浙教版初中数学七年级下册第六章因式分解全章教学设计

第六章因式分解
因式分解.................................... 错误!未定义书签。

提取公因式法................................ 错误!未定义书签。

乘法公式分解因式（1）....................... 错误!未定义书签。

乘法公式分解因式（2）....................... 错误!未定义书签。

因式分解的简单应用.......................... 错误!未定义书签。

因式分解
〖教学目标〗
◆一、了解因式分解的概念和意义．
◆二、了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形．
◆3、体验矛盾的对立统一规律．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节教学的重点是因式分解的概念．
◆教学难点：熟悉因式分解与整式乘法的关系，并能意识到能够运用整式乘法的一系列法那么来解决因式分解的各类问题，是本节教学的难点．
〖教学预备〗多媒体，分勤学习小组．
〖教学进程〗
一、创设情境，导入新课
师：谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?
析：教师不要马上作答．可能会有学生利用计算器计算，教师引导，假设不利用计算器你能解决吗?等学了本节内容后再来解决它．
师：在小学里，咱们学过2×3×5=30，这是什么运算?
生1：整数乘法．
师：那30=2×3×557．是什么运算?
生2：因数分解．
师：因数分解有什么作用?你在平常学习中碰到过吗?请举例说明(合作学习)．
生3：分数的约分与通分．
师：，(x－y)＝x2－xy是什么运算?等式左右两边有何特点?
生4：整式的乘法．左侧是整式的积，右边是多项式．
析：学生可能会答成份配律，左右两边都是代数式．教师要作引导．
师：那x2－xy＝x(x－y)是不是成立?那个等式的两边有何特点?又是什么运算?
生5：成立．左侧是多项式，右边是整式的积．
师：这确实是咱们今天要探讨的因式分解．
二、合作交流，探求新知
1．形成概念．
师：像如此，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一进程叫分解因式．请你认真默读概念，并留意概念中的注意点．下面请看练习(多媒体出示)：
教师在点评上述10题的进程中，请学生留意因式分解概念中的注意点，与本人原先的方式是不是一致．
生6：①左侧是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
2．明白得因式分解与整式乘法的关系．
师：注意第(9)，(10)两题是两种正确的变形，但不是因式分解．观看以劣等式，并回答问题(多媒体出示)
师：1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系?(互逆)
图示表示：
师：你能利用因式分解与整式乘法的关系，做下面的例题蚂(多媒体出示)?
析：①让学生体验如何利用已学知识解决新知识；
②让学生体验因式分解与整式乘法的互逆性．
练一练：讲义课内练习第1题(请三个学生在黑板演练，教师巡视)．
3．尝试简单的因式分解．
析：①强调格式；
②再次体验因式分解与整式乘法的互逆性．
4．解决问题．
师：此刻你能利用所学的知识解决上课初的那道题吗(合作完成)?
生7：1012－992=-(101＋99)(101－99)
=200×2
=400．
师：那872＋87×13又该怎么算呢?
析：①这两题在例2的基础上完成可能更易些；
②让学生体验因式分解对解决某些问题带来的便利．
三、小结回忆，反思提高
师：本堂课你有什么收成?
合作交流得：(1)因式分解的概念；(2)因式分解的注意点；(3)因式分解的作用．
四、布置作业
讲义作业题．
提取公因式法
〖教学目标〗
◆一、会用提取公因式法分解因式．
◆二、明白得添括号法那么．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用提取公因式法分解因式．
◆教学难点：例2分解因式，需要添括号，还要运用换之的思想，是本节教学的难点．〖教学进程〗
一、新课引入
计算（1）25×17+25×83 （2）×91+×9
由学生小结：（1）应用分派律，使计算简便
（2）分派律的一样式a（b+c）= ab+ac
在此应用的是ab+ac= a（b+c）（*）
从因式分解的角度观看式（*）（1）能够看做是因式分解
（2）做法是把每一项中都含有的相同的因式，提掏出来（3）
举例把2ab+4abc分解因式
二、揭露课题，新课教学
1. 公因式的概念和用提取公因式法分解因式
2. 提取公因式法分解因式的步骤
（1）确信提取的公因式
例：3ax2y+6x3yz
归纳：公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数的）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积
（2）用提取公因式法分解因式：3ax2y+6x3yz=3x2y（a+2xz）
归纳：a、提取公因式后，多项式余下的各项再也不含有公因式
b、提取的实质是将多项式中的每一项别离除以公因式3x2y
（3）练习分解因式：5ab2c +15abc2
3. 例题教学
例1 把以下各式分解因式：
（1）2 x3+6 x2（2）3pq3+15p3q （3）－4x2+8ax+2x
（4）－3ab+6abx－9aby
小结：提取公因式法的一样步骤和要求
4. 再议公因式（1）公因式还能够包括各项中都含有的多项式如
2(a+b) 2－(a+b)中a+b 那么引导学生进行提取，观看结果是不是符合因式分解的要求。

