2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(五)理科数学

2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（五）
理科数学
一、单选题
1.已知集合1|244x A x ⎧⎫
=≤⎨⎬⎩⎭
…
，{|B y y ==，则A B =I （ ） A. {2} B. {0} C. [2.2]- D. [0.2]
【答案】B 【解析】 【分析】
分别计算集合[2,2]A =-，集合{0}B =，再求A B I .
【详解】由1
244
x
剟
，得22x -剟
，即[2,2]A =-
，由y =，得2x =，所以0y =，所以{0}B =，
所以{0}A B =I . 故答案选B
【点睛】本题考查了集合的
交集，属于简单题. 2.设a R ∈，若复数1i
a i
-+在复平面内对应的点位于实轴上，则a =（ ） A. 2 B. 1
C. -1
D. -2
【答案】C 【解析】 【分析】 化简
1i a i -+得()2
111
a a i a --++，再根据条件求a . 【详解】由于
()()()22
111111
i a i a a i
i a i a a ----+-==+++ 由复数
1i
a i
-+在复平面内对应的点位于实轴上. 所以10a +=，所以1a =-.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的除法运算，和复数在复平面上对应的点，属于基础题.
3.l 、m 、n 表示空间中三条不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n B. 若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβ
C. 若l αβ=I ，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，则αβ⊥
D. 若m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】
逐一分析各选项中命题的正误，可得出合适的选项.
【详解】对于A 选项，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 无公共点，所以m 与n 平行或异面，A 选项错误；
对于B 选项，若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则α与β平行或相交，B 选项错误；
对于C 选项，若l αβ=I ，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，则α与β斜交或垂直，C 选项错误； 对于D 选项，若m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，由平面与平面垂直的判定定理可得αβ⊥，D 选项正确. 故选：D.
【点睛】本题考查线面关系、面面关系有关命题真假的判断，可以利用空间中平行、垂直的判定和性质定理进行判断，也可以利用几何体模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
4.已知a v ，b v 为互相垂直的单位向量，若c a b =-v v v
，则cos ,b c =v v （ ）
A. 2
-
B.
2
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】
利用向量夹角公式即可得到结果.
【详解】代数法：
cos ,b a b b c b c b c ⋅-⋅<>==⋅r r r r r r r
r r
22===-r r r ，故选A. 【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.
5.设12,F F 分别为椭圆()2
22:11x E y a a
+=>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与E 相交于,A B 两
点，若1F AB ∆为正三角形，则a = （
）
A.
2
C.
32
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
由2F A x ⊥ 轴，可求出2AF ，在12Rt AF F ∆中可以建立关于a 的方程，求解出a . 【详解】设2(,0),F c 由2F A x ⊥ 轴，则(,)A c y ，
则2222
222
11c a c y a a a -=
-==，122
1F F AF a ==， 在12Rt AF F ∆中，12
2
tan
60F F AF =
. 1a =，即424430a a --=，解得232
a =， a =
故选：A
【点睛】本题考查椭圆的基本性质，求椭圆方程中的参数，属于基础题. 6.设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A. 2
211x x x x
+
+≥
C. 1
2x y x y
-+
≥- D. x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】
【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1
f x x x
=+
,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()
()22
1,x x f x f x >>>即2211x x x x +>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211
x x x x
++
≥正确，即A 正确；
=
<
=,故B 恒成立，
若1x y -=-,不等式1
2x y x y
-+
≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式． 7.在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a =3b c +=，
则ABC ∆的面积为( )
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦定理求得bc ,再根据三角形面积公式即可求解.
【详解】在ABC ∆中,60A =︒,a =
3b c +=
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-
代入可得223b c bc =+-,即()2
33b c bc =+-
所以2bc =
则ABC ∆的面积1133
sin 22222
ABC S bc A ∆==⨯⨯=
故选:B
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,属于基础题.
