基于改进的引力搜索算法的T-S模型辨识

基于改进的引力搜索算法的T-S模型辨识
董新燕;丁学明;王健
【摘要】针对引力搜索算法在求解复杂问题时搜索精度较低、易出现早熟收敛的缺点.提出一个新颖的智能算法-基于基因突变的引力搜索算法来辨识T-S模型的参数,同时提出一种改进的聚类算法辨识T-S模型的结构,实验结果表明,改进算法辨识出的T-S模型结构紧凑、精度更高,且泛化能力强.
【期刊名称】《电子科技》
【年(卷),期】2015(028)011
【总页数】5页(P16-20)
【关键词】T-S模型辨识;基因突变;FCM聚类;引力搜索算法
【作者】董新燕;丁学明;王健
【作者单位】上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093;上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093;上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093
【正文语种】中文
【中图分类】TP273.4
自然世界中的系统基本上是非线性的，而辨识系统［1］是建立这些复杂的非线性系统模型最有效的方法。

其中T－S 模型［2－4］是一种有效的辨识工具，其采用线性方程去表示每一个非线性系统局部区域的局部规则，以局部线性化为基础，通
过模糊推理的方法实现全局的非线性。

本文基于引力搜索优化算法(gmGSA)［5－7］辨识T－S 模型的参数，但该算法在优化过程中仍存在早熟收敛现象，易陷入局部最优。

为克服标准引力搜索算法中全局搜索能力弱的缺点，本文借鉴遗传算法中基因突变(Genetic Mutations，GM)原理［8］，提出基于基因变异的引力搜索算法，用来辨识T－S 模型的参数。

同时利用基于模拟退火［9］和遗传算法的模糊C 均值算法(SAGAFCM)来辨识T－S 模型的结构。

该方法辨识出的系统模型精确，且在系统辨识中得到广泛应用。

1 T－S 模型
T－S 模型是一种描述复杂非线性过程的数学模型，可看作是分段线性化的扩展，将非线性系统作为一系列线性系统的加权组合［2］，能将线性控制理论应用到非线性控制系统中。

典型的T－S 模糊系统的模糊规则为
式中，i=1，2，…，m 为模糊规则数;x=［x1，x2，…，xn］为输入量;n 为输入变量x 的维数;w=［w1，w2，…，wn］为n 条规则的参数;yi 为第ith条规则的输出;Aij 为模糊子集。

若给定输入x=［x1，x2，…，xn］，则最终的输出变量y 可由式(2)计算得到
式中，yi 为第i 条规则的输出;μi 为第i 条规则的真值;μi(x)为隶属度函数，第i 条规则模糊集的隶属度函数为hi(x)，为各模糊子集的乘积，采用高斯隶属度函数
式中，cij为中心参数ci 的第j 个分量;σij是基宽参数σi的第j 个分量。

2 引力搜索算法的T－S 模型辨识
2.1 引力搜索算法
引力搜索算法(GSA)［5］是模拟万有引力定律的智能优化算法，在GSA 算法中，
种群个体在万有引力的作用下相互运动，个体的位置代表优化问题的解，质量通过函数值计算，解越好质量越大。

通过引力作用，个体之间相互吸引并向质量最大的个体方向运动。

当搜索结束时，质量最大的个体处在最优位置上，其位置信息对应相应优化问题的最优解。

在对最优解进行搜索的过程当中，依靠彼此间力的作用达到优化信息的共享，最终在万有引力的作用下，使得种群朝着最优解所在的区域运动。

设有N 个个体存在于D 维空间中，则第i 个个体的位置信息表达式为
式中代表第i 个个体在d 维空间的具体信息。

则在t 时刻，个体j 对个体i 的力为
式中，Mai为个体i 在t 时刻的惯性质量;Mpj为个体j 在t 时刻的惯性质量;G(t)为t 时刻的引力因子;ε 为一个恒定的极小值;Rij(t)为物体i 与物体j 间的欧氏距离。

则在t 时刻，个体i 在d 维上受到的合力
式中，j 是［0，1］范围内的一个随机值;kbest为有引力作用在i 上的个体数量;)表示第j 个个体对第i 个个体在d 维空间上的引力。

则在力的作用下，个体i在t 时刻在d 维上得到的加速度为
式中，Mii为第i 个个体的惯性质量。

在迭代过程中，个体的速度和位置更新方式如式(8)和式(9)所示。

式中，randi 是［0，1］的均匀分布。

引力因子G 会随着迭代的进行逐渐减小。

通过个体的适应度值来计算其惯性质量的大小，惯性质量相对较大的个体所处的位置较优，其距离最优值也相对较近，该个体对其他个体的力的作用也较大，同时其所获得的加速度相对较小，运动较慢。

