擦力F等于静摩擦力，汽车的质量为m，汽车以速度v行驶，司机突然发现前面不远处有一深沟垂直于汽车的前进方向，如果汽车急刹车，则汽车滑行距离s1等于多少可停车?如果司机急转弯做圆周运动，半径R多大?为了避开深沟，试计算并讨论司机应采取上述两种方式中的哪一种方式来避免事故的发生.
2.如下图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P，与穿过中央小孔H的轻绳一端连着.平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a、角速度为ω1的匀速圆周运动.若绳子迅速放松至某一长度b而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周运动.求质点由半径a到b所需的时间及质点在半径为b的圆周上运动的角速度.
【生活实际运用】
汽车沿半径为R的圆跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，
路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出
圆跑道，车速最大不能超过多少?如右图甲所示是汽车沿圆跑道行驶
时的背影简图，试根据图中车箱的倾侧情况和左右轮胎受挤压后的
形变情况判断圆跑道的圆心位置在左侧还是右侧?
解析：如果不考虑汽车行驶时所受的阻力，那么汽车在圆跑
道匀速行驶时，轮胎所受的静摩擦力F(方向指向圆心)提供向心
力.车速越大，所需向心力也越大，则静摩擦力F也越大，但本题
中的向心力不可能超过路面作用于车的静摩擦力的最大值F m，即车
重的1/10.设车速的最大值为v m，则
F m ＝m R v m 2⇒10mg ＝m R
v m 2， 解得 v m ＝10
gR . 汽车沿半径为R 的圆形跑道匀速行驶时的速率不能超过
10gR ，不然会冲出圆跑道，因为这时最大静摩擦力不足以提供汽车做圆周运动所需的向心力，汽车就脱离原来的圆跑道作离心运动了.
【同步达纲练习】参考答案
1.A
2.C
3.ABC
4.CD
5.B
6.r
g 7.3.768s 【素质优化训练】参考答案
1.s 1=F m V 22，R=F m V 2
应采用刹车方式 2.(1)t=a a b 122ω- (2)ωb =212b
a ω。