上海西南位育中学必修第一册第五单元《三角函数》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．sin 3
π
=（ ）
A ．
12
B ．12
-
C D ． 2．函数πcos 24y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的一条对称轴方程是（ ） A ．π
2
x =-
B ．π
4
x =-
C ．π8
x =-
D ．πx =
3．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2
π
个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（ ）
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．4
4．将函数()2
2sin cos f x x x x =+的图象向右平移
π
6
个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心是（ ）
A ．π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．(π
C ．π,06⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．π6⎛-
⎝ 5．化简求值1tan12tan 72
tan12tan 72
+-（ ）
A ．
B ．
C ．
3
D 6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A ．80,3⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦
7．设1
cos 3
x =-，则cos2x =（ ）
A ．
13
B C ．
79
D ．79
-
8．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．
A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．()32sin 34f x x π=-
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
9．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且
()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（ ）
A ．45
-
B ．
45
C ．
35
D ．
35
10．若4
cos ,5
αα=-是第三象限角，则sin α等于（ ）
A ．
35
B ．
35
C ．
34
D ．34
-
11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移π
6
个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度 C ．向右平移π
2
个单位长度 D ．向左平移
π
2
个单位长度
12．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝
⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
成立，则a =_______.
14．设函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛
⎫
=-
>> ⎪⎝
⎭
，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0>ω，使得()f x 在80,
19π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.
15．若sin 2
θ=
，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭______. 16．若()5
sin 4513α︒+=
，则()sin 225α︒+=________． 17．若1cos()2αβ-=，3
cos()5
αβ+=-，则tan tan αβ=__________.
18．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：
①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫
⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是
______．（填写所有正确结论的序号）．
19．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________. ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点. 20．已知1
tan()3πα+=-
，则
sin 2cos 5cos sin αααα
+=-______． 三、解答题
21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 的单调递减区间.
22．已知函数2()2cos )f x x x =--.
（1）求4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值和()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 23．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ到OB .设B 点与地面的距离为h .
（1）求h 与θ的函数关系式；
（2）设从OA 开始转动，经过10秒到达OB ，求h .
24．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，2
2
π
π
ϕ-<<
，x ∈R ，其
部分图象如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间. 25．已知函数2()322cos 1f x x x =
-+．
（1）求()f x 的最小正周期； （2）若对任意[
,]6
x m π
∈，都有()()6f x f π
≥，求m 的最大值．
26．已知函数2
()2sin 23)sin ()2f x x x x x ππ⎛
⎫
=+-+
∈ ⎪⎝
⎭
R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间20,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】
sin
3
π
=
. 故选：C.
2．C
解析：C 【分析】
根据余弦函数的对称轴可得π
22π4
x k +=，解方程即可求解. 【详解】
π22π4x k +
=，k Z ∈，则有π
π8
x k =-+，k Z ∈ 当0k =时，πcos 24y x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭的一条对称轴方程为π
8
x =-． 故选：C
3．C
解析：C 【分析】
先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析
()()f x g x =的条件并求解ω的值.
【详解】
由题意可知()sin 22
g x x π
ωω⎛⎫=+
+ ⎪⎝
⎭
，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，
又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，
所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，
故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω
=+， 得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.
故选：C.
【点睛】
本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于： （1）得出函数()g x 的解析式；
（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.
4．B
解析：B 【分析】
首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数()f x 化简 ，再根据三角函数的变换规则求出
()g x 的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；
【详解】
解：()2
2sin cos f x x x x =+
())
sin 2cos21f x x x ∴=+ ()
sin 2f x x x ∴=()π
2sin 23f x x ⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭将()f x 向右平移
π
6
个单位长度得到()g x ， ()ππ
2sin 263g x x ⎡⎤
⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦()
2sin 2g x x ∴=
∴()g x 的对称中心为()π2k k ⎛∈ ⎝Z ，
当2k =时为(π. 故选：B.
5．A
解析：A 【分析】
逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 72
1tan12tan 72
-+，即可求解.
【详解】 因为(
)tan 1272
-tan12
tan 72
1tan12tan 72
-=+
()tan 60=-=-
所以
()
1tan12tan 721
tan12tan 723tan 60
+=
==---.
故选：A
6．B
解析：B 【分析】
由正弦函数的性质可得1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】
由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦上单调递增，
∴
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，()f x 单调递增， 又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， ∴12(2)34
12(2)33k k πππωπππω
⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧
≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪
>⎪⎪∈⎩
，所以当0k =时，有102ω<≤，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：利用整体代入法得到
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.