个体的质量以及惯性质量如式(10)～式(12)
所示。

式中，fiti(t)为第i 个个体t 时刻的适应值;best(t)为t时刻最好的适应值;worst(t)
为t 时刻最差的适应值;Mi(t)为第i 个体t 时刻惯性质量，对于求最小值问题，best(t)和worst(t)定义如下
对于求最大值问题，best(t)和worst(t)定义如下
2.2 基于基因变异的引力搜索算法
为克服标准引力搜索算法中全局搜索能力弱的缺点，借鉴遗传算法中基因突变原理，提出基于基因变异的引力搜索算法，即gmGSA，算法在搜索策略上的变化如下: (1)设变异概率为pr，同时产生一个到之间的随机数，当pr ＞pm 时，随机产生新个体，否则个体位置不变
式(17)中，r'指产生新粒子的步长)和表示从种群中随机选取的两个位置，式(18)中，表示粒子原来的位置。

(2)对新个体进行评估，若新评估值fitnew 优于原先值fitold，则对个体位置更新到)，否则个体位置不变
gmGSA 搜索方式不同于传统的GSA 搜索方式，增加了一个变异概率，使得种群
多样性增加，算法全局搜索能力增强。

2.3 辨识原理
T－S 模型辨识分结构辨识和参数辨识，通常先进行结构辨识，确定规则数及规则
中心参数，然后再辨识模型参数。

结构辨识中不考虑参数辨识的影响，参数辨识是
在已经辨识出的模型结构前提下进行的，不能实现全局优化。

本文采用基因变异的引力搜索算法同时确定模型结构和参数，实现模型全局优化辨识。

具体方法为:聚类中心的维数为n，m 为指定的聚类数，聚类中的编码如图1 所示。

通过引力搜索和基因变异混合优化算法确定类中心，每个类表示一条规则，类中心即为高斯隶属度函数的中心参数ci，同时辨识出的参数还有基宽参数σi，模型的后件参数wi 和bi，算法实现简单。

每个个体表示一个完整的解ci，σi，wi 和bi。

个体编码方法如图2 所示。

图1 聚类中心编码方法
图2 个体编码方法
假设L 对训练数据(x1，y1)，…，(xL，yL)，采用经验风险最小化方法，训练目标使辨识误差最小
式中，n 为训练样本数;yi 和y^i 为第i 个输入样本的期望输出和模糊系统输出。

2.4 基于模拟退火遗传算法的FCM 算法
模糊C 均值聚类(Fuzzy C－Means Cluster)算法是一种模糊聚类算法，简称FCM 算法，该算法是一类基于目标函数的聚类算法，通过使目标函数收敛到最小值来达到聚类效果。

FCM 算法聚类，原理是用一个隶属关系矩阵U 来表示每个样本点对于每个类的隶属度，矩阵U中每个元素的取值范围为［0，1］，任意一个元素μij 表示第j 个样本数据对类i 的隶属度，任意样本点还应满足其对于所有类的隶属度之和为1，假设指定的聚类数目为c，用来聚类的数据样本点为X=x1，x2，…，xn，则
模糊C 均值聚类的目标函数式为
式中，ci 为第i 个模糊类的类中心，聚类指数m 的范围为［1，∞］，通常取
m=2，当m=1，模糊C 均值聚类变成C 均值硬聚类，为第i 个类中心与第j 个样本点的欧氏距离。

3 仿真实例与分析
这部分分别给出了两个实验来验证gmGSA 算法的辨识精度和经其辨识出的T－S 模型的泛化能力，一个是函数逼近问题，另一个是Box－Jenkins 煤气炉问题。

