钢梁-柱落锤冲击实验及数值模拟分析

钢梁-柱落锤冲击实验及数值模拟分析
山东建筑大学硕士学位论文
Experiment And Numerical Simulation Analysis Of Steel Beam—
Column Impacted By Dropping Harmmer
Li Yueqiang(Structural Engineering)
Directed by Xi Feng
ABSTRACT
In recent years，steel structure has been used increasingly in civil engineering due tO its
and widely recognized advantages，which promotes the development of relevant design theory
academic research to a certain extent．Specially,study on the resistance of steel structures under
and impact load is becoming a hot spot．Within the design life，in addition to the explosion
conventional design load，steel stuctures also bear accidental explosion or impact load sometimes，SO they must have the appropriate resistance．The dynamic response under impact load of steel beams and columns，which are the main load-beating members，is the first problem to be solved．At the same time，it Can also provides the basis for further design．This article‘mainly studys the dynamic response of I-shaped cross-section beam—columns under
impact load，including impact experiment,finite element simulation and the equivalent single degree of freedom model analysis．
In the experiment,we use a cylindrical helical compression spring tO apply the axial load，
and dynamic record the deformation process and strain of the member using IligIl—speed cameras
signal acquisition system．Experimental re钒dts show that：when subjected tO lateral midpoint impact effect，simply supported beam-column members appear not only bending deformation in the plane but also bending and torsional deformation out of the plane；and the local buckling of web is the reason of bending and torsion deformation；the bending deformation in the plane and torsional deformation out of the plane will increase as the increasing impact velocity and axial load，but a specific range of impact velocity and axial load will decrease torsional deformation out of the plane；changes in axial force relate to the axial deformation and the stiffness of the spring，which indicates that using less rigid
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compression spring tO apply
趾axial load is suitable ．
Using the software ANSYS ／LS-DYNA,simulation about the experiment
has been made ． By the comparison of deforming process ，the final displacement and strain data,we find out that both finite element analysis and experiment results have a good match ，showing
that it is feasible to study bending and torsional buckling using
the finite element numerical simulation
method ．On this basis ，further analysis of the contact surface friction ，axial force ，drop
hammer mass ，impact velocity,boundary conditions ，etc ．on the influence of bending and torsion
deformation has been made as well as the verification about the single degree of freedom mndel
Using finite element software to study the dynamic response Can provide accurate
analysis results,but its operation process is complex and requires higher theoretical level ， While the use of single degree of freedom model which is commonly used in
dynamics is just the
opposite ．In this article ，the order of plastic hinges formed in the hyperstatic member is
determined by ultimate load theory ．Then according to mechanics of material s ，deformation
curves in various
deformation stages are received ．Combined with Hamilton’S principle
and other dynamics theory,differential equations of motion and its coefficient expressions about
beam·column members with rotational constraint boundary
conditions are deduced ．The linear acceleration method is used to get numerical calculations of the equation of motion ．In order
to reasonably considering the strain rate effect ，we assume that plastic hinges have fixed
length
distribution and then calculate plastic strain and strain rate according to angle turned of plastic hinge ．Ultimately,the results of single degree
of freedom model and finite element simulation
are compared ，to verify the applicability of equivalent single degree of freedom
model of the
beam —column members and the proposed method
in this paper ．
Key Words ：Steel Beam —column ，Impact experiment,Bending and torsion buckling ， Finite
element ，Single degree of freedom ，Rotational constraints
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目录
摘要．．I ABS田RACT ．II
第l章绪论．1 1．L研究背景及意义I 1-2研究现状2 L 2．I静力状态下钢梁的弯扭屈曲研究．2
L 2．2火灾情况下钢梁的弯扭屈曲研究4 1．2．3冲击荷载下钢梁的动力屈曲研究．4 1．2．4等效单自由度模型应用研究．5 1．3本文研究内容．．5
第2章动力屈曲及单自由度模型基本理论．7 2．1引言．7 2．2钢材的动态力学性能．．7 2．3动力屈曲概念及判定准则．8 2．4等效单自由度模型相关理论．．9 2．4．1单自由度模型运动微分方程的推导．9 2．4．2极限荷载基本理论．．10 2．4．3线加速度法．．1l 第3章冲击作用下梁一柱动力响应的实验分析．14 3．1实验介绍．．14 3．1_l试件设计．．14
3．L 2实验装置．14 3．1．3钢材力学性能．．．17
3．2实验结果分析．18 3．2．1变形测量．18 3．2．2压缩弹簧轴力变化．．18 3．2．3构件变形形式．19
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第4章冲击作用下梁一柱动力响应的有限元模拟．2l 4．1 ANsYS几S-DYNA程序介绍．．21 4．2 ANsYs／Ls—DYNA程序求解步骤．．22 4．3 ANsYs／Ls—DYNA算法简介23 4．4有限元模型23 4．4．1单元类型．23 4．4．2材料模型．．23 4．4．3荷载、边界约束和接触定义．24 4．4．4网格划分．．25 4．5有限元结果与实验结果对比．26 4．5．1变形过程比较26 4．5．2中点竖向位移及侧向位移比较．27 4．5．3应变比较．27 4．6有限元模拟参数分析．29 4．6．1摩擦力对梁一柱动力响应的影响29 4．6．2轴力对梁一柱动力响应的影响．．29 4．6．3撞击速度对梁一柱动力响应的影响．30 4．6．4不同质量一速度组合对梁一柱动力响应的影响．30 4．6．5横向加劲肋对梁一柱动力响应的影响．．30 4．7小结3l 第5章梁一柱等效单自由度模型数值计算．32 5．1梁一柱体系等效单自由度(sDOF)模型运动微分方程的推导32 5．1．1弹性变形阶段运动方程及各系数32 5．1．2弹塑性变形阶段运动方程及各系数．34 5．1．3塑性变形阶段运动方程及各系数．．38 5．2运动微分方程的求解．43 5．2．1求解实例．．45 5．3小结52第6章结论与展望．53
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6．1结论b3 6．2展望54附录：程序编辑介绍55参考文献．63后记．66攻读硕士学位期间论文发表及科研情况．67
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第1章绪论
1 1研究背景及意义钢结构与其他建筑材辩结构相比，有许多优点，诸如强度高、重量轻，材性
均匀、
可靠度高，工业化水平高、工期短，密封性能好，抗震性能好，耐热性较好等。