8.在平面直角坐标系xOy 中，已知2
111ln 0x x y --=，2220x y --=，则()()22
1212x x y y -+-的最小值
为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B 【解析】
根据条件得到()()22
1212x x y y -+-表示的是曲线2
111ln x x y -=，222x y -=上两点的距离的平方，∵y=x 2
﹣lnx ，∴y′=2x﹣1
x
（x ＞0）， 由2x ﹣
1
x
=1，可得x=1，此时y=1， ∴曲线C 1：y=x 2﹣lnx 在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=x ﹣1，即x ﹣y=0，
与直线x ﹣y ﹣2=0的距离为
2
=2， ∴()()2
2
1212x x y y -+-的最小值为2． 故答案为B ．
点睛：本题考查两点间距离的计算，考查导数知识的运用，求出曲线C 1：y=x 2-lnx 与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键．注意做新颖的题目时，要学会将新颖的问题转化为学过的知识题型，再就是研究导数小题时注意结合函数的图像来寻找灵感，有助于解决题目.
9.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）
A. 46
B. 44
C. 42
D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】
先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字. 【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下
(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),
2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为：
2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：
22242444442242244++++++++++++++=.
故选B.
【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.
10.设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +='交于M ,N 两点,若
||6MN =则MNF V 的面积为( )
A.
2 B.
38
C.
32
D.
32
【答案】B 【解析】 【分析】
由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得
C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4
π
，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，
从而得三角形面积．
【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4
C MN π
'∠=，4
NOx π
∠=
，
∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，32
p =
， ∴3
(
,0)4
F ，113332248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯
⨯=． 故选：B.
【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．
11.在内接于球O 的四面体ABCD 中,有AB CD t ==,6AD BC ==,7AC BD ==,若球O 的最大截面
的面积是
55
4
π
,则t的值为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意将四面体放入长方体中,由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径,球的最大截面既是过球心的圆,由题意求出外接球的半径,进而求出t的值.
【详解】将四面体放入到长方体中,AB与CD,AD与BC,AC与BD相当于一个长方体的相对面的对角线,
设长方体的长,宽,高分别是,,
a b c则
222
222
222
7
6
a b t
b c
a c
⎧+=
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
,
∴()
2222
285
a b c t
++=+
球O的最大截面的面积是
55
4
π
,球的最大截面即是过球心的大圆,
设球的半径为R则2
55
4
R
π
π=,
∴2222
(2)55,2
R R a b c
==++
∴2222
(2)R a b c
=++,
2
55285t
∴⨯=+,
解得:5
t=,
故选:A.
【点睛】考查三棱锥的外接球的半径的与长方体棱长的关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
12.已知函数22
()ln(1)
f x x x a x
=--(a∈R),若()0
f x≥在x∈(0,1］时恒成立,则实数a的取值范
围是 A.
［
4
,+ ∞） B. [
1
2
,+∞) C. [2,+∞) D. [1,+∞)
【答案】B 【解析】 【分析】
首先将式子化简，将参数a 化为关于x 的函数，之后将问题转化为求最值问题来解决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数进行简化，最后用洛必达法则，通过极限求得结果.
【详解】根据题意，有2
2
ln (1)0,((0,1])x x a x x --≥∈恒成立，当1a ≠时，将其变形为22ln 1
x x
a x ≥-恒成
立，即2max 2ln ()1x x a x ≥-，令22ln ()1x x
g x x =-，利用求得法则及求导公式可求得322
2ln '()(1)x x x x g x x --=-，令3()2ln h x x x x x
=--，
可
得
22'()312ln 232ln 3
h x x x x x =---=--，可
得
26(262
33
''()6x x x h x x x x x
+
--=-==
，因为(0,1]x ∈，所以
(0,)3
x ∈时，''()0h x <
，,1]3x ∈时，''()0h x >，所以函数)'(h x
在(0,3
x ∈时单调减，
在3x ∈时单调增，
即'()132ln ln 32h x h ≥=--=-，而'(1)0h =，所以()h x
在上是减函数，且(1)0h =，所以函数()h x
在区间上满足()0h x ≥恒成立，同理也可以确定()0h x ≥
在上也成立，即'()0g x ≥在(0,1]x ∈上恒成立，即22ln ()1
x x
g x x =-在(0,1]x ∈上单调增，且
22111ln 2ln 2ln 11
lim lim lim 1222
x x x x x x x x x x x →→→++===-，故所求的实数a 的取值范围是1[,)2+∞，故选B. 点睛：该题属于应用导数研究函数最值的综合问题，在解题的过程中，注意构造新函数，并且反复求导，研究函数的单调性，从而确定出函数值的符号，从而确定出函数的单调性，从而得出函数在哪个点处取得
最值，还有需要应用洛必达法则求极限来达到求最值的目的.
