全国数学联赛初中数学试题及答案打印版

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2 0 1
3 年全国初中数学竞赛试题
班级姓名成绩供稿人:李锦扬
一、选择题〔共5小题,每题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A, B, C, D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里 ,不填、多填或错填都得0 分〕
1 .设非零实数a , b , c满足 a 2b 3c 0那么"b C聚的值为(). 2a 3b 4c 0, a
2 b2 c2
(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 1
2.a , b, c是实常数,关于x的一元二次方程ax2 bx c 0
有两个非零实根Xi, X2,那么以下关于X的一元二次方程中,以口,4
X1 x2为两个实根的是().
222 2 222 2
(A) c x (b 2ac)x a 0 (B) c x (b 2ac)x a 0
(C) c2x2(b22ac)x a20 (D) c2x2(b22ac)x a20
3.如图,在Rt^ABC中, O是斜边AB的中点,CDLAB
垂足为D, DH OC垂足为E.假设AD DB CD的长度都是有理数,
那么线段OD OE DE AC的长度中,不一定是有• • •
理数的为〔〕.
〔A〕 OD 〔B〕 OE
(D) AC
4.如图,△ ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F 在线段BC的延长线上,且BC 4CF , DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部的面积为〔〕.
〔A〕 3 〔B〕 4
(C) 6 (D) 8
5.对于任意实数x, y, z,定义运算“ *〞为:
3 3 - 2 2 3
3x y 3x y xy 45
x y --------------- 3 -------------------- 3-------- ,
x 1 y 1 60
且xyz x y z,那么2021 2021 L 3 2 的值为().〔第3题〕
〔第4题〕
(C) DE
6 .设a ® b 是a 2的小数局部,那么〔b 2〕3的值为.
7 .如图,点D, E 分别是△ ABC 勺边AC AB 上的 松 日百
点,直线Bg CE 交于点F,ACDF ABFE ABCF 〔弟7
屉〕 的面积分别是3, 4, 5,那么四边形AEFD 勺面积是.
8 .正整数 a, b, c 满足a b 2 2c 2 0 , 3a 2 8b c 0 ,那么abc 的最大值为.
9 .实数a, b, c, d 满足:一元二次方程x 2 cx d 0 的两根为a, b, 一元二次方程x 2 ax b 0的两根为c, d,那么所有满足条件的数组〔a,b c d 〕为.
10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支 售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共 350支, 当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是 2021元.那么他 至少卖出了支圆珠笔.
三、解做题
11 .如图,抛物线y ax 2 bx 3,顶点为E,该抛物线与x 轴交于 A, B 两点,与y 轴交于点C,且OB= OC= 3OA 直线
1 一 "一一 〔第 11 题
y - x 1与y 轴父于点D.
3
求/ DBC/ CBE
12 .设△ ABC 的外心,垂心分别为O, H ,假设
B, C, H, O 共圆,对于所有的△ ABC,求BAC 所有可 能的度数.
13 . 设a, b, c 是素数,记 xbca, ycab, zabc, 当 z 2y,五百2 时,a, b, c 能否构成三角形的三边长?证实你的结论.
14 .如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为m 的“魔术数〞〔例如,把 86放在415的左侧, 得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数〕.求正整 数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1, a 2,…,an,满足对任 意一个正整数 m 在即a"…,品中都至少有一个为 m 的魔术数.
(A)
607 967
、填空题
(B)
1821 967
(D)
16389 967
967
2021全国数学联赛试题参考答案 一、选择题
i .设非零实数a, b, c 满足a ,3
c 0;那么a b b c c a 的值为(). 2a 3b 4c 0, a 2 b 2 c 2
(A)
1
(B) 0 (C) 1
(D) 1
2
2
【答案】A
【解答】由得a b c (2a 3b 4c) (a 2b 3c) 0 ,故
2
1.2 .2 2
ab bc ca
1 b c) 0 . 于是 ab bc ca
-(a
b c ), 所以 - -- 2——2 一 .
2
a 2
b 2
c 2
2
2.a, b, c 是实常数,关于x 的一元二次方程ax 2 bx c 0 有两个非零实根X1,
X2,那么以下关于X 的一元二次方程中,以口,3
X 1
x 2
为两个实根的是().
(A) c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 (B) c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 (C)
c 2x 2 (b 2 2ac)x
a 2
(D) c 2x 2
(b 2 2ac)x
a 2
【解答】由于ax 2 bx c 0是关于x 的一兀二次方程,
x 〔 x 2
—, x 〔x 2 c , 且 x 〔x 2 0 , 所 以 a
a
1
(% x 2)2 2x 1x 2 b 2 2ac 1 1
a 2
~2 2~2
2
) ~ ~2 ~2 )
x 2
4x 2
c
x 1 x 2
c
(a 那么a 0.因
c 0 , 且
为 工 ~2
x
于是根据方程根与系数的关系,以
』为两个实根的一元二
次方程是 x 2 b —22acx — 0 即 c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 . c c
3.如图,在RtA ABC^, O 是斜边AB 的中 点,CD! AB,垂足为D, Da OC 垂足为E.假设AD DB CD 的长度都是有理数,那么线段 OD OE DE AC 的长度中,不一定 是有理数的为(). • • •
(A) OD (B) OE (C) DE
(D) AC
(第3题)
【解答】因AD 所以,.与.氏OC=DB CD的长度都是有理数,
AD BD是有理数.于是,OD
2
〔第3题做题〕
=OA- AD是有理数.
由RS DOEs
2 RtA COD,知OE OD-, OC ,
DE变坨都是有理数,而AC= /AD-AB不一定是OC
有理数.
4.如图,△ ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段
BC的延长线上,且面积为〔〕.
〔A〕 3 BC 4CF , DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部的
(B) 4
〔第4题〕
〔C〕 6
【答
案】
【解
(D) 8
C
由于DCF里平行四边形,所以DE/ CF
连接CE 由于DE/ CF,即DE/ BF,所以$△
DEF S ADEC
因此原来阴影局部的面积等于^ ACE勺面积.
连接AF,由于EF/ CD 即EFF/ AC 所以
S AACE=S A ACF.
由于BC 4CF ,所以S A AB C=4S X ACF.故阴影局部的面积
为6.
5.x, y, z,
〔第4题做题〕
(A) z x
607
3 2 2 3
3x y 3x y xy 45
3
x 1 y 1
那么2021
2021
1821
(B)——
967
60
2的值为().
5463
(C)——
967
(D)
16389
967 C

