八年级上学期1月月考期末复习数学试卷 (解析版)

八年级上学期1月月考期末复习数学试卷 （解析版）
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A ．（3，1） B ．（3，-1） C ．（-3，1） D ．（-3，-1）
2．已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，则a 的值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
3．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s （米）与各自所用时间t （秒）之间的函数图像分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲的速度保持不变
B ．乙的平均速度比甲的平均速度大
C ．在起跑后第180秒时，两人不相遇
D ．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
4．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知a ＞0，b ＜0，那么点P(a ，b)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．在同一平面直角坐标系中，函数y x =-与34y x =-的图像交于点P ，则点P 的坐标
为( ) A ．(1,1)- B ．(1,1)-
C ．(2,2)-
D ．(2,2)-
7．如图，已知O 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，且50A ∠=︒，则BOC ∠的度数为
（ ）
A ．80︒
B ．100︒
C ．105︒
D ．120︒
8．如果0a b -<，且0ab <，那么点(),a b 在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．一辆货车早晨7∶00出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程y （km ）与行驶时间x （h ）的完整的函数图像（其中点B 、C 、D 在同一条直线上），小明研究图像得到了以下结论：
①甲乙两地之间的路程是100 km ； ②前半个小时，货车的平均速度是40 km/h ； ③8∶00时,货车已行驶的路程是60 km ； ④最后40 km 货车行驶的平均速度是100 km/h ； ⑤货车到达乙地的时间是8∶24， 其中，正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．①③⑤
C ．①③④
D ．①③④⑤
10．函数111y k x b =+与222y k x b =+的部分自变量和对应函数值如下： x -4 -3 -2 -1 y
-1
-2
-3
-4
x -4 -3 -2 -1 y
-9
-6
-3
当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >-
B ．2x <-
C ．1x >-
D ．1x <-
二、填空题
11．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（2，4）和（3、0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC 是以AB 为底的等腰三角形时，OC ＝__．
12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6cm ，AC ＝8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′处，那么CD ＝_____．
13．若正实数,m n 满足等式2
2
2
(1)(1)(1)m n m n +-=-+-，则m n ⋅=__________．
14．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，且50A ∠=︒，则EBC ∠的度数是__________．
15．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．
16．在平面直角坐标系中，已知一次函数3
12
y x =-+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x >，则1y ______________2y
17．等腰三角形的顶角为76°，则底角等于__________．
18．若等腰三角形的两边长是2和5，则此等腰三角形的周长是__．
19．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积是42cm 2，AB ＝10cm ，BC ＝14cm ，则DE ＝_____cm ．
20．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，OA ＝6，OC ＝3．∠DOE ＝45°，OD ，OE 分别交BC ，AB 于点D ，E ，且CD ＝2，则点E 坐标为_____．
三、解答题
21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,6)A -，(1,2)B -，(5,4)C - （1）作出三角形ABC 关于y 轴对称的三角形111A B C （2）点1A 的坐标为 .
（3）①利用网络画出线段AB 的垂直平分线L ；②P 为直线上L 上一动点，则PA PC +的最小值为 .
22．解方程：
（1）4x2﹣8＝0；（2）（x﹣2）3＝﹣1．
23．如图，函数
4
8
3
y x
=-+的图像分别与 x轴、 y轴交于 A、 B两点，点 C在 y轴上，
AC平分OAB
∠．
(1) 求点 A、 B的坐标；
(2) 求ABC的面积；
(3) 点 P在坐标平面内，且以A、 B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点 P的坐标．
24．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A（2，3）、B（﹣1，2），将△ABC平移得到△A′B′C′，使得点A的对应点A′，请解答下列问题：
（1）根据题意，在网格中建立平面直角坐标系； （2）画出△A ′B ′C ′，并写出点C ′的坐标为 ．
25．如图，点D 是△ABC 内部的一点，BD=CD ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且BE=CF ．求证：AB=AC ．
四、压轴题
26．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______； （2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，
9n =，如图2②，③；…… ①用n 表示t 的內数；
②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）
27．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线1
22
y x =
+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．
（1）求ABC 的面积．
（2）判断ABC 的形状，并说明理由．
（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标． 28．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．
（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：
若1,(2),(2)
b a b b a -≥⎧=<⎩'⎨
当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．
（1）①点(3,1)-的限变点的坐标是________；
②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）
（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标
b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．
30．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B
b 满足
|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：
3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
由第二象限中坐标特点为，横坐标为负，纵坐标为正，由此即可判断.