二、填空题
13.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，1
cos 2
a B
b
c +=，则角A 的大小为___________. 【答案】
3
π 【解析】 【分析】
根据正弦定理,将表达式转化为角的表达式,由三角形内角的定理,化简即可求得角A . 【详解】因为a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边,1
cos 2
a B
b
c += 由正弦定理可得1
sin cos sin sin 2
A B B C += 因为sin sin()C A B =+ 展开化简可得1
sin cos sin sin cos sin cos 2
A B B A B B A +=+ 即
1
sin sin cos 2
B B A = 因为三角形中sin 0B ≠ 则1cos 2
A = 解得3
A π
=
故答案
:
3
π 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.
14.现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为______. 【答案】48 【解析】 【分析】
先求得五个人的全排列,除去相邻的情况,即为同一年级学生不相邻的情况. 【详解】将五个人全排列,共有5
5A 种;
高一学生和高二学生都相邻:捆绑法把高一两个人和高二两个人看成一个整体,再三个团体全排列,共有
223223
A A A 种. 高一学生相邻,高二学生不相邻:捆绑法把高一学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高二的学生插3个空位中的两个,共有222223
A A A 种. 高二学生相邻,高一学生不相邻:捆绑法把高而学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高一的学生插3个空位中的两个,共有222223
A A A 种. 所以满足同一年级的
学生不能相邻的总排列方法有
5223222222522
322322312024242448A A A A A A A A A A ---=---=种
故答案为:48
【点睛】本题考查了排列问题的综合应用,对于相邻问题,通常使用捆绑法作为一个整体处理,对于不相邻问题,通常采用插空法处理,属于中档题.
15.已知直线
1y x =-与双曲线()2
2
10,0ax by a b +=><的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB
中点的直线的斜率为a b =______.
【答案】【解析】 【分析】
根据双曲线方程表示出双曲线的渐近线方程,与直线方程联立可得,A B 两点坐标,利用中点坐标公式求得中点M 的坐标.即可由直线斜率公式求得
a
b
. 【详解】双曲线()2
2
10,0ax by a b +=><
所以其渐近线方程为y x = 因为直线1y x =-与渐近线交于A ,B 两点
则1y x y x =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
解得x y ⎧=⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩
x y ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=
⎪⎪⎩
即两个交点坐标为A ⎛
,B ⎛ 设,A B 中点坐标为M 则由中点坐标公式可得11,1a b M a a b
b ⎛⎫ ⎪ ⎝+⎪⎪
+⎭
由题意OM k =
则2
M OM M
y a k x b
===-
故答案为
: -
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的简单应用,直线交点坐标的求法,斜率公式及中点坐标公式的应用,化简过程较为繁琐,属于中档题.
16.
已知边长为ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3
BAD π
∠=
，平面ABD ⊥平面
CBD ，则该球的球面面积为___________.
【答案】20π 【解析】 【分析】
根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD
重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作
OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:
因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为23,且3
BAD π
∠=
所以23sin
33
AE CE π
==⨯=
G 为底面等边三角形CBD 的重心,则11
3133
EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD
因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为r 在Rt AFO ∆和Rt OGC ∆中
()2
222
22
312h r h r
⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得1
5h r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以球的表面积为()
2
244520S r πππ==⨯=
故答案为: 20π
【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.
三、解答题
17.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，
3SB =；
（1）求四棱锥S ABCD -的体积；
（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．
【答案】(1) 6
6
；(2) 3π．
【解析】 【
分析】
（1）求出1BD =，3AC =，2SD =，由此能求出四棱锥S ABCD -的体积．
（2）取BC 中点E ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM 与SB 所成角．
【详解】解：（1）∵四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，
SD 垂直于底面ABCD ，3SB =，
∴1BD =，11211cos1203AC =+-⨯⨯⨯︒=，
22312SD BD SB =-=-=，
113
1322ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=
， ∴四棱锥S ABCD -的体积1136
23326
ABCD V S SD =
⨯⨯=⨯⨯=
． （2）取BC 中点E ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，
()1,0,0A ，(2S ，12,0,22M ⎛ ⎝⎭，132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 122DM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，13
22SB ⎛= ⎝u u r ，
设异面直线DM 与SB 所成角为θ，
则31cos 2DM SB DM SB
θ⋅===
⋅u u u u r u u r u u u u
r u u r ，故3
πθ=， ∴异面直线DM 与SB 所成角为
3
π． 【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角以及棱锥的体积，需熟记椎体的体积公式，异面直线所成的角可采用空间向量法进行求解． 18.