近年来，随着我国经济建设的迅猛发展，钢结构也迎来了前所未有的发展机遇，应用领域不断扩
展，主要包括厂房、仓库、大跨度公共建筑、桥梁、高耸结构等，见图1 1。

由于钢材强度较高，遵循经济适用原则，钢构件的截面尺寸一般较小且通常为空间薄壁杆件，这就造成了钢结构设计显著不同于其他结构的一个方面即稳定性设计，包括整体稳定、局部稳定。

钢结构的整体失稳破坏，往往具有突发性且会造成灾难性的后果，因此《钢结构设计规范》中对各种受力状态下构件的整体稳定做出了严格规定：而局部失稳虽然不会造成结构的整体破坏，却会造成较大的局部变形，甚至成为整体失稳的诱因，《钢结构设计规范》中通过增加横向、纵向加劲肋的方法保证钢构件的局部稳定。

鉴于静荷载下钢结构稳定设计的重要性，研究受冲击荷载作用时钢结构构件的稳定性及其动力响应是十分必要的，可为其抗冲击设计提供依据。

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罅● 蝴会展中心厂房斜拉桥电规塔
圄11钢结构应用实例
众所周知，建筑结构所承受的荷载可分为三类：固定荷载、可变荷载及偶然荷载，本文着重研究偶然荷载中的一种一一冲击荷载所造成钢构件的动力响应。

