平面向量(沪教版)

专题:平面向量的概念
知识梳理
1．向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.例如:力，速度.
2．表示方法：用有向线段来表示向量。

有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向
量的方向。

用小写字母a ，b
…或用AB ，BC ，…表示.
注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.
3．模:向量的长度叫向量的模，记作a。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0
；零向量的方向不确定. 注意：0和0
是不同,0是一个数字,0 代表一个向量,不要弄混.
5．单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量。

a
a
a =0
注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆.
6．共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
注意：由于向量可以进行任意的平移,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量
平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a
,,若存在非零常数λ使b a λ=是b a ∥的充要条
件.
7．相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 练习:★判断下列命题的真假
1、平行向量的方向一定相同的。

( × ) 解：有可能方向相反。

2、与零向量相等的向量必定是零向量。

( √ ）
3、零向量与任意的向量方向都相同。

（ √ ）
4、向量就是一条有向的线段. ( × ）
5、若m n =，n k =,则m k =。

( √ )
6、若,b a
=，则.0=-b a (× ）
解：注意区分0和零向量.
典例精讲
例1（★）下列说法正确的是（D ）
A 、数量可以比较大小,向量也可以比较大小。

B 、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小。

C 、向量的大小与方向有关。

D 、向量的模可以比较大小.
解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小
例2（★★）给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同; ②若||||a b =，则a b =；
③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；
⑥若b c b a
∥∥,，则.c a ∥
正确的是____④⑤______
解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A ，B,C,D 有可能在一条直线上,⑥b
可能是零向量
例3. （★★）在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ C ）
.A AB DC = .B AD AB AC += .C AB AD BD -= .D 0AD CB +=
课堂检测
1（★）下列说法中错误的是（ A ）
（A ）零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行 (C ）零向量的长度为零 （D)零向量的方向是任意的
2（★★）已知O 在ABC ∆所在平面内，且OC OB OA ==，且则点O 是ABC ∆的（ B ） A.重心 B 。

外心 C.垂心 D.内心 解：向量经常会放在三角形中考虑，
重心：中线交点，外心:垂直平分线交点，垂心：高（垂线)的交点，内心：角平分线的交点。

B
A
C D
3(★★★）判断下列各命题的真假：
(1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；
（2)向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向一定相同或相反； （3)两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同; （4）两个有共同终点的向量,一定是共线向量；
（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ C )
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
解：假命题是（2）（4）（5)（6）；(2)向量a 与向量b 有一个为零向量,
专题：平面向量的数量积
知识梳理
1、向量的夹角：已知两个非零向量,a b ,如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与b 的夹角．θ的取值范围是0θπ≤≤ （1） 当0θ=时,表示向量a 与b 方向相同； （2） 当θπ=时，表示向量a 与b 方向相反； （3） 当2
π
θ=
时，表示向量a 与b 相互垂直。

【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和π的实际意义。

】
2、 向量的数量积
已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ（0θπ≤≤)，则把cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅．即
||||cos a b a b θ⋅=
(1）两个向量的数量积是一个实数；
(2）2
0a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a =
（3)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ,则cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．
显然b 在a 方向上的投影等于
||
a b
a ⋅．
（4）a b ⋅的几何意义： a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影
cos b θ的乘积．
【数量积a b ⋅中的运算符号“•”不能写作“⨯”，也不能省略.a 在b 方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定）,而不是长度，也不是向量;】
3、向量数量积的运算律 ①交换律成立:a b b a ⋅=⋅
②对实数的结合律成立:()()()()R b a b a b a ∈⋅=⋅=⋅λλλλ
③分配律成立:()c b c a c b a ⋅±⋅=⋅±()b a c ±⋅=
特别注意：
（1）结合律不成立：()()
c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立c
a b a ⋅=⋅不能得到⋅=c b
（3)b a ⋅=0不能得到a =0或b =0
④但是乘法公式成立： ()()
2
2b a b a b a =-=-⋅+；()
2
22
2b b a a b
a +⋅±=±
2b a +⋅±=;等等。