2021
2021 L
2021 2021 L 4 4
3m
m ,那么
3 3 3m2 9 m 27 45
于是2021 2021 L 3 2 3m2
3 93
3m 1 64 60
2 3 9
103
22 9
3 60
9 ,
3
2 45 5463
967
、填空题
6 .设a 语,b 是a 2的小数局部,那么(b 2)3的值为. 【答案】
【解答 (b 2)3 (39)3 7.如图, 9
1 由于1a
2 a 2 3, 故ba 2 2&2, 因此
9 .
点D, E 分别是△ ABC 勺边AG AB 上的
点,直线
Bg CE 交于点F,△ CDF ABFE ABCF 的面积分别是3, 4, 5,那么四边形AEFD 勺面积是.
[答案]理
(第7题)
13
【解答】如图,连接AF,那么有:
S AEF 4 S AEF S BFE BF
S AFD S AFD 3 S AEF
解得
S AEF 警
13 S AFD
FD
S AFD S CDF
CF S AEF
FE
c
96 S
AFD —— •
13
s BCF
S GDF
S BCF S
BEF
5 3 '
5
4,
(第7题做题)
所以,四边形AEFD 勺面积是
8 .正整数 a, b, c
3a 2
8b c 0,那么abc 的最大值为. 204
* 13
满足a
b 2
【答案】2021
【解答】由a b 2 2c 2 b 假设 假设


