高二数学上学期期中试题 理 2_1(共11页)

广西田东中学2021-2021学年高二数学上学期期中(q ī zh ōn ɡ)试题
理
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)
的抛物线HY 方程是 〔 〕
A. B. C. D.
，命题“假设，那么方程有实根〞的逆否命题是〔 〕
2x m =有实根，那么 B. 假设方程2x m =有实根，那么0m ≥
C. 假设方程2x m =没有实根，那么0m ≥
D. 假设方程2x m =没有实根，那么0m <
3. 在四棱锥
中，底面正方形
的边长为，侧棱长为，那么异面直线
与
所成角的大小为 ( )
A. B. C. D.
，那么“〞是“〞的〔 〕
5.点P 在抛物线y 2
＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的间隔 与点P 到抛物线焦点间隔 之和取最小值时，点P 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 6.
为三条不重合的直线，有以下结论：①假设
，那么
；②假设
,a b a c ⊥⊥，那么；③假设
，那么
.其中正确的个数为
〔 〕
A.0
B.1 C
7.椭圆(tuǒyuán)C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为3
3，过F 2的直线
l 交C 于A ，B 两点．假设△AF 1B 的周长为43，那么C 的方程为( )
A.x 23＋y 22＝1
B.x 2
3＋y 2
＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 2
4＝1
是双曲线的右焦点，点F 到渐近线的间隔 与双曲线的两焦点间
的间隔 的比值为
，那么双曲线的离心率为 〔 〕
A.2
B.
C. D.
9．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，那么AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.12 C.66 D.32
10. 设
为曲线
的焦点，
是曲线
与
的一个交点，
那么的面积为( ) A.
B.
C.3
D.
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是，过F 作的垂线与
双曲线交于
两点，假设
，那么该双曲线的渐近线的斜率为〔 〕
A. B. C. D.
12. 在中，点，且边上的中线长之和等于，那么 的重心的轨迹方程为〔〕
ABC
A. B. C. D.
二、填空题(此题一共(yīgòng)4小题，每一小题5分，一共20分)
的渐近线方程是，那么双曲线的焦点坐标是________．
14．命题“〞为假命题，那么实数的取值范围是________．15．抛物线的焦点为F，点为上的一点，假设，那么直线的倾斜角为 ________．
1与椭圆有两个公一共点，那么的取值范围是 ________．
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)
17. (本小题满分是10分)设命题：实数满足，其中；命题：实数x满足.
〔1〕假设，且为真，务实数x的取值范围；
〔2〕假设是的充分不必要条件，务实数a的取值范围.
18. (本小题满分(mǎn fēn)是12分)在等差数列{a n}中,a2=5,a5=11,数列{b n}的前n项和S n=n2+a n.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式; (2)求数列的前n项和T n.
19. (本小题满分是12分)三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M，N分别是A1B1，BC的中点．
(1)求证：AB⊥AC1；
(2)求证：MN∥平面ACC1A1.
20. (本小题满分(mǎn fēn)是12分),直线，假设动点到点F的间隔比它到直线的间隔小1，
〔1〕求动点M的轨迹方程；
l的直线方〔2〕直线过点F且与曲线E相交不同的两点，假设，求直线
1
程.
21.(本小题满分是12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD ＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)假设F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值．
22. (本小题满分(mǎn fēn)是12分)椭圆的离心率为，且过点.
〔1〕求椭圆的HY方程；
〔2〕设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点，试问：在x轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？假设存在，求出点Q的坐标及定值，假设不存在，请说明理由.
数学理科试卷答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D A A B A C C B C B 13. 14.15. 16.
17.
18.
(2)由，令
19.证明(zhèngmíng)：依条件可知AB ，AC ，AA 1两两垂直．如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz .
根据条件容易求出如下各点坐标：
A (0,0,0)，
B (0,2,0)，B 1(0,2,2)，
C 1(－1,0,2)，
M (0,1,2)，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
，1，0.
(1)∵AB ―→＝(0,2,0)，AC 1―→
＝(－1,0,2)， ∴AB ―→·AC 1―→
＝0×(－1)＋2×0＋0×2＝0. ∴AB ―→⊥AC 1―→
，即AB ⊥AC 1. (2)因为MN ―→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0，－2，
AB ―→
＝(0,2,0)是平面ACC 1A 1的一个法向量， 且MN ―→·AB ―→
＝－12×0＋0×2＋(－2)×0＝0，
所以MN ―→⊥AB ―→.
又因为MN ⊄平面ACC 1A 1，所以MN ∥平面ACC 1A 1. 20.〔1〕设
，依
化简得，
动点M 的轨迹方程：
〔2〕由题意，设
由得
那么(n à me)。

又
解得
经检验满足题意
即所求1l 的直线方程：
21.解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系，如图，可得B (1,0,0)，C (2，2,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1，1,1)．
(1)证明：BE ―→＝(0,1,1)，DC ―→
＝(2,0,0)， 故BE ―→·DC ―→
＝0. 所以BE ⊥DC .
(2)BD ―→＝(－1,2,0)，PB ―→
＝(1,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量． 那么⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·BD ―→＝0，
n ·PB ―→＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD
的一个法向量．
于是有cos 〈n ，BE ―→
〉＝n ·BE ―→
|n |·|BE ―→|
＝26×2＝33，
所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3
3
. (3)BC ―→＝(1,2,0)，CP ―→＝(－2，－2,2)，AC ―→＝(2,2,0)，AB ―→
＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上， 设CF ―→＝λCP ―→
,0≤λ≤1.
故BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋λCP ―→
＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF ⊥AC ，得BF ―→·AC ―→
＝0，
因此(yīncǐ)，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝3
4.
即BF ―→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，32.
设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量， 那么⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·AB ―→＝0，
n 1·BF ―→＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝0，－12x ＋12y ＋3
2
z ＝0.
不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2
＝(0，1,0)，
那么cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1
＝－310
10.
易知，二面角F ­AB ­P 是锐角， 所以其余弦值为310
10
.
22.〔1〕由题意知，，，解得
内容总结。