高考数学命题比赛模拟试题8试题

2021年数学模拟卷双向细目表
2021年高考模拟试卷数学卷
考试时间是是：120分钟总分值是值：150分
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.〔原创〕设全集=U R ，集合{}2≤=x x A ，{}0
432
<--=x x
x B ，那么B A ⋂=〔〕
A ．{}42<≤-x x
B ．{}2≤1-x x <
C ．
{}2≤≤2-x x
D ．
{}2≤≤1-x x
2.〔原创〕复数i a 2z 1+=，i z -=22，假设21z z 为实数，那么实数a 的值是〔〕 A ．2B ．—2
C ．4
D ．4-
3.〔原创〕条件p ：53<<x ，q ：2ln <x ，那么p 是q 的〔〕
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.〔教材改编〕如下列图是一个几何体的三视图，那么该几何体的外表积为
A.π420+
B.π320+
C.π424+
D.π324+
5.〔教材改编〕在等比数列中，=2，前n 项和为，假设数列也是等比数列，那么
等于〔〕
A.
n n D.
题 5 线与椭圆位置关系
22
解答题
1
5
难 导数的综合应用 ◆ ★ ● ■
4
11
正视图
2
2
2
侧视图
俯视图
6.〔教材改编〕设x ，y 满足约束条件，那么
1
3
3++x y 的最大值是〔〕 A.15 B.8C.6
7.〔改编〕函数
x
e
x x x f 252)(2+=的大致图象是() 〔改编于地区七校一共同体2021第一学期期末复习卷第7题〕
8.a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且a ＋b ＋c ＝0，那么｜a -d ｜+｜b -d ｜+｜c -d ｜=0不可能等于〔〕
32
9.双曲线()222
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线渐近线C 上一点，,P Q 均位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF →
→→→
=⋅=，那么双曲线C 的离心率为〔〕
31
31
132
132+
10.
11
()(3)(,),[,3]3
f x a x b a b R x x =++
-∈∈，记()f x 的最大值为(,)M a b ，那么(,)M a b 的最小值是〔〕
A.
13 B.2
3
C.
43
D.
53
二、填空题：此题一共7道小题,多空题每一小题每空6分，单空题每一小题4分，一共36分.
11.〔教材改编〕双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，那么双曲线的HY 方程为，渐近线方
程为.
12.〔教材改编〕
)(x f 在R 上是偶函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,3)(x x f =,那么
=)3-(f ；=)2
7
(f .
13.〔教材改编〕随机变量X 的分布列如右表所示，假设1()3
E X =， 那么ab =；(32)D X
-=.
14.〔教材改编〕在△ABC 中，D 是AC 边的中点，∠BAC=
3
π， cos ∠BDC=7
2
-
，△ABC 的面积为6，那么AC=；sin ∠ABD=.
15.〔教材改编〕有3所高校欲通过三位一体招收21名学生，要求每所高校至少招收一名且认识各不一样，那么不同的招收方法有种.
16.在
ABC
∆中，
1
6,7,cos ,5
AC BC A O ABC
===∆是的内心，假设
OP xOA yOB
=+，
01,01x y ≤≤≤≤其中，那么动点P 的轨迹所覆盖的面积为.
a ，
b 满足
=3，
=2
，假设
恒成立，那么实数t 的取值范围为.
三、解答题：本大题一一共5小题，一共74分．解容许给出文字说明，证明过程或者演算步骤． 18.〔教材改编〕〔此题总分值是14分〕向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==.
〔1〕假设,2
x
k k Z π
π≠+
∈，且b a ⊥，求222sin cos x x -的值；
〔2〕定义函数1)(+•=b a x f
，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2
x π∈时，函数)(x f 的值
域.
19.〔此题总分值是15分〕在三棱锥D ABC 中，AD DC ，AC CB ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，且平面ABD 平面BCD ，
E 为AC 的中点． 〔1〕证明：AD BC ；
〔2〕求直线DE 与平面ABD 所成的角的正弦值． 20.〔此题总分值是15分〕在数列{}n a 中，1a +22a +33a +…+n n a =n (2n +1)(n N *∈)
〔1〕求数列
{}n a 的通项公式；
〔2〕求数列2n n na ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 21.〔此题总分值是15分〕椭圆E ：22221(0)y x a b a b
+=>>，不经过原点O 的直线
:(0)l y kx m k =+>与椭圆E 相交于不同的两点A 、B ,直线,,OA AB OB 的斜率依次构成等比数列.