2 6a 2
1,那么 2,那么 3,那么
66 .由a 为正整数及 8b 6a 2 c 0消去C, 并整理得 a <66,可得 1wa03.
2
8 2
8 2
8
(ii )假设b 5,那么 59,无正整数解; 40,无正整数解; 9,于是可解得b 11, c 61 ,从而可得abc 3
c 13,从而可得abc 3 b 11 5 5 . 61 2021; 13 195.
综上知abc 的最大值为2021. 9.实数a, b, c, d 满足:一元二次方程x 2
cx d 0的两根为
a,
b, 一元二次方程x 2 ax b 0的两根为c, d,那么所有满足条件的数组 (a, b c d)为.
【答案】(1 2,1, 2), (t, 0 t, 0) (t 为任意实数)
a b c, 【解答】由韦达定理得
ab
d c d a,
cd b.
由上式,可知b a c d .
假设bd0,那么 ad1,cPl,进而 b d a c 2 . b d
假设 b d 0 ,那么 c a ,有(a, b c d) (t, 0 t, 0) (t 为任意实数). 经检验,数组(1, 2,1, 2)与(t, 0 t, 0)( t 为任意实数)满足条件.
10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售 4元,圆珠 笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共 350支,当天虽然笔没 有全部卖完,但是他的销售收入恰好是 2021元.那么他至少卖出了支 圆珠笔.
【答案】207
【解答】设x, y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,那么
4x 7y 2021, x y 350,
所以 x - (503 2y) 口, 4 4
于是上^是整数.又2021 4(x y) 3y 4 350 3y , 4 所以y 204 ,故y 的最小值为207,此时x 141 . 三、解做题 11 .如图,抛物线y ax 2 bx 3,顶点为E,该抛物线与x 轴交于 A, B 两点,与y 轴交于点C,且O 氏OO 30A 直线 『
1 _ (第11题) y - x 1与y 轴交于点D.
3
求/ DBC/ CBE
【解答】将x 0分别代入y
1
x 1 , y ax 2 bx 3
3
知,D (0, 1), q0, 3),
所以 B(3 , 0) , A ( 1 , 0).直线 y 1x 1 过点 B. 3
将点C (0 , 3)的坐标代入y a(x 1)(x 3),得a 1 .―(第11题做题)
............ 5分
抛物线y x 2 2x 3的顶点为E (1 , 4).于是由勾股 定理得
BC= 3", CP 灰,BE= 26.
由于BC+CE= B& 所以,△ BCE 为直角三角形, BCE 90 .
............. 10分
因止匕 tan CBE
=CE =1
,又 tan / DBOOD -,贝fj/ DBG= CBE .
CB 3
OB 3'
............. 15分
所以, DBC CBE DBC DBO OBC 45 .
............. 20分
12.设^ ABC 的外心,垂心分别为 O, H ,假设B, C, H, O 共圆,对 于所有的^ ABC,求BAC 所有可能的度数.
【解答】分三种情况讨论.
〔i〕假设^ ABC为锐角三角形.
由于BHC 180 A BOC 2 A,
所以由BHC BOC,可得180 A2A,于是 A 60 .
............ 5分
〔第12题做题〔ii〕〕
〔第12题做题〔i〕〕
〔ii 〕假设△ ABC 为钝角三角形.
当 A 90时,因

BHC 180 A, BOC 2 180 A ,
所以由BHC BOC 180 ,可得 3 180 A 180 ,于是 A 120 .
............. 10分当 A 90时,不妨假设 B 90 ,由于BHC A, BOC 2 A,
所以由BHC BOC 180 ,可得3 A 180 ,于是 A 60 .
............. 15分〔iii 〕假设^ ABC为直角三角形.
当A 90时,由于.为边BC的中点,B, C, H, O不可能共圆,
所以A不可能等于90 ;
当A 90时,不妨假设 B 90 ,此时点B与H重合,于是总有
8, C, H, O 共圆,因此 A 可以是满足0 A 90的所有角.
综上可得,A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120 .
............ 20分
13 .设a, b, c 是素数,记 x bca, y cab, z abc,当 z 2 y, .X J 2时,a, b, c 能否构成三角形的三边长?证实你的 结论.
【解答】不能.
依题意,得 a 1( y z), b - (x z), c 1
(x y) 2 2 2 由于 y z 2 所以 a -(y z) 1(z 2 z) zz- 2 2
2
又由于z 为整数,a 为素数,所以z 2或3,
当 z 2时,y z 2 4, x (百 2)2 16 .进而, c 是素数矛盾;
当z 3时,a b c 0,所以a, b , c 不能构成三角形的三边长.
20分
14 .如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为m 的“魔术数〞(例如,把 86放在415的左侧, 得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整
数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 为,a 2,…,a n,满足对任 意一个正整数 m 在即a"…,品中都至少有一个为 m 的魔术数.
【解答】假设nW 6,取m 1, 2,…,7,根据抽屉原理知, 必有a b a 2,…,a n
中的一个正整数 M 是i, j(1W i V j W 7)的公共的 魔术数,即 7|( 10M i ), 7|( 10M j ).那么有 7|( j i ),但 0V
j i06,矛盾.
故 n>7.
............ 10分
又当a2,…,第为1, 2,…,7时,对任意一个正整数 m 设 其为k 位数(k 为正整数).那么10k i m (i 1, 2,…,7)被7除的余数 两两不同.假设不然,存在正整数i, j(1&iVjW7),满足
7|[( 10k j m) (10k i m)],即 7110k (j i),从而 7|(j i),矛盾.
故必存在一个正整数i (iWi07),使得7|( i0k i m),即i 为m 的 魔术数. 所以,n 的最小值为7.
a 3.
.............10分 b 9, c 10,与 b ,
.............15分
............ 20分。

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