题型八 几何图形探究题【2021中考数学二轮复习题型专练】

(2)解：当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC ＝AE＋CF，如解图①，延长CD，EF交于点M.由(1)同理可证 △MED≌△CBD(AAS)，∴ME＝BC，
由(1)证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF＋MF ＝AE＋CF；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时 ，AE＝CF＋BC.如解图②，延长CD交EF于点M，由(1)证明过程同理可 得△MED≌△CBD(AAS)，CF＝FM，∴BC＝EM，
2. (2020·泰安)小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上， 抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝ ∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现： (1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图②)，小明经过探究，得到结 论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？_是___．(填“是”或“否” )
又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE， ∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB， ∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC；
(3)解：CF＝18或CF＝6， 当DE＝2AE＝6时，题图①中，由(1)得：AE＝3，BC＝AB＝BD＋DE ＋AE＝15， ∴CF＝AE＋BC＝3＋15＝18； 题图②中，由(2)得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD＋AD＝9，∴CF＝ BC－AE＝9－3＝6； 题图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6.
＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BCMA ＝DAMD ＝ 3 ，∵AC＝2 3 ，∴BM＝2 3
× 3 ＝6，∴AM＝ BM2－AB2 ＝2 5 ，∴AD＝12 AM＝ 5 .
1. (2020·牡丹江)在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝ DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F.请解答下列问题：
拓展延伸： (2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点． 请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理 由． 问题解决： (3)若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
解：(2)结论成立： 证明：∵BD⊥DF，ED⊥AD， ∴∠BDC＋∠CDF＝90°，∠EDF＋∠CDF＝90°， ∴∠BDC＝∠EDF， ∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF， ∵∠A＋∠ACB＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD， ∵∠E＋∠ECD＝90°，∠EDF＋∠FDC＝90°， ∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC， ∴点F是EC的中点；
＝90°，AB＝4，AC＝2 3 ，直接写出 AD 的长．
【分析】问题背景：由题意得出AADB ＝AACE ，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝ ∠CAE，可证得结论；尝试应用 ：连接 EC，证明△ABC∽△ADE，由(1)知 △ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出AEEC ＝ABDD ＝ 3 ，∠ ACE＝ ∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出DCFF ＝ACDE ＝3，则可求出答 案；拓展创新：过点 A 作 AB 的垂线，过点 D 作 AD 的垂线，
拓展创新：解：AD 的长为 5 .[解法提示]如解图②，过点 A 作 AB 的垂线， 过点 D 作∵∠BAD＝30°，∴∠DAM ＝60°，∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴MBDD
＝DDCA ，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，即∠BDM
两垂线交于点 M，连接 BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性 质得出MBDD ＝DDAC ，证明△BDM∽△CDA，得出BCMA ＝DAMD ＝ 3 ，求出 BM ＝6，由勾股定理求出 AM，最后由直角三角形的性质可求出 AD 的长．
问题背景：证明：∵△ABC∽△ADE，∴AADB ＝AACE ，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，AABC ＝AADE ，∴△ABD∽△ACE；
(1)证明：∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA， ∴AE＝EF，∵MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD， 又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF， 又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD(AAS)， ∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，即AE＋BC＝CF；
例 1 (2020·武汉)问题背景：如图①，已知△ABC∽△ADE，求证： △ABD∽△ACE；
尝试应用：如图②，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠
ABC＝∠ADE＝30°，AC 与 DE 相交于点 F，点 D 在 BC 边上，ABDD ＝ 3 ，
求DCFF 的值； 拓展创新：如图③，D 是△ABC 内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC
(1)当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE ＋BC＝CF；
(2)当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②； 当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请 直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
(3)在(1)、(2)的条件下，若DE＝2AE＝6，求CF的值．
尝试应用：解：如解图①，连接 EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，
由(1)知△ABD∽△ACE， ∴AEEC ＝ABDD ＝ 3 ，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE， 在 Rt△ADE 中，∠ADE＝30°，∴∠AED＝60°，tan ∠AED＝AADE ＝ 3 ， ∴AEDC ＝AADE ×CAEE ＝ 3 × 3 ＝3. ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF，∴DCFF ＝ACDE ＝3.