【详解】
A. （3，1）位于第一象限；
B. （3，-1）位于第四象限；
C. （-3，1）位于第二象限；
D. （-3，-1）位于第三象限；
故选C.
【点睛】
此题主要考察直角坐标系的各象限坐标特点.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．
【详解】
∵点P（a，2a-1）在一、三象限的角平分线上，
∴a=2a-1，
解得a=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；
B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
【详解】
解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故不选A；
B 、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选B ；
C 、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故不选C ；
D 、∵起跑后50秒时OB 在OA 的上面，∴乙是在甲的前面，故不选D ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形. 据此进行选择即可. 【详解】
根据轴对称图形定义，图形A 、C 、D 中不是轴对称图形,而B 是轴对称图形. 故选B 【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的辨识,解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念.
5．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据a ＞0，b ＜0和第四象限内的坐标符号特点可确定p 在第四象限． ∵a ＞0，b ＜0，
∴点P （a ，b ）在第四象限， 故选D.
考点：本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点
点评：解答本题的关键是掌握好四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
联立两直线解析式，解方程组即可． 【详解】
联立34y x y x -⎧⎨-⎩＝＝，
解得11x y ⎧⎨-⎩
＝＝，
所以，点P 的坐标为（1，-1）．
故选B ．
【点睛】
本题考查了两条直线的交点问题，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
延长AO 交BC 于D ，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO ，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA ，∠OAC=∠OCA ，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA ，∠COD=∠OAC+∠OCA ，从而不难求得∠BOC 的度数．
【详解】
延长AO 交BC 于D ．
∵点O 在AB 的垂直平分线上．
∴AO=BO ．
同理：AO=CO ．
∴∠OAB=∠OBA ，∠OAC=∠OCA ．
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA ，∠COD=∠OAC+∠OCA ．
∴∠BOD=2∠OAB ，∠COD=2∠OAC ．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC ）=2∠BAC ．
∵∠A=50°．
∴∠BOC=100°．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查：（1）线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据0a b -<，且0ab <可确定出a 、b 的正负情况，再判断出点(),a b 的横坐标与纵坐标的正负性，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
解：∵0a b -<，且0ab <，
∴a 0,0b <>
∴点(),a b 在第二象限
故选：B
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据折线图，把货车从甲地驶往乙地分为三段，再根据图象的时间和路程进行计算判断.
【详解】
①甲乙两地之间的路程是100 km ，①正确；
②前半个小时，货车的平均速度是：400.580?km/h ÷=，②错误；
③8∶00时,货车已行驶了一个小时，路程是60 km ，③正确；
④最后40 km 货车行驶的平均速度就是求BC 段的速度，时间为1.3-1＝0.3小时，路程为90-60=30km ，平均速度是300.3100?km /h ÷=，④正确；
⑤货车走完BD 段所用时间为：401000.4÷=小时，即0.46024⨯=分钟
∴货车走完全程所花时间为：1小时24分钟，
∴货车到达乙地的时间是8∶24，⑤正确；
综上：①③④⑤正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象的横、纵坐标表示的意义，理解问题的过程，并能通过图象得到自变量和函数值之间的数量关系是解题的关键.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．
【详解】
解：根据表格可得y 1=k 2x+b 1中y 随x 的增大而减小，y 2=k 2x+b 2中y 随x 的增大而增大． 且两个函数的交点坐标是（-2，-3）．
则当x ＜-2时，y 1＞y 2．
故选：B ．
本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．
二、填空题
11．．
【解析】
【分析】
设C点坐标为（0，a），由勾股定理可表示出BC2和AC2，由△ABC是以AB为底的等腰三角形可知BC＝AC，据此可列出关于的方程，求解即可.
【详解】
解：设C点坐标为（0，
解析：11 8
．
【解析】
【分析】
设C点坐标为（0，a），由勾股定理可表示出BC2和AC2，由△ABC是以AB为底的等腰三角形可知BC＝AC，据此可列出关于a的方程，求解即可.