⑤两个向量垂直的充要条件是：0a b ⋅= 4、向量数量积的坐标表示
设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

a 与
b 夹角为θ，则
cos θ=
a 与
b 的夹角为锐角等价于12120x x y y +>且1221x y x y ≠
a 与
b 的夹角为钝角等价于12120x x y y +<且1221x y x y ≠ 【引进向量的坐标表示和运算，揭示了向量的方向的本质属性。

】
典例精讲
例1. (★★)（1）已知向量a 与b 的夹角为θ，且3
sin ,||55
a θ=
=，则a 在b 的方向上的投影是 ;
（2)在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，||3AC =，求AC AB ⋅的值. 解：（1）
a 与
b 的夹角为θ,且3
sin 5
θ=
，又0,||5a θπ≤≤=，
4cos 5
θ∴==±
， 所以向量a 在向量b 方向上的投影是4||cos 5()45
a θ=⋅±=±。

（2）
90,ACB AC CB ∠=∴⊥，
又,||3AB AC CB AC =+=，
()
(0)9
AC AB AC AC CB AC AC AC CB AC CB ∴⋅=⋅+=⋅+⋅⋅== 【（1)a 在b 方向上的投影是数值(其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量; （2）找准向量的夹角，用好数量积公式是解决有关向量数量积问题的两个要点。

】 例2. （★★★）已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为
4
π
，当向量a b +与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。

解：
a b +与a b λ+夹角为锐角,∴ ()()0a b a b λ+⋅+>
即2
2
(1)0a a b b λλ++⋅+>
23cos
34
a b π
⋅=⨯⨯= 5120λ∴+>,得125
λ>-
易知当1λ=时，a b +与a b λ+夹角为0︒
1λ∴≠ 从而得12
(,1)(1,)5
λ∈-
+∞ 【当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90)︒
︒
】 巩固练习
1. (★★★）已知||3a =，||3b =,a 与b 的夹角为
6
π
，试求2a b +与a b -的夹角的余弦值。

解：2a b +与a b -的夹角的余弦值 2. （★★★★）已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为
4
π
，当向量a b λ+与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围.
解：116λ-<
或116
λ->且1λ≠ 【0a b ⋅>是两向量夹角为锐角的必要不充分条件】 例3. (★★★★）已知ABC ∆,()()=-1,2,=-1,2.AB k AC （1)若k =4，求ABC S ∆；
（2）若三角形为直角三角形，求ABC S ∆. 解：(1)(3,2)AB =,设AB 与AC 为θ，cos
||||
AB AC
AB AC θ⋅=
= ，则sin θ=
1
||||sin 42
ABC
S
AB AC θ∴=
= （2）若90A ︒
∠=，0AB AC ⋅=得5k =5ABC
S
∴= 若90,B ︒
∠=0AB CB ⋅=得k =1或0（舍）1ABC
S
∴=
若90C ︒
∠=,0AC CB ⋅=，得k =0（舍）
【向量在垂直关系中的应用】
巩固练习(★★★）在直角三角形ABC ,(2,3),(1,)AB AC k ==，求实数k 的取值范围
解:23k =-
或113 例4．(★★★）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=,且,a b 满足关系||3||ka b a kb +=-，（k 为正实数)。

(1)求证:()()a b a b +⊥-；
（2）求将a b ⋅表示为k 的函数f （k ）。

(3)求函数f(k ）的最小值及取最小值时,a b 的夹角θ。

解（1）证明： 2
2
22()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-=
（2）
||3||ka b a kb +=-
22()3()ka b a kb ∴+=-⇒2222222363k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+ 22222222
cos sin 1,cos sin 1
21363a b k ka b ka b k ααββ=+==+=+⋅+=-⋅+又故
2211
,()(0)44k k a b f k k k k
++⋅==>得故
(3）
1
10,()42
k k k f k +
>=
≥
= 当且仅当1k k =即k=1时,故f （x)的最小值是1
2
， 此时1cos .0180.||||23
a b a b π
θθθ⋅=
=︒≤≤︒∴=又，
【向量具有独立的一整套运算体系，它可以上下贯通，左右协调,前后衔接，具有很强的工具性。

】
例5。

（★★★)已知三角形ABC 的面积为30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A = （1） 求A
B A
C ⋅；
（2） 若1c b -=，求a 的值。