生产生活中，形成冲击荷载的原因有很多，主要包括；施工过程中，高处物体的坠落与下部构件发生碰撞；工业厂房中起吊重物对厂房柱的横向撞击；事故中的汽车、飞机等对建筑物、构筑物的碰撞；爆炸所形成的碎块对周围建筑物的撞击等“1。

建筑结构作为人们最重要的生活场所，其原始功能是为人类提供保护，避免来自人万方数据
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为或自然的伤害。

尤其是恐怖袭击及其他灾害频繁发生的今天，人们将更加关注建筑结构的保护功能，这也是结构抗冲击研究成为热点的主要原因。

建筑结构一旦遭受撞击而发生损伤或破坏，将会给人们的生命财产安全造成重大损失，因此，工程界、学术界对其抗爆抗冲击性能越来越重视。

由于钢结构静力稳定设计的重要性，决定了要提高其抗爆抗冲击性能，必须着重关注其动力稳定性。

而且，只有先研究结构、构件的动力响应，才能进一步找到提高抗爆抗冲击性能的途径，为设计计算提供依据。

不仅如此，学术研究的方法有时候并不适用于工程设计，有限元数值模拟属于前者，考虑到有限元建模、数据处理等的复杂性，难以符合工程设计简洁规范统一的要求。

为方便抗爆抗冲击设计工程应用，理想的方法是提出一些简化的计算模型，而计算精度又符合要求，因此动力学中常用的单自由度模型便成为学者们关注的对象。

本文利用梁一柱构件的等效单自由度模型计算其动力响应并与有限元数值模拟的结果进行比较，说明将该方法运用于结构抗冲击设计的可行性。

结构构件的动力失稳有两个方面需要考虑，材料及结构本身。

目前，静力状态下的稳
定性研究己比较成熟，而动力稳定方面涉及到几何、材料的非线性，局部屈曲与整体屈
曲的耦合，比较复杂，针对动力稳定问题的研究仍处于起步阶段。

另一方面，单自由度模型对于
弹性动力响应的求解有很好的精度，一旦涉及塑性变形，需要考虑的问题增多，诸如应变
率效应、加卸载准则等，使得难以精确描述构件的动力响应，因此有必要考察其塑性变形阶段
的适用性。

本文采用实验、有限元模拟及单自由度模型求解相结合的方法，三者相互印证，希望借此给出正确结论，为结构抗冲击设计提供有益借鉴。

由于目前针对钢结构的
撞击试验比较少，涉及动力屈啦及单自由度模型的也不多，因此本文的研究内容是很有意
义的。

1．2研究现状
目前，有关静力载荷及火荷载作用下钢结构整体稳定、局部稳定的研究已比较成熟，大
量研究成果已经形成规范乜刊，指导钢结构设计施工等工作。

然而，关于冲击荷载作用下钢
结构的稳定研究仍处于起步阶段。

对于等效单自由度模型，用于求解爆炸荷载作用时的
动力响应较多，涉及冲击荷载的则很少，例如我国《建筑结构荷载规范》
(GB50009-2012)中指出可以采用单自由度模型确定爆炸荷载的等效静力荷载。

1．2 l静力状态下钢梁的弯扭屈曲研究
钢结构构件通常为杆件，根据平面内弯曲刚度的大小，截面形心轴分为强轴、弱轴。

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当荷载作用于较大刚度平面内时，不仅会有平面内的弯血变形，有时还会产生平面外的弯曲
及扭转变形。

夏志斌曾定义过弯扭屈曲的概念：跨度中间无侧向支承的钢梁在最大刚度平面
内承受横向荷载或力矩作用时，当荷载达到一定数值，常迅速产生较大的侧向位移“和扭
转角e(见图1．2)，使梁丧失承载能力，这一现象叫做侧向弯扭屈曲或丧失整体稳定嫡1。