【详解】
解：设C点坐标为（0，a），
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC＝AC，
平方得BC2＝AC2，即32+a2＝22+（4﹣a）2，
化简得8a＝11，
解得a＝11 8
．
故OC＝11 8
，
故答案为：11 8
．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离及等腰三角形的判定，灵活利用两点的坐标确定两点间距离是解题的关键.
12．3cm．
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出AB，根据翻折变换的性质可得BC′＝BC，C′D＝CD，然后求出AC′，设CD＝x，表示出C′D、AD，然后利用勾股定理列方程求解即可．
解析：3cm．
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出AB，根据翻折变换的性质可得BC′＝BC，C′D＝CD，然后求出AC′，设CD＝x，表示出C′D、AD，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB10cm，
由翻折变换的性质得，BC′＝BC＝6cm，C′D＝CD，
∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4cm，
设CD＝x，则C′D＝x，AD＝8﹣x，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′2+C′D2＝AD2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即CD＝3cm．
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
13．【解析】
【分析】
根据整式的完全平方公式将等式两边的式子进行化简，从而求得的值.
【详解】
∵
∴
∴
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握完全平方公式及整式的
解析：1 2
【解析】
【分析】
根据整式的完全平方公式将等式两边的式子进行化简，从而求得m n⋅的值.
∵2222
(1)()2()12221m n m n m n m mn n m n +-=+-++=++--+ 2222(1)(1)2121m n m m n n -+-=-++-+
∴222222212121m mn n m n m m n n ++--+=-++-+
∴21mn = ∴12
mn =， 故答案为：
12. 【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握完全平方公式及整式的化简是解决本题的关键. 14．15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（
解析：15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出EBC ∠的度数．
【详解】
解：∵AB AC =，50A ∠=︒
∴∠ABC=∠ACB=
12
（180°－∠A ）=65° ∵ED 垂直平分线段AB
∴EA=EB ∴∠EBA=∠A=50°
∴EBC ∠=∠ABC －∠EBA=15°
故答案为：15°．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、垂直平分线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
15．【解析】
不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y1=kx+b 在y2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．
【详解】
解：不等式的解集是．
故答案为：．
【点
解析：1x <-
【解析】
【分析】
不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y 1=kx+b 在y 2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．
【详解】
解：不等式()0kx b x a +-+>的解集是1x <-．
故答案为：1x <-．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．＜
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小即可判断．
【详解】
∵一次函数中k=＜0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛
解析：＜
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小即可判断．
【详解】
∵一次函数
3
1
2
y x
=-+中k=
3
2
-＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
17．52°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，进行计算即可.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为76°，
∴底角为：，
故答案为：52°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形性
解析：52°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，进行计算即可.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为76°，
∴底角为：11
=104=52 22
⨯︒︒⨯︒︒（180-76），
故答案为：52°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角计算角度.
18．【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质分腰长为2和腰长为5两种情况讨论，选择能构成三角形的求值即可.
【详解】
解：①腰长为2，底边长为5，2+2＝4＜5，不能构成三角形，故舍去；
②腰长为5，
解析：【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质分腰长为2和腰长为5两种情况讨论，选择能构成三角形的求值即可.
【详解】
解：①腰长为2，底边长为5，2+2＝4＜5，不能构成三角形，故舍去；
②腰长为5，底边长为2，则周长＝5+5+2＝12．
故其周长为12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，已知两边长求周长，结合等腰三角形的性质，灵活的进行分类讨论是解题的关键.