解：由12
cos 13A =
,得5sin 13
A == 又1
sin 302
ABC
S
bc A == 156bc ∴=
(1）12
||||cos cos 15614413
AB AC AB AC A bc A ⋅===⨯
= (2）由余弦定理得 ：2
2
2
2
2cos ()2(1cos )a b c bc A c b bc A =+-=-+- 12
12156(1)2513
=+⨯⨯-
=，又0a > 5a ∴=
【三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了,解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．】
巩固练习(★★★）
已知△ABC 的面积S 满足错误!≤S ≤3,且错误!·错误!＝6，设错误!与错误!的夹角为θ. (1）求θ的取值范围;
（2）求函数f （θ）＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．
解：(1)∵错误!·错误!＝6，∴|错误!｜·｜错误!|·cos θ＝6.∴|错误!|·｜错误!|＝错误!. 又∵S ＝错误!|错误!|·｜错误!|·sin （π－θ)＝3tan θ, ∴错误!≤3tan θ≤3，即错误!≤tan θ≤1。

又∵θ∈(0，π），∴π6
≤θ≤错误!。

（2）f （θ）＝1＋2cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2 ＝错误!sin 错误!＋2，
由θ∈错误!，得2θ∈错误!,∴2θ＋错误!∈错误!.
∴当2θ＋错误!＝错误!π即θ＝错误!时，f （θ）min ＝3。

则 错误!≤θ≤错误! f （θ）min ＝3。

例6.（★★★★)已知向量011(1,3),(2,1),()2
n n OA OB OB OB n N *
-===-∈。

（1)判断01AB B ∆的形状，并说明理由; （2）求数列1{||}()n n B B n N *-∈的通项公式；
（3)若1n n AB B -∆的面积为1()n n AB B n S a n N -*∆=∈，求
12lim()n n a a a →∞
++
+．
解：（1）00(1,2)B A OA OB =-=-， 0012210OB B A ⋅=-⨯+⨯= 所以0001,OB B A AB B ⊥∆为直角三角形。

（2)11||||()2n n OB OB n N *-=
∈,所以{||}n OB 成等比数列，公比为1
2
011
||||()5()22
n n n OB OB ==，
1||n n B B -= 11
|||2|3||35()2n n n n n n OB OB OB OB OB --=+==
即1{||}()n n B B n N *-∈的通项公式为1||n n B B - 15()2
n =
()n N *
∈
（3）11
101111||||5()15()2222
n n n n n AB B n n a S B B B A -+∆-==⨯=⨯=
11
2
n n a a +=,{}n a 成等比数列,公比12q =,首项1154a =
1121515
4lim()112
12
n n a a a a q →∞
++
+===--
课堂检测
1. （★★★★)已知向量 ||1a e e ≠=，,对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则 ( ）
A 。

a e ⊥ B. ()e a e ⊥- C 。

()a a e ⊥- D 。

()()a e a e +⊥- 解:B
2.（★★★★） 设()()()0,0,1,0,0,1O A B ，点P 是线段AB 上的一个动点，=AP AB λ,若
OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围.
解
:11λ≤≤ 3。

（★★★★）已知a 与b 是非零向量，t 为实数，设u a tb =+ （1）当u 取最小值时,求实数t 的值； (2)当u 取最小值时，求证：b 与a tb +垂直 解：22222||()||2||u a tb b t ta b a =+=+⋅+ 222
22||()||()||||
a b a b b t a b b ⋅⋅=++- ∴当 2
||
a b
t b ⋅=-
，||u 取最小 （2）2
2
2
()0||
a b b a tb a b tb a b b b ⋅+=⋅+=⋅-= ()b a tb ⊥+
4. (★★★★）已知3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,)22
A B C ππ
ααα∈ （1） 若||||AC BC =,求α的值
（2） 若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan αα
α
++
解：(1）54πα= （2）5
9
-
5。

（★★★★)已知向量(1,1)a =，a 与b 夹角为3
4
π,且1a b ⋅=- （1）求向量b
（2）若向量b 与(1,0)c =的夹角为2
π，2(cos ,2cos
)2C d A =，其中,A C 为ABC 的内角，且,,A B C 成等差数列,求||b d +的取值范围。

解：(1)(1,0)b =-或(0,1)- (2）2||[,2b d +∈。