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图1．2工宇型钢梁失稳示意图
通常把发生弯扭屈曲时的弯矩称为临界弯矩。

理想状态下，当构件最大弯矩值低于临
界弯矩值时，钢梁只有竖向位移，或者由于初始缺陷的影响，会有很小的侧向位移队
转角e；当达到l临界弯矩时，“与0值将快速增大，使构件丧失稳定性，于是将临界弯矩作为钢梁所能承受的最大弯矩。

根据弯扭屈凸时构件截面是否出现屈服，弯扭屈曲又
有弹性与非弹性之分怕3。

关于弹性弯扭屈曲，比较著名的是葛拉克∞1等利用能量法推出的开口薄壁杆件的临
界弯矩计算公式：
炉届鲁弘一+pjp，+
式中：l卜常数，与约束条件有关；Q一荷载作用位置与截面剪心的
距离；p。

一修正系数，与约束条件、荷载形式有关：p2一荷载作用位
置影响系数，与约束条件、荷载形式有关；B。

一单轴对称截面修正系
数，与约束条件、荷载形式有关：艮一不对称截面常数，对称截面为零；
皇
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R一截面残余应力；EI一面侧向抗弯刚度：
EI。

—截面翘曲刚度；
G】一面抗扭刚度。

公式1．1经过很多实验、理论验证，已作为各国规范相关计算的理论基础嘲。

该公
式适用于单轴对称或双轴对称的工字形截面构件。

关于非弹性弯扭屈曲，当达到临界弯矩时，横截面已有部分纤维屈服，整个横截面划分为弹性区、塑性区。

塑性区钢材的变形模量要小于弹性区，截面弯曲刚度显著降低，因此，其临界弯矩也显著低于弹性弯扭屈曲的临界弯矩。

通常，中等长细比的梁会发生非弹性弯扭屈曲，长细比较大的梁会发生弹性弯扭屈曲晦1。

由于数学计算比较困难，以前经常通过引入一些简化假设来求解，后来，柏拉西用切线模量替换弹性弯扭屈曲计算公式中的弹性模量得出了弹塑性弯扭屈曲临界应力下限n3。

1963年，美国学者加伦布斯率先考虑了残余应力对非弹性弯扭屈曲的影响Ⅲ。

对于此类问题，国外学者研究成果较多，而我国学者自1979年才开始涉足这方面的研究∽01。

1．2．2火灾情况下钢梁的弯扭屈曲研究
Bailey首先关注并研究了此类问题，他运用SAFR程序进行计算分析，对两端简支的工字型钢梁三维建模，计算得出了钢梁开始失稳至最终破坏的完整过程n¨。

VilaReal 等利用数值模拟的方法研究火灾下钢梁的弯扭屈曲，通过与EC3 ENV 1993．1．2中相应设计曲线相比较，得出新的计算公式，而后又通过实验验证了公式的正确性，EC3 EN 1993．1-2已经采用该公式m1。

英国规范EurocDde3及我国规范《建筑钢结构防火设计规程》中给出了此类问题的临界温度计算公式n3’1“。

1．2．3冲击荷载下钢梁的动力屈曲研究王永昌n5‘蚓等对一端固支一端滑动支撑箱型钢柱受到横向撞击作用的动力响应和
破坏模式进行了数值模拟，研究发现整体失稳破坏是主要的破坏模式，至于翼缘局部较大的屈曲则是破坏导致的结果而不是引起破坏的原因；冲击动能对钢柱的破坏有着至关重要的作用，相同的动能，不同的质量和速度，对柱子的破坏影响很小；除轴向力较小(小于o．25倍的承载力)的情况，塑性铰的位置基本不受撞击位置的影响，一般在柱中点位置出现。

另外，还提出一种简单方法计算钢柱临界撞击速度，并与ABAQUS模型进行对比，取得了很好的一致性。

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王蕊n"等对侧向撞击下混合结构构件进行研究，指出边界约束条件及套箍作用与构
件抗冲击性能的关系。