19．【解析】
【分析】
作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式得到×10×DE+×14×DF=42，则5DE+7DE=42，从而可求出DE的长．
【详解】
作D
解析：7 2
【解析】
【分析】
作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式得到
1 2×10×DE+
1
2
×14×DF=42，则5DE+7DE=42，从而可求出DE的长．
【详解】
作DF⊥BC于F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，
∵S△ADB+S△BCD=S△ABC，
∴1
2
×10×DE+
1
2
×14×DF=42，
∴5DE+7DE=42，
∴DE=7
2（cm）．
故答案为7
2
．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质，解题关键是利用三角形面积公式构建方程，即可解题. 20．（，6）
【解析】
【分析】
如图，过点E作EF⊥OE交OD延长线于点F，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，作FH⊥BC于H，由“AAS”可证△AEO≌△GEF，可得AE=GF，EG=AO=6，
解析：（6
5
，6）
【解析】
【分析】
如图，过点E作EF⊥OE交OD延长线于点F，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，作FH⊥BC于H，由“AAS”可证△AEO≌△GEF，可得AE=GF，EG=AO=6，通过证明
△ODC∽△FDH，可得HF HD
OC CD
，即可求解．
【详解】
如图，过点E作EF⊥OE交OD延长线于点F，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，作FH⊥BC于H，
∵∠EOF=45°，EF⊥EO，
∴∠EOF=∠EFO=45°，
∴OE=EF，
∵∠AOE+∠AEO=90°，∠AEO+∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠AOE，且∠OAE=∠G=90°，OE=EF，
∴△AEO≌△GEF（AAS）
∴AE=GF，EG=AO=6，
∴BG=EG﹣BE=6﹣（3﹣AE）=3+AE，
∵FH⊥BC，∠G=∠CBG=90°，
∴四边形BGFH是矩形，
∴BH=GF=AE，BG=HF=3+AE，HF∥BG∥OC，∴HD=BD﹣BH=4﹣AE，
∵HF∥OC，
∴△ODC∽△FDH，
∴HF HD OC CD
=，
∴34
32
AE AE +-
=
∴AE=6
5
，
∴点E（6
5
，6）
故答案为：（6
5
，6）
【点睛】
此题主要考查利用全等三角形和相似三角形的判定与性质判定矩形在平面直角坐标系中的坐标，解题关键是利用其性质构建方程.
三、解答题
21．（1）见解析（2）点1A的坐标为(3,6)；（3）①见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置A1、B1、C1，再连接即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据平面直角坐标系写出点1A的坐标；
（3）①根据垂直平分线的定义画图即可；
②根据轴对称的性质以及两点之间线段最短得PA PC
+的最小值为BC的长，再由勾股定理求解即可.
【详解】
（1）如图所示：
（2）点1A 的坐标为(3,6)；
（3）①如图所示：
②PA PC +的最小值为BC 的长，即2224+=
20 【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及三角形的面积，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，画一个图形的轴对称图形时，就是确定一些特殊的对称点．
22．（1）=2x （2）1x =
【解析】
【分析】
（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根定义开立方即可求出解．
【详解】
解：（1）4x 2﹣8＝0，
移项得：4x 2﹣8＝0，即x 2＝2， 开方得：=2x ；
（2）（x ﹣2）3＝﹣1，
开立方得：x ﹣2＝﹣1，
解得：x ＝1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法及立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（1）A （6，0），B （0，8）；（2）15；（3）使△PAB 为等腰直角三角形的P 点坐标为（14，6）或（-2，-6）或（8，14）或（-8，2）或（-1，1）或（7，7）．
【解析】
【分析】
（1）在函数解析式中分别令y=0和x=0，解相应方程，可求得A 、B 的坐标；
（2）过C 作CD ⊥AB 于点D ，由勾股定理可求得AB ，由角平分线的性质可得CO=CD ，再根据S △AOB =S △AOC +S △ABC ，可求得CO ，则可求得△ABC 的面积；
（3）可设P （x ，y ），则可分别表示出AP 2、BP 2，分∠PAB=90°、∠PBA=90°和
∠APB=90°三种情况，分别可得到关于x、y的方程组，可求得P点坐标．【详解】
解：（1）在
4
8
3
y x
=-+中，
令y=0可得0=-4
3
x+8，解得x=6，
令x=0，解得y=8，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC平分∠OAB，
∴CD=OC，
由（1）可知OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵S△AOB=S△AOC+S△ABC，
∴1
2
×6×8=
1
2
×6×OC+
1
2
×10×OC，解得OC=3，
∴S△ABC=1
2
×10×3=15；
（3）设P（x，y），则AP2=（x-6）2+y2，BP2=x2+（y-8）2，且AB2=100，∵△PAB为等腰直角三角形，
∴有∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三种情况，
①当∠PAB=90°时，则有PA2=AB2且PA2+AB2=BP2，
即
22
2222
(6)100
(6)100(8)
x y
x y x y
⎧-+=
⎨
-++=+-
⎩
，解得
14
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
6
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
此时P点坐标为（14，6）或（-2，-6）；
②∠PBA=90°时，有PB2=AB2且PB2+AB2=PA2，
即
22
2222
(8)100
(8)100(6)
x y
x y x y
⎧+-=
⎨
+-+=-+
⎩
，解得
8
14
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
8
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
此时P点坐标为（8，14）或（-8，2）；
③∠APB=90°时，则有PA2=PB2且PA2+PB2=AB2，
即
2222
2222
(6)(8)
(6)(8)100
x y x y
x y x y
⎧-+=+-
⎨
-+++-=
⎩
，解得
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
7
7
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
此时P点坐标为（-1，1）或（7，7）；
综上可知使△PAB为等腰直角三角形的P点坐标为（14，6）或（-2，-6）或（8，14）或（-8，2）或（-1，1）或（7，7）．
【点睛】
本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中利用角平分线的性质和等积法求得OC的长是解题的关键，在（3）中用P点坐标分别表示出PA、PB的长，由等腰直角三角形的性质得到关于P点坐标的方程组是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算较大，难度较大．
24．（1）见解析；（2）（﹣3，﹣4）
【解析】
【分析】
（1）根据点A和点B的坐标可建立平面直角坐标系；
（2）利用平移变换的定义和性质可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，其中点C′的坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【点睛】
本题考查的知识点是作图-平移变换，找出三角形点A的平移规律是解此题的关键．25．证明见解析.