（2）由（1）引入例2 把2(a－b) 2－a+b分解因式
观看例题，猜想含有公因式a－b或a+b进行探讨、分解因式
（3）由（2）把－a+b加上括号变形成－(a－b)而不改变－a+b的值，这种方式称为添括号。

温习回忆，去括号法那么，随之探讨添括号法那么
练习①添括号－x2－2x+1=－（）
1－2x=+( )
－x－2=－( )
②因式分解2（a+b）2－(a－b)
三、练习P154 四、小结：（1）提公因式法分解因式的步骤和分解要求
（2）公因式的确信
（3）添括号法那么
五、作业布置
乘法公式分解因式（1）
〖教学目标〗
◆一、会用平方差公式分解因式。

◆二、了解因式分解的试探步骤。

〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用平方差公式分解因式是本节教学的重点。

◆教学难点：例1第（4）题和本节的“合作学习”的因式分解和化简进程较为复杂，是本节教学的难点。

〖教学进程〗
一、题引入：
节头图：把一张如图甲形状的纸剪拼成图乙形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，你以为应该怎么剪？你能给出数学说明吗？
通过今天的学习，咱们将解决那个问题。

（板书课题）
二、新课
一、上一章咱们已学过平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，今天咱们将换一个角度来熟悉那个公式的应用。

由此可得：（板书）a2－b2＝(a+b)(a－b)
这确实是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

咱们运用那个公式能够把平方差形式的多项式进行分解因式。

二、做一做：（学生口答完成）
以下各式能用平方差公式a2－b2＝(a+b)(a－b)分解因式吗？a，b别离表示什么？把它们分解因式。

（1）x2―1; (2)m2―9; (3)x2―4y2
由此可见，运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的平方差。

公式中的字母能够是一个数、一个字母、也能够是一个式，因此在运用平方差公式分解因式
前，第一能够找出字母所表示的数或式，尤其当项的系数是分数或小数时，给咱们在判别上带来必然的困难，为此咱们先来完成下面填空练习：
3、填空：
91x 2＝( )2
499x 2－＝( )2－( )2 4(x-y)2－9(x+y)2＝[ ]2－[ ]2 －252+=( )2－( )2
4、例题讲解：
例1 把以下各式分解因式：
（1）16a 2－1 （2）－m 2n 2+4l 2 (3) 25
9x 2－161y 4 (4) (x+z)2－(y+z)2 例题小结：
能用平方差公式分解因式的一样步骤：①表示成哪个数的平方差的形式；②运用平方差公式分解因式。

借助那个方式，咱们也能够较轻松地解决节头图所提出的问题了：甲图形状的纸面积为（a 2－b 2），依照a 2－b 2＝(a+b)(a －b)可知乙图可看做长为(a+b)，宽为(a －b)的长方形，从而取得问题的解决。

固然在分解因式的进程中，有的时候需要对某些多项式可否运用平方差公式分解作出判定。

例2 判别以下各多项式可否用平方差公式分解因式，什么缘故？
―4x 2―y 2, 4x 2+(―y)2, (―4x)2―y 2
五、提出问题：关于多项式4x 3y －9xy 3可否直接用平方差公式分解因式？
合作学习：如何把多项式4x 3y －9xy 3分解因式？
可按下述步骤试探：
（1） 可否提取公因式？
（2） 提取公因式后，多项式还能继续分解因式吗？
让学生通过度析、尝试、交流等形式归纳形成解决问题的策略、方式和步骤。