〔1〕求,,a b k 的关系式.
〔2〕假设离心率12
e =
且=AB ，当m 为何值时，椭圆的焦距获得最小值？
22.〔本小题总分值是15分〕设函数4
31()4
f x x x =
-，x ∈R ． 〔1〕求函数
()f x 在1x =处的切线方程；
〔2〕假设对任意的实数x ，不等式()2f x a x ≥-恒成立，务实数a 的最大值；
〔3〕设0m ≠，假设对任意的实数k ，关于x 的方程
()f x kx m =+有且只有两个不同的实根，务实数m
的取值范围．
2021年高考模拟试卷数学参考答案与评分HY
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一
项为哪一项哪一项符合题目要求的．
二、填空题：本大题一一共7小题，多空题每一小题6分，单空题每一小题4分，一共36分．
11.
18-422=y x ，x y 2±=；1，81；13.6
1
，5；12，
14
21
3；
152；17.3
1
3≥-≤t t 或 三、解答题：本大题一一共5小题，一共74分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 18.解：〔1〕因为b a ⊥，所以0cos 2sin 32
2=+x x ，
因为,2
x k k Z π
π≠+
∈，所以cos 0x ≠，即3
3
tan -
=x ， 所以4
1
1tan 1tan 2cos sin 22
22
2
-=+-=-x x x x ．.………7分 =2)6
π
2sin(2++
x ，.………9分
令3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈，得2,6
3
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈，
所以函数
)(x f 的单调递减区间是2[,],6
3
k k k Z π
π
ππ+
+
∈．.………11分
因为[0,
]2
x π
∈，所以72[,]666x π
ππ+
∈，1
sin(2)[,1]62
x π+∈-， 所以当[0,
]2
x π
∈时，函数)(x f 的值域[1,4]．
.………14分
19．解：〔I 〕法一：过C 做CH BD ⊥，
〔其中H 与B D ,都不重合，否那么，假设H 与B 重合，那么CB BD ⊥
与1CD CB =<=H 与D 重合，那么1AD BD ==，与2AB =矛盾〕
面
ABD ⊥面BCD
∴CH ⊥面BCD ∴CH ⊥AD
，又AD ⊥CD
∴AD ⊥面BCD ∴AD ⊥BC
.………7分
法二：参见第〔II 〕问的法三 〔II 〕法一：做EQ
AH ⊥，那么//EQ CH ，由〔1〕知：EQ ⊥面ADB
∴EDQ ∠即DE 与面ABD
所成角，且2DE EQ ==
∴sin QE EDQ ED ∠=
=
.………15分
法二：由〔I
〕知：
,AD BD BD ⊥=
AC BC ==记
AB 的中点为F ，AF 的中点为M
E 是AC 的中点，∴AB EM ⊥，AB DM ⊥
∴AB ⊥面DEM ∴面ABD ⊥面DEM
∴EDM ∠即DE 与面ABD
所成角，且1,2ME MD ED =
==
A
A
∴sin ME EDM MD ∠=
=
.………15分
法三：由〔I 〕知
AD ⊥平面BCD ，AD BD ∴⊥，以D 为原点，分别以射线,DB DA 为x 轴，y 轴
的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -
由题意知：(0,0,0),(0,1,0),D A F C
∴12E
，12DE ∴= ∵平面
ABD 的法向量为(0,0,1)n =，
设DE 与面
ABD 所成角为θ
∴3
sin |cos ,||
|3||||
n DE DE n n DE θ⋅===
⋅ .………15分
法四：以D 为坐标原点，,DC DA 为,x y 轴，建立空间直角坐标系D xyz - 那么()()1,0,0,0,1,0C
A ，设(),,
B a b c ，面ABD 的法向量为1n ，面BCD 的法向量为2n ，那么
12200AB AC BC n n =⎧⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩，即()()()2
2
2
12
141,1,01,,00a
b c a b c n n ⎧+-+=⎪⎪-⋅---=⎨⎪⋅=⎪⎩，那么1
0a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩ ∴0AD BC ⋅=，∴AD ⊥BC
∴11
3
sin 3
DE n DE n θ⋅=
=
⋅DE 与面ABD 所成角的正弦值为
3.