秦庆华n叫等对固支薄壁圆管受落锤撞击作用时的动态响应进行了实验及仿真研究，得出构件的失稳变形形式及影响因素。

宁建国n蛳1等对铝合金悬臂深梁
受到平头圆柱体正向撞击时的稳定性进行了实验和理论研究，指出构件在动力载荷作用下能激发平面外的失稳，而且有多个屈曲变形模态。

1．2．4等效单自由度模型应用研究
2011年，加拿大学者Amr A．Nassr，A．GharIi Razaqpur。

1‘2引等人对简支钢梁、钢柱进行了现场爆炸试验，并作了有限元模拟和单自由度模型求解，三者结果有比较好的一致性。

研究结论主要有：根据实验结果拟合出应变率一爆炸换算距离的关系；通过分析功率谱密度验证了SDOF模型抗爆设计中～个重要的理论假设——动力响应的第一振型占主导地位；存钢梁的单自由度模型分析中采用单一应力放大系数，使得结果与实际误差偏大，指出减小误差的方法——更精确的考虑应变率效应；分析了爆炸荷载作用下钢柱的P．6
效应，指出在弹性响应阶段轴向力不超过0．25倍静态承载力的情况下，轴力的
存在延长了体系的振动周期，使得位移响应减小；在塑性响应阶段则会增大体系的位移；通过对应变实验数据的微分运算，得出应变率时程曲线，并得出应变率沿横截面线性分布
的结论，但限于爆炸试验规模，并没有讨论SDOF模型的适用范围。

我国《建筑结构荷载规范》(GB50009．2012)阻朝首次将爆炸、冲击荷载纳入其中，指出确定爆炸荷载等效均布静力荷载的基本步骤：1)确定爆炸冲击波的波形参数，即等效动荷载；2)按等效单自由度体系强迫振动的方法分析得到构件的内力；3)根据构件最大内力(弯矩、剪力或轴力)等效的原则确定等效均布静力荷载。

1．3本文研究内容综上所述，在静力载荷作用下钢构件的稳定性研究成果众多，但冲击荷载作用下的
相应研究较少，尤其是包含轴向荷载的钢柱动力稳定性研究；另外我国《建筑结构荷载规范》中只对爆炸荷载引入单自由度模型，对于撞击荷载，则只给出了电梯竖向撞击、汽车撞击、直升飞机非正常着陆撞击荷载的简单计算公式，并没有采用单自由度模型。

因此，本文的研究内容如下：
(1)对梁．柱构件受撞击荷载作用的动力响应进行实验研究，实验中考虑轴向荷载与落锤撞击速度的不同组合，通过比较不同工况构件跨中竖向位移、侧向位移，研究分析轴向荷载、撞击速度等对构件动力响应的影响；
C
(2)利用ANSYS／LS-DYNA有限元软件对实验中各构件动力响应进行数值模拟，并将模拟结果与实验结果进行对比，验证有限元模拟方法的正确性，并以此为基础，采用模拟的方法进一步分析摩擦力、轴力、撞击速度、横向加劲肋等对梁．柱构件受落锤撞击作用动力响应的影响；
(3)根据哈密顿原理，将撞击作用下梁．柱构件简化为等效单自由度模型，其中考虑5种不同边界条件，包括简支、一端固支一端滑动支撑、一端固支一端滚轴支撑、简支+两端弹性转动约束、简支+一端弹性转动约束，分别得到了运动微分方程及其系数；并对各运动方程进行数值计算，将其结果与有限元模拟结果进行对比，验证本文单自由
度模型的适用性。

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第2章动力屈曲及单自由度模型基本理论
2．1引言
冲击荷载指的是将一定动量瞬时作用到结构构件上且荷载值随时间迅速改变的荷载，其作用时间很短。