【解析】
【分析】
欲证明AB=AC，只要证明∠ABC=∠ACB即可，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性质可证∠EBD=∠FCD，再由等腰三角形的性质∠DBC=∠DCB，从而可证
∠ABC=∠ACB.
【详解】
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），
∴∠EBD=∠FCD ，
∵BD=CD ，
∴∠DBC=∠DCB ，
∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD ，
即∠ABC=∠ACB ，
∴AB=AC ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
四、压轴题
26．（1）2，7，4；（2）83
x ≥；（3）①t 的内数n =有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【解析】
【分析】
（1）根据内数的定义即可求解；
（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；
（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．
【详解】
解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；
232017⨯+>，所以20的内数是7；
23614⨯+>，所以6的内数是4；
（2）∵3是x 的內数，
∴2331x ≤+，
解得83
x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；
当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，
当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，
……
∴t 的内数n =
②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；
当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，
当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，
……
即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；
∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，
由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，
∴此时最大实心正方形的边长为8，
离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【点睛】
本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．
27．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）先求出直线122
y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；
（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；
（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标．
【详解】
解：（1）令0x =，则10222y =
⨯+=， ∴()0,2C ，
令0y =，则1202
x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，
将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =，
∴22y x =-+，
令0y =，则220x -+=，解得1x =，
∴1,0A ，
∴5AB =，2OC =，
∴152
ABC S AB OC =⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，
22222125AC AO OC =+=+=，
且22525AB ==，
∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形；
（3）∵CD 平分ACB ∠， ∴12
AD AC BD BC ==， ∴1533
AD AB ==， ∴23OD AD OA =-=
， ∴2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
①如图，CED ∠是直角，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒，
∵CD 平分ACB ∠，
∴45ECD ∠=︒，
∴CDE △是等腰直角三角形，
∴CE DE =，
∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒，
∴MEC NDE ∠=∠，
在DNE △和EMC △中，
NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DNE EMC AAS ≅，
设DN EM x ==，EN CM y ==，
根据图象列式：DO DN CM EN EM CO +=⎧⎨+=⎩，即232x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴43EN CM ==
， ∴44,33E ⎛⎫- ⎪⎝
⎭；
②如图，CDE ∠是直角，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，
同理CDE △是等腰直角三角形，
且可以证得()CDO DEG AAS ≅，
∴2DG CO ==，23EG DO ==
， ∴28233GO GD DO =+=+
=， ∴82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
综上：44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】 本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．
28．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为125
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；
②由全等三角形的性质可得BP=PC=
12
BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解．
【详解】 解：（1）①△BPD 与△CQP 全等，
理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ，
∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ，
∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ，
∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ，
在△BPD 和△CQP 中，
BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BPD ≌△CQP （SAS ），
②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP ≠CQ ，
∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，
∴BP =PC =
12BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =52
， ∴点Q 的运动速度=612552
=cm /s ，
∴当点Q 的运动速度为
125
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：125
x ﹣2x =36， 解得：x =90， 点P 沿△ABC 跑一圈需要
181810232++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），
∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
29．（1
）①
)
；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】。