已知函数3()sin cos 22
f x x x ωω=
+（其中0>ω）
． （1）若函数()f x 的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若2ω=，0α<<π，且3
()2
f α=，求α的值． 【答案】（1）23ω=，递增区间332k k π⎡
⎤π-ππ+⎢⎥⎣
⎦，（k Z ∈）；（2）12πα=或4π.
【解析】 【分析】
（1）利用辅助角公式化简，根据函数f （x ）的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间； （2）将ω＝2，可得f （x ）解析式，0＜α＜π，由()3
2
f α=，利用三角函数公式即可求α的值． 【详解】解：（1）函数(
)322
f x sin x x ωω=
+=sin （ωx 6π+）， ∵函数f （x ）的最小正周期为3π，即T ＝3π2π
ω
=
∴ω2
3
=
那么：(
)2
3
6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
由2222
362
k x k π
ππ
ππ-
≤
+≤+，k ∈Z ， 得：332
k x k π
πππ-≤≤
+
∴函数f （x ）的单调递增区间为332
k k π
πππ⎡
⎤-++⎢⎥⎣
⎦
，，k ∈Z ；
（2）函数(
)32f x sin x x ωω=
+=（ωx 6π+），
∵ω＝2
∴f （x
）=（2x 6
π+
）， ()32f α=
，可得sin （2α6π+
）=
∵0＜α＜π，
∴
6π
≤（2α6π+
）136π
≤
2α63ππ+=或23
π
解得：α4π=或α12
π
=．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
*
1()2n
n a S n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足
*2()n n T b n N =-∈.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的
通项公式；
（2）求数列2n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和'n S . 【答案】（1）21n a n =-,1
12n n b -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=；（2）23
'32n n
n S +=-
. 【解析】 【分析】
（1）根据题意，求得12,a a ，然后求得公差，即可求出数列{}n a 的通项，再利用11
,1
,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩ 求
得{}n b 的通项公式； （2）先求出2n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项，然后利用数列求和中错位相减求和'n S . 【详解】解：（1）由2
12n n a S +⎛⎫= ⎪
⎝⎭，得2
11112a S a +⎛⎫
== ⎪⎝⎭，解得11a =. 由2
2
2122112a S a a a +⎛⎫
=+=+= ⎪⎝⎭
，解得23a =或21a =-.
若21a =-，则2d =-，所以33a =-.所以2
331312a S +⎛⎫=-≠= ⎪⎝⎭
，故21a =-不合题意，舍去. 所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=， 故21n a n =-.
数列{}n b 对任意正整数n ，满足2n n T b =-. 当1n =时，1112b T b ==-，解得11b =；
当1n >时，()()11122n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---=-， 所以()11
22
n n b b n -=
≥. 所以{}n b 是以首项11b =，公比1
2
q =
的等比数列， 故数列{}n b 的通项公式为1
12n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知
21
22n n n a b n -=， 所以2311352321
'...22222n n n
n n S ---=+++++，①
所以2311132321
' (22222)
n n
n n n S +--=++++，② ①-②，得2311122221
'...222222n n n n S +-=++++-
211111121 (22222)
n n n -+-⎛⎫=
++++- ⎪⎝⎭ 1
1
1112212112212
n n n -+⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦
=+
-
-
1
1
1121
1222
n n n -+-⎛⎫=+--
⎪⎝⎭
， 所以23
'32n n
n S +=-
. 【点睛】本题主要考查了数列的综合（包含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.
20.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>
的离心率2
e =
，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F
1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；
（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
212
x y +=（2）直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-（3）存在，()2,0P
【解析】 【分析】
（1）由椭圆C
的离心率2
e =
，且椭圆上一动点M 到2F
1，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()1
1y x k
=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；
（3）设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以
0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.
【详解】（1）由题意，椭圆C
的离心率e =
，且椭圆上一动点M 到2F
1，
可得22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪
⎪⎩
，解得11
a c
b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2
212x y +=.