三、课内练习：书本157页练习（有针对性地选择学生板演，并由学生完成评判）
四、课堂小结：
一、今天学习了把乘法公式中的平方差公式逆向利用，取得的平方差公式进行的因式分解。

数学公式的互逆运用目的都是为了数学问题的解决。

二、运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数平方差的形式。

当要分解的多项式是两个多项式的平方差时，分解成的两个因式一样要进行去括号等化简，如有同类项，要进行归并。

3、在综合运用多种方式分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式。

五、作业：书本157页
必做题：一、二、3、4
选做题：五、6
乘法公式分解因式（2）
〖教学目标〗
◆一、会用完全平方公式分解因式。

◆二、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。

〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用完全平方公式分解因式是本节教学的重点．
◆教学难点：例3分解和化简进程比较复杂，是本节教学的难点。

〖教学进程〗
一、引入：
通过前两节课的学习，咱们已把握了运用“提取公因式法分解因式”和“运用平方差公式分解因式”，尤其是“平方差公式分解因式”是借助于多项式乘法公式中的平方差公式的逆向利用来实现多项式的因式分解。

在多项式乘法中咱们还学习了两个完全平方公式：
(a+b)2=a 2+2ab+b 2 , (a －b)2=a 2－2ab+b 2,
今天咱们将借助于这两个完全平方公式的逆向利用来进行分解因式。

(板书课题)
二、新课：
一、板书： a 2+2ab+b 2＝(a+b)2 a 2－2ab+b 2＝(a －b)2
这确实是说，两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或差）的平方。

运用完全平方公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的和（或差）的完全平方（仿书本“例如”举例说明）
二、完全平方式： a 2+2ab+b 2， a 2－2ab+b 2。

对一个多项式可否直接用完全平方公式，第一应判定其是不是完全平方式。

例1 判定以下各式是不是完全平方式：
（1）4x 3－4x+1 （2）4x 2－2x+1 （3）4x 2－4x+1 （4）x 2－x+4
1 (5) 92x +1－3
2x
具体判别时可按如下的程序操作：
（1）先看可否把其中的某两个数的平方和的形式。

（2）若是能把其中的某两项写成两个数的平方和的形式，那么就要乍剩下的一项可否写成加上或减去一样两数乘积的两倍的形式。

例如：4x 3－4x+1中的任何两项都不能写成两个整式的平方和的形式，因此不能用完全平方公式来分解因式。

4x 2－2x+1中的4x 2+1尽管能够看成2x 与1的平方和，可是剩下的一项－2x 并非是－2x 与1乘积的两倍。

因此也不能用完全平方公式来分解因式。

4x 2－4x+1中的4x 2+1能够看成2x 与1的平方和，而且剩下的一项－4x 恰好是－2x 与1乘积的两倍，因此能够用完全平方公式来分解因式，分解的结果应是2x 与1的差的平方。

92x +1－3
2x ，尽管外观与a 2－2ab+b 2不一致，但它是完全平方式。

学习练习：书本159页“做一做”
（通过如此正、反两方面的对照，使学生正确判别可否用完全平方公式分解因式，和分解的结果是什么样的两数和（或差）的平方。

）
3、例2把以下各式分解因式：
（1）4a2+12ab+9b2; (2) ―x2+4xy―4y2(3) 3ax2+6axy+3ay2
范例讲解应注意以下几点：
（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“－”号，如―x2+4xy―4y2=―(x2―4xy+4y2)
（2）第（3）由学生试探后，强调“多项式中有公因式的先提取公因式”
例3、分解因式：(2x+y)2－(2x+y)+9
本例分析要突出换元的思想，也确实是把(2x+y)看做一个整体，教学中应当使学生明白得换元的含义，体验换元的作用。

三、练习：书本160页“课内练习一、2”
四、小结：
一、通过这两节课的学习，咱们熟悉了运用平方差公式分解因式和运用完全平方公式分解因式。

一样地，利用公式a2－b2＝(a+b)(a－b)，或a2±2ab+b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方式，叫做公式法。