钢材在受到冲击荷载作用时，力学性能会有显著改变，因此有必要了解其动态性能。

另外，钢构件的弯扭屈曲涉及到材料、几何非线性以及整体、局部稳定等众多方面，因此需要对动力屈曲的基本概念有一定了解。

单自由度模型运动微分
方程的推导要用到哈密顿原理等：其在弹塑性变形阶段的应用涉及到极限荷载相关理论，包
括结构构件极限荷载的计算、增量变刚度法、塑性铰形成顺序及塑性铰的特点等；求解运
动微分方程要用到线加速度法等，因此需要了解这些基本理论。

2．2钢材的动态力学性能
冲击荷载作用时间通常在毫秒级，而且荷载值较大，这就造成钢结构在受到冲击荷载
作用时会产生很高的应变率(102 103s。

1)，而静力作用下的应变率只有10。

5 S-1，二者差
别巨大，导致钢材的力学性能显著改变，尤其是屈服强度提高很多，因此分析钢结构的
动力响应时必须考虑应变率效应。

由于高应变率下，钢材内部会发生一系列复杂的物理
化学改变，难以用理论分析的手段精确描述，因此现阶段主要通过实验手段去研究，内容
主要有动态本构关系、动态撕裂、冲击韧性等乜引。

关于动态本构关系，常用的实验
方法有膨胀环测试技术、Hopkinson杆测试技术、Taylor圆柱测试技术等，而对于动态撕裂、冲击韧性等则常采用落锤测试技术瞳7’2引。

目前，有关材料在高应变率下的反应根据应力状态不同主要可划分为三个不同范围：流体动力学范围、线弹性范围及有限塑性应变范围。

流体动力学范围指的是固体材料在受到很高应力作用时不考虑材料的强度，而将材料视为无粘性可压缩的流体，进而可以建立包含压力、温度、密度的状态方程以描述本构关系。

线弹性范围内可以利用胡克定律描述材料应力应变关系，此时应力要小于材料屈服应力且控制方程也是线性的。

有限塑性应变范围用以处理承受中等应力状态的材料，是指材料发生了有限的塑性变形，需要考虑有限应变张量、应变率效应及时间变化等特点，以高度非线性的方程组来描述本构关系乜93。

固体材料动态本构关系的确定非常复杂，学术界通常是利用拟合实验数据的方式提出
不同的本构关系，主要包括：粘弹性模型、经验型动态本构模型、拟线性本构关系理论、位错理论、Perzyna三维弹一粘塑性模型理论、粘弹粘塑性模型、一致率型弹一粘塑
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性理论、损伤累积模型、Malvem一维过应力理论和基于不可逆热力学为基础的应变率相关
本构方程等动态本构方程口 3。

本文在有限元模拟及单自由度模型数值计算中采用计及
应变率效应的Cowper-Symonds本构模型。

2．3动力屈曲概念及判定准则结构构件的稳定性研究主要是指当系统受到外界微小干扰作用时，是否能保持稳定
的平衡，若失去稳定平衡状态则称为失稳，而从变形角度则称为屈曲，所谓动力屈曲是研究动力荷载作用下发生的失稳。

1960年，Hofr提出了结构动态稳定性较有影响的定义，从而奠定了研究此类问题的基础，具体为：(1)在设计使用年限内，受到微小扰动之前结构系统动力平衡，给定许可的扰动后，若系统的运动不超过一定限值，则称该系统是动力稳定的，若超过一定的界限，则称该系统动力屈曲，所受荷载称为临界动力荷载：(2)许可扰动应该由所处环境的概率分布决定，同时还要考虑安全和经济方面的要求，主要包括几何缺陷、荷载位置偏心和材质不均匀等；(3)一定的运动限值不能影响结构的正常使用；(4)结构的设计使用年限需要考虑使用价值、经济性等。