7．D
解析：D 【分析】
利用二倍角的余弦公式可得解. 【详解】
1
cos 3
x =-，
22
12723cos 22cos 11199x x ⎛⎫
=-== ⎪⎝⎭
∴=----
故选：D.
8．B
解析：B 【分析】
根据函数图象得到3532,
41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T T
ππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
求解. 【详解】
由函数图象知：3532,41234
T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T T
π
πω==
=， 又函数图象过点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以 522,122
k k Z ππ
ϕπ⨯
+=+∈， 解得 2,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，
又因为 0πϕ-<<，
所以3
π
ϕ=-
，
所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，进而求出()f α 【详解】 由
2π
πω
=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇
函数，()2
k k Z π
θπ∴=
+∈，，又0θπ<<，得2
πθ=
，
()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫∴=+=- ⎪⎝
⎭，又由tan 2α=，可得
()2222sin cos 2tan 4
sin 2sin cos tan 15
f αααααααα-=-=
=-=-++
故选：A 【点睛】
关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，难度属于基础题
10．B
解析：B 【分析】
运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】
4cos ,5a a =-
是第三象限角，3
sin 5
a ∴==-，
故选：B 11．A
解析：A 【分析】
首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：
541246T πππ=-=，所以223T ππω
==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24
k ϕπ
=+π，k Z ∈. 又因为2
π
ϕ<
，所以4
π
ϕ=
，()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为
4436
π
π
π-
-
=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6
个单位长度.
故选：A 12．A
解析：A 【分析】
根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果.
【详解】 因为tan 62πα⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
-
，()tan 3αβ+=-， 则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛
⎫ ⎪
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝
⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-
12332
1=
=-⨯--.
故选：A. 二、填空题
13．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数
解析：1 【分析】
利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+
的形式：
()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π
8
x =
是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】
解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，
其中sin tan a ϕϕϕ=
=
=.
∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立， ∴π8x =
是f(x)的图象的对称轴，即π2,82
k k Z π
ϕπ⨯+=+∈, ∴,4
k k Z π
ϕπ=+
∈，
tan 1a ϕ==，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤
⎪
⎝⎭
成立，得出π8x =是f(x)的图
象的对称轴是关键.
14．①②③【分析】可把中的整体当作来分析结合三角函数的图象与性质即可得解【详解】由于恰有4个零点令由有4个解则解得①即由上述知故的值有且仅有个正确；②当时当时解得又故存在使得在上单调递增正确；③而所以可
解析：①②③ 【分析】
可把sin()y A x ωθ=+中的x ωθ+整体当作t 来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解． 【详解】
由于()f x 恰有4个零点，令6
t x π
ω=-，266t π
πωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，
， 由sin 0t =有4个解，则3246
x π
πωπ≤-<，解得
19251212
ω≤<， ①()0f x A =即0262
ππ
ωx k π-
=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确； ②当0x =时，66ππωx -
=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912
ω≤， 又19251212ω≤<
，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，正确； ③11()sin 262f x A x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝
⎭，而2[3,4)6π
πωππ-∈， 所以6
x π
ω-
可取
51317,,,
6666
ππππ
，共4个解，正确，
综上，真命题的序号是①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】
三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。

本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0
解析：0 【分析】 先求出1
cos 2
θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】
因为sin 2
θ=
，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以1
cos 2
θ=-，
所以11cos 062222
πθ⎛⎫
-=-⨯+= ⎪⎝
⎭. 故答案为：0
16．【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为故答案为： 解析：513
-
【分析】
直接利用诱导公式计算可得； 【详解】
解：因为()5sin 4513
α︒+=
，()()()5sin 225sin 45180sin 4513
ααα︒+=︒++︒=-︒+=-
⎡⎤⎣⎦ 故答案为：5
13
-
17．【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求的值进而根据同角三角函数基本关系式即可求解【详解】解：因为所以因为所以所以则故答案为： 解析：11-
【分析】
由已知利用两角和与差的余弦公式可求cos cos αβ，sin sin αβ的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】
解：因为1cos()2
αβ-=
， 所以1cos cos sin sin 2
αβαβ+=， 因为3cos()5
αβ+=-
， 所以3cos cos sin sin 5
αβαβ-=-，
所以1131cos cos ()22520αβ=-=-，11311
sin sin ()22520
αβ=+=，
则11
20tan tan 11
1
20αβ==--． 故答案为：11-．
18．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因
解析：①④ 【分析】
作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：
由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；
因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω
≤<，解得1229
510ω≤<，故④正确；
因为()0,2x π∈，所以,2555x π
π
πωπω⎛⎫+
∈+ ⎪⎝⎭
，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则25
2
π
π
πω+
<
，解得320ω<
，不符合1229
510
ω≤<，故③错误；
故答案为：①④ 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.