公式中的a,b能够是一个数，也能够是一个整式。

二、运用公式法分解因式的关键是判定能用哪个公式，然后针对公式进行分解。

3、对综合运用多种方式分解因式时，应先考虑有公因式的先提取公因式，后运用公式法分解因式。

4、分解后的各因式，若是能够去括号、归并同类项等化简，那么要化简。

五、本节例3所涉及的换元思想，在以后的数学学习中还会比较普遍的应用，需要进
一步的熟练。

五、作业：书本160－161
必做题：一、二、3、4、五、6
选做题：7
因式分解的简单应用
【教材分析】
(一)教学内容分析：因式分解是进行代数运算的经常使用工具之一，灵活、合理地应用因式分解能够帮忙咱们解决很多数学问题。

本节应用只涉及两个方面：多项式相除和解简单的方程。

例题和练习的运算量不太大，教学中可适当补充，不要对一元二次方程进行概念。

(二)学情分析：教材前面已经讲过单项式相除和多项式除以单项式，本节在此基础上，通过因式分解，并运用换元的思想，把多项式相除转化为单项式相除。

在学习用因式分解解简单的方程前，第一要明白得由：A·B=0 能推出什么结果。

通过例题的讲解学习后，应帮忙学生总结出大体步骤。

【教学目标】
一、会用因式分解进行简单的多项式除法
二、会用因式分解解简单的方程
【教学重点、难点】
因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用是本节的重点，应用因式分解解方程涉及较多的推理进程，是本节教学的难点。

【教学进程】
一、温习因式分解的一样方式
一、能够用幻灯或小黑板出示一些作业中容易犯错的因式分解题，问学生可能会
错在哪里？
二、请学生相互讨论因式分解有几种方式，再选一个学生归纳
3、说明：因式分解是进行代数运算的经常使用工具之一，灵活、合理地应用因式
分解能够帮忙咱们解决很多数学问题。

问：那么咱们学了因式分解有什么用呢？
推出课题：因式分解的简单应用
二、例1计算：
（1）（2ab2-8a2b）÷(4a-b) (2) (4 x 2-9) ÷(3-2 x)
解: (1)（2ab2-8a2b）÷(4a-b)
=-2ab(4a-b) ÷(4a-b) （什么方式？）
=-2ab （理由？）
(2) (4 x 2-9) ÷(3-2 x)
=(2 x +3)(2 x -3) ÷[-(2 x -3)] （什么方式？）
=-(2 x +3) （理由？）
=-2 x –3 （理由？）
注意：运用多项式的因式分解和换元的思想，有时咱们能够把两个多项式相除，转化为单项式的除法。

问：你明白什么样的两数相乘，积为零吗？
三、合作学习
1 假设A·B=0,下面两个结论对吗？
（1）A和B同时都为零，A=0，且B=0；
（2）A和B中至少有一个为零，即A=0，或B=0。

2 你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗？
四、例2解以下方程：
（1）2x2+x=0 (2) (2x-1)2=(x+2)2
解: (1) 将原方程左侧分解因式，
得x(2x+1)=0 那么x=0或2x+1=0
∴原方程的根是x1=0,x2=-1/2
注意: 只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，经常使用带足标的字母表示，如X1, X2等。

（2）移项，得(2x-1)2-(x+2)2=0
将左侧分解因式，得(3x+1)(x-3)=0
那么3x+1=0 或x-3=0
∴原方程的根是x1=-1/3, x2=3
五、课内练习（请学生板演）
1、计算：（1）（a2-4）÷(a+2)
(2) (x2+2xy+y2) ÷(x+y)
(3) [(a-b)2+2(b-a)] ÷(a-b) （请学生指出同窗的错误）
2 解以下方程：(1) x2-2x=0 (2)4x2=(x-1)2（教师补充总结）
六、小结
1、请学生讨论这节课学到了哪些应用？再请一个人回答。

2、第一个应历时，用到了什么数学思想？注意哪些东西？
3、假设A•B•C=0能够推出什么呢？
4、你能说出用因式分解解简单的方程的步骤吗？
七、作业P163。