(1)静态非线性系统。

下面是一个具有两输入和一输出的静态非线性系统的表达式
为了比较，取文献［10］中50 组输入输出数据对来做预测测试，设定输入u1 和u2 随机均匀分布于［1，5］区间。

gmGSA 的参数设置成G0=10，β=6，最大迭代次数为500，种群规模为30，模糊规则数为6，辨识参数一共42 个。

表1 所示的是前件参数和后件参数的辨识结果。

图3 表示T－S 模型辨识的输出和真实系统的输出以及其之间的误差输出曲线图，与其他文献结果比较如表2 所示。

表1 静态函数T－S 模型的辨识参数Ri R1 R2 R3 R4 R5 R6 ci1 1.167 5 3.995 1
2.002 2 1.754 9
3.553 41.571 8 ci2
4.415 0 3.510 5 4.655 8 3.841 3 1.072 3
3.974 9 σi1 0.932 3 1.566 6 2.832 3 3.268 5 1.852 9 1.038 2 σi2 0.960 7 31.400 7 23.073 2 2.187 3 0.771 0 1.458 5 wi1 －6.076 9 0.511 3 5.871 8 －6.849 －1.044 －6.830 wi2 －0.178 1 0.719 0 －8.243 7 7.128 －7.328
4.238 0 bi 4.051 4 －9.970 0 16.655 1.505 1
5.701－2.505
表2 静态函数的辨识结果与其他文献的比较模型规则数参数个数MSE Sugeno ［11］ 6 650.079 0 Kim et al.［12］ 3 21 0.019 7 Kim et al.［13］ 3 21
0.009 0 Kung and Su［14］ 3 21 0.019 6 Li et al.［15］ 6 42 0.008 5 Nozaki et al.［16］ 25 125 0.008 5 Lee et al.［17］ 10 — 0.014 8本文模型 6 420.003 4
图3 静态非线性函数、T－S 模型及误差输出曲线
在此实验辨识非线性系统问题上，测试的是gmGSA的全局优化能力。

表2 显示，gmGSA 算法辨识出T－S模型的均方差为0.003 4，远低于其他文献辨识的结果，证明了gmGSA 算法具有较好的多样性，能够摆脱局部最优值的干扰，最终寻得
全局最优值。

(2)Box－Jenkins 煤气炉数据测试。

gmGSA 的鲁棒性，再次采用Box－Jenkins
煤气炉数据作为仿真对象。

前148 组数据作为训练数据来辨识T－S 模型，后
148 组数据则用来测试模型的泛化能力。

gmGSA 的参数设置成G0=5，β=6，最大迭代次数为600，种群规模为10。

仿真中采用3 条规则，共39 个辨识参数。

辨识出的模型参数如表3 所示。

表3 煤气炉T－S 模型参数Ri 参数向量c1 57.859 1 57.784 4 －0.672 5 －0.712 9 σ1 0.229 3 0.170 2 0.423 1 0.168 2 R1 w1 0.813 5 0.567 1 0.098 7 3.756 1
b15.000 0 c2 53.558 0 53.551 7 －0.374 2 －0.313 3 σ2 0.380 4 0.165 0
0.151 2 0.166 6 R2 w2 4.204 0 1.946 3 －2.978 9 －0.397 0 b2 4.999 7 c3 49.738 7 49.850 9 －0.742 0 －0.791 8 σ3 0.254 6 0.159 9 0.217 8 0.151 0
R3 w3 －0.207 2 －4.605 2 3.835 6 －4.966 9 b34.998 0
样本点和测试点与辨识模型的均方差分别是0.036 和0.101，具体如图4 和图5
所示，与其他文献辨识结果的比较如表4 所示。

图4 煤气炉样本点、T－S 模型及误差输出曲线
图5 煤气炉测试点、T－S 模型及误差输出曲线
表4 煤气炉辨识结果比较MSE模型规则数训练数据测试数据Lin et al.［18］ 5 0.0710.261 Kim et al.［13］ 6 0.034 0.244 Tsekouras［19］ 6 0.022 0.236 Li et al.［20］ 3 0.015 0.147本文模型 3 0.0360.101
该实验辨识的是煤气炉数据，主要用来测试用改进算法辨识出的T－S 模型的泛化
能力。

从表4 中观察，通过SAGA－FCM 聚类和gmGSA 算法辨识出的T－S 模
型在辨识精度上较其他文献并非最佳，但已非常接近。

重要的是，当用文中所提算法辨识出的T－S模型应用到另一组测试数据时，其表现出了最佳的稳定性和准确性，体现了改进算法辨识出的T－S 模型结构紧凑，且泛化能力强，继而再次证明了改进算法的有效性。

4 结束语
本文主要研究了引力搜索算法，针对标准引力搜索算法易“早熟”的问题，通过分析算法中各个因子的对算法性能的影响，提出改进的gmGSA 算法，通过“变异”来保持粒子的多样性，继而增加粒子种群收敛到全局最优的机会。

并应用于T－S 模型的辨识，经实验证明该算法具有辨识精度和较快的收敛速度，以及良好的全局收敛能力，辨识出的T－S 模型结构简单，精度更高，且泛化能力强。

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