按照Hoff给出的定义，要判定结构的动力屈曲与否，必须细致了解结构的运动状态H川。

结构构件动态屈曲分析中，最受关注的特征量包括临界荷载、屈曲模态及屈曲时间。

临界荷载是指使结构构件发生屈曲时的最小动力荷载，其在实际工程应用中意义重大。

屈曲模态是指结构构件发生屈曲时的几何构形，在屈曲发展过程中不断变化，人们往往关注初始模态和最终残余模态。

屈曲时间是指从开始施加冲击荷载直到结构构件屈曲的时间，与动力屈曲判定准则关系密切“¨。

研究结构动力屈曲，首先要建立相应判定准则。

目前，学术界动力屈曲判定准则众多，但侧重点不同，得出的临界值差别很大心瑙1。

归纳起来可分为三大类：一是根据结构的动力响应来判定。

其中影响较大的是由Budiansky和Rothml建立的B—_R准则，该准则定义荷载微小增量使结构动力响应突然显著增加的荷载为临界荷载，首先分析结构构件的动力响应，确定不同荷载状况与动力响应特征值的曲线性态，从而得出动力响应特征值的最大值并据此确定临界荷载。

B_R准则被很多学者所认可，且使用方便，但是缺乏坚实的理论依据，对于屈曲后分析并不适用；二是根据能量法确定的判定准则，即根据系统能量在运动中的改变来判定其稳定性，主要有Hoff-Hsu准则(也称总能量一相平面法，其确定的临界载荷值与系统的相平面特征相关，由能量守恒定律，根据相平面内系统的运动轨迹估计临界载荷值)、王仁能量准则(对于冲击荷载所引起的基本运动，
8
若发生任意可能几何偏离的过程中系统所需能量大于荷载所做的功，则称其基本运动是稳定的)及Hoff-Simitses准则(也可称为总势能法，根据能量守恒定律建立不同荷载状态下系统
总势能和广义坐标相对应的轨迹曲线，根据曲线特征估计临界荷载值)等；三是根据李亚
普诺夫稳定性理论建立的判定准则n1。

MovchanH}删以用于离散系统稳定性分析的Lyapunov方法为基础，进行连续系统稳定性分析，提出Movehan-Lvapunov判定准则。

李忠学等m1指出对于弹性结构运动稳定性可利用广义刚度的正负来判定。

郭海山等旧：指出“刚度矩阵正定与负定”不能准确判断动力屈曲发生与否，并提出以动力响应全过程与时程
响应曲线相结合的方法定网壳结构动力稳定性。

2．4等效单自由度模型(Single Degree OfFreedom Model)相关理论 2．4．1单自由度
模型运动微分方程推导㈨
哈密顿原理是通过能量的方法推导体系运动微分方程，表达式如下：
j：：2占(r—v)at+2b形,Jt=0 (2．1)
式中：F一体系总动能； y一体系势能，包括应变能及任何保守
外力的势能；
既一作用于体系上的非保守力(阻尼力及任意外荷载)所做的功；
假设梁一柱构件任意截面的位移可表示为式2．2，其中≯(x)为构件变形曲线，y(t)为集
中质量位移，则根据哈密顿原理有：
】，(x，t)=≯(x)y(t)(2．2)
总动能：丁=告磊r[P(tr)】2dx=告鬲r≯2(z)岁2(f边，(2．3) 弯曲应变
能：矿=丢r叫蹦圳2出=了Je。

L矽(州2y2(f陟(2．4) 轴力P的势能：昨：一冬r【y’(x，f)】2出：一了N J。

L[≯’】2y2(f)出(2．5)
冲击荷载所做的功：％
2 PY(L／2，f)=e矽<z／2)y(f) (2．6)
不考虑阻尼力所做的功，将上述各式带入哈密顿方程可得：
n夕缈J：砀2dx—y渺r田(矽”)2dx+妙砂r(∥)2d x+8yP]dt=0 (2．7)。