（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()1
1y x k
=-
+， ∴()()11
1y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩
，得()22
11k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
∴()()
()
222
2
2
2
2
18211k k k
k
-+
=++，427610k k --=，∴21k =，
直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.
（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，
()22
122
y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222
124220k x k x k +-+-=， ∴2
122412k x x k +=+，2122
2212k x x k
-=+， ∵11AP y k x m =
-，2
2BP y k x m =-，所以()()()()
1221120AP BP
y x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数1
()ln f x a x x
=-，a R ∈． （1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-． 【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析 【解析】
【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}
0x x ，2
1()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点
处的切线与直线20x y +=垂直，
所以(1)12f a '=+=，即1a =．
（2）由于2
1
()ax f x x ='+． 当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立，
即()f x 在
上是增函数．
当0a <时，由()0f x '=，得．
当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、 当
时，()0f x '<，()f x 单调递减．
(3)当1a =时，1
(1)ln(1)1
f x x x -=---，．、
令1
()ln(1)251
g x x x x =--
-+-． 22
11(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=
+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在单调递减． 又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负．
所以当时，()0g x ≤．
即1
ln(1)2501
x x x --
-+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立． 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（其中t 为参数，且0)απ<<，在以O
为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为
22
tan cos ρθθ
=
，设直线l 经过定点P ，且与曲线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）求点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求证：不论a 为何值时，
22
11
||||+PA PB 为定值．
【答案】（Ⅰ）直角坐标为(1,0)，22(0)y x x =≠；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据题意,令直线l 的参数方程中0t =即可求出点P 的直角坐标，整理化简曲线C 的极坐标方程,结
合cos ,sin x y ρθρθ==,即可得到曲线C 的直角坐标方程;
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数t 的几何意义,利用韦达定理即可证明22
11||||+PA PB 为定值. 【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，且0)απ<<， 所以当0t =时，得点(1,0)P ，即点P 的直角坐标为(1,0)；
又曲线C 的极坐标方程为22tan cos ρθθ
=， 2sin 2cos 0ρθθ∴=≠，22sin 2cos 0ρθρθ∴=≠，
Q cos ,sin x y ρθρθ==，22(0)y x x ∴=≠，
即曲线C 的直角坐标方程为22(0)y x x =≠；
（Ⅱ）证明：将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩代入22(0)y x x =≠， 整理得22sin 2cos 20t t αα--=，其中0απ<<，
所以判别式△2224cos 8sin 44sin 0ααα=+=+>，
由韦达定理可得,1222cos sin t t αα
+=，1222sin t t α-=， 由参数方程中参数的几何意义可得,
2221212222221212()211114cos 4sin 1||||()4
t t t t PA PB t t t t αα+-++=+===， 即不论a 为何值时，2211||||
+PA PB 都为定值1． 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及参数方程中参数的几何意义;利用参数方程中参数的几何意义是证明22
11||||+PA PB 为定值的关键;属于中档题、常考题型. 23.已知不等式|2||1|5x x -++…的解集为M ．
（Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）设m 为M 中的最大元素，正数a ，b 满足a b m +=
【答案】（Ⅰ）{|23}M x x =-剟；
（Ⅱ）【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用分段讨论法,分12x -<<，1x ≤-,2x ≥三种情况分别去绝对值解不等式,然后再取并集即可; （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3a b +=，先平方,
利用均值不等式求出2
的最大值,然后再开方即可。

【详解】（Ⅰ）设函数121()213
12212x x f x x x x x x --⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-⎩
„…， 则当12x -<<时,()35f x =≤符合题意;
当1x ≤-时,由125x -≤，解得21x -≤≤-；
当2x ≥时,由215x -≤，解得23x ≤≤；
综上可知,原不等式的解集为{|23}M x x =-剟
． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3a b +=
，因为
23a b =+++
又因为
223a b ++=
+≥所以
()32312a b a b +++≤+
+=,
即212
≤
≤当且仅当21a b +=+，即1a =，2b
=时取等号,
的最大值为【点睛】本题考查分段讨论法解绝对值不等式和利用均值不等式求最值;考查运算求解能力、分类讨论思想；利用均值不等式的和为定值求积的最大值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.。