.………15分
20.〔1〕2n ≥时，1a +22a +33a +…+〔n -1〕1n a -=〔n -1〕(2n -1)，41n
na n ∴=-，
14n a n =-
，当1n =时，13a =满足上式，∴14n a n =-()n N *
∈. .………7分 〔2〕记2n n n na b =，那么41
2n n
n b -=,
.………9分 233711412222n n n T -∴=++++,2341137114122222
n n n T +-=++++,
.………12分
两式相减，得11747222n n n T ++=-，47
72
n n
n T +∴=-..………
15分
21.解：〔Ⅰ〕设
1122(,),(,)A x y B x y ，由题意得2
12
12
OA OB
y y k k k x x =⋅=
由2
2221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
可得222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-= 故222222222(2)4()()0a km b a k a m a b ∆
=-+->，即2222
0b m a k -+>
1
1
22222222222222()()a km
x x b a k a m a b
x x b a k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪⋅=⎪+⎩
，2221212121212()y y k x x km x x m k x x x x +++==.……3分
即2
12()0km x x m ++=，222
222220
()
a k m m
b a k -+=+又直线不经过原点，所以0m ≠
所以2
22b
a k =即
b ak =
.………7分
〔Ⅱ〕假设12e =
，那么2,3a c b c ==，2
34k =，又0k >，得
32k =.………9分
1
1
222222222
22
22222323()223()m a km x x b a k a m a b x x m c b a k ⎧+=-=⎪+⎪
⎨-⎪⋅==-⎪+⎩
.………11分
2
2774823||
=-+=m c m 22223123=+≥m c m 〔0∆>恒成立〕……14分
当4
3=m
.………15分
22.〔Ⅰ〕解：
32()3f x x x '=-，'(1)2f =-..………1分
且
3(1)4f =-
，所以在1x =处的切线方程为5
24
y x =-+.………3分 〔Ⅱ〕证明：因为对任意的实数x ，不等式
()2f x a x ≥-恒成立.
所以4
324
x a x x ≤-+恒成立..………4分 设4
3()24
x g x x x =-+，
那么32'()32g x x x =-+2(1)(22)x x x =---(1)(11x x x =---+
所以()g x 在()1，()+∞单调递增，
在
(,1-∞-
，(单调递减.………6分
所以min ()min{(1(1g x g g =，
因为1222=0x x --的两根.
所以43
0000()24x g x x x =-+20000(22)(22)24
x x x x +=-++
22
00
(1)2x x =+-20021x x =-++1=-.〔其中01x =〕 所以a 的最大值为1-.………9分
〔Ⅲ〕解:假设对任意的实数k ，关于x 的方程()f x kx m =+有且只有两个不同的实根，
当0x
=，得0m =，与矛盾.
所以43444x x m k x --=有两根，即43444x x m
y x --=与y k =有两个交点.…10分
令4344()4x x m h x x --=，那么432
384'()4x x m
h x x
-+=. 令
43()384p x x x m =-+，2'()12(2)p x x x =-，那么()p x 在(,2)-∞单调递减，(2,)
+∞单调递增，所以
min ()(2)416p x p m ==-.…11分
〔ⅰ〕当4160m -≥时，即4m ≥时，那么'()0h x ≥，即()h x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递增，且当x →-∞时，()h x →-∞；当0x -
→时，()h x →+∞；当0x +
→时，()h x →-∞；当x →+∞时，()h x →+∞.此时对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解.………12分
〔ⅱ〕当04m <<时，()p x 有两个非负根1x ，2x ，所以()h x 在(,0)-∞，1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，12(,)x x 单调递减，所以当21((),())k h x h x ∈时有4个交点，1=()k h x 或者2=()k h x 有3个交点，均与题意不合，舍去.………13分
〔ⅲ〕当0m <时，那么()p x 有两个异号的零点1x ，2x ，不妨设120x x <<，那么()h x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞单调递增；()h x 在1(,0)x ，2(0,)x 单调递减.
又x →-∞时，()h x →-∞；当0x -→时，()h x →-∞；当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞.
所以当12()
()h x h x =时，对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解. 所以有43113840x x m -+=，43223840x x m -+=，得
2222121212123()()8()x x x x x x x x ++=++.
由12()
()h x h x =，得3232112233x x x x -=-，即221212123()x x x x x x ++=+. 所以221
28x x +=，122x x =-，122x x +=. 故3344121288()3()m x x x x =+-+
22222212112212128()()3[()2()]x x x x x x x x x x =+-+-+-8=-.
所以1m =-.
所以当4m ≥或者1m =-时，原方程对任意实数k 均有且只有两个解.………15分。