19．①②③【分析】对①根据即可判断①正确对②根据函数和的最小正周
期即可判断②正确对③首先得到再利用二次函数的性质即可判断③正确对④令解方程即可判断④错误【详解】对①因为函数的定义域为所以是偶函数故①正确
解析：①②③ 【分析】
对①，根据()()f x f x -=即可判断①正确，对②，根据函数cos 2y x =和sin y x
=的最小正周期即可判断②正确，对③，首先得到()2
192sin 48f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，再利用二次函数的性质即可判断③正确，对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，解方程即可判断④错误. 【详解】
对①，因为函数()f x 的定义域为R ，
()()()cos 2sin =cos 2sin f x x x x x f x -=-+-+=，
所以()f x 是偶函数，故①正确；
对②，因为cos 2cos2y x x ==，最小正周期为π，
sin y x =的最小正周期为π，
所以函数()cos 2sin f x x x =+的最小正周期为π，故②正确； 对③，()2
cos 2sin cos2sin 12sin sin f x x x x x x x =+=+=-+
2
192sin 48x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭.
因为0sin 1x ≤≤，当sin 1x =时，()f x 取得最小值为0，故③正确. 对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，即2
12sin sin 0x x -+=，
解得sin 1x =或1
sin 2
x =-
（舍去）. 当[]0,2x π∈时，sin 1x =，解得2
x π=
或32
x π=
， 所以()f x 在[]0,2π上有2个零点.故④错误. 故选：①②③
20．【分析】由已知条件求出再根据同角公式弦化切可解得结果【详解】故答案为：【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键 解析：
516
【分析】
由已知条件求出1
tan 3
α=-，再根据同角公式弦化切可解得结果. 【详解】
1tan()3πα+=-，1
tan 3
α∴=-，
sin 2cos tan 25cos sin 5tan αααααα++∴=--1
2
3153-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭
516
=． 故答案为：516
【点睛】
关键点点睛：弦化切求解是解题关键.
三、解答题
21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,
]()4
4
k k k Z π
π
ππ++∈ 【分析】
（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解； （2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论. 【详解】
（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==， 最小正周期为22
T π
π==，最大值为1； （2）由3222()2
2
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 解得
3()4
4
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44
k k k Z ππ
ππ++∈.
22．（1
π；（2）最小值1-；最大值2. 【分析】
（1）由二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得周期； （2）求得26
x π
+的范围后，由正弦函数性质得最值．
【详解】
（1
）因为2()2cos )f x x x =--
()
2223sin cos 23sin cos x x x x =-+-
()
2
2212sin
3sin 212sin 3sin 2x x x x =-+-=-+
cos 23sin 22sin 26x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
所以22sin 22sin 34463f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⋅+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以()f x 的周期为22||2
T ππ
πω===. （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，252,,2,33666x x πππππ⎡⎤
⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以当6
x π
=-
时，函数取得最小值16f π⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
. 当6x π
=时，函数取得最大值26f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求三角函数的周期，最值．解题方法是利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解．
23．（1） 5.6 4.8cos h θ=-；（2）3.2m. 【分析】
（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B 的坐标后可得h 与θ间的函数关系式； （2）由60秒转动一圈，易得点A 在圆上转动的角速度是/30
rad s π
，再计算出经过10秒
后转过的弧度数为3
π
，然后代入（1）中所求函数解析式计算即可得到答案. 【详解】
（1）以圆心O 原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，
则以Ox 为始边，OB 为终边的角为2
π
θ-，
故点B 坐标为 4.8cos ,4.8sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫-
- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
， ∴ 5.6 4.8sin 5.6 4.8cos 2h πθθ⎛
⎫
=+-
=- ⎪⎝
⎭
； （2）点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是/30
rad s π
，
∴经过t 秒后转过的角度30
t π
θ=，则经过10秒后转过的角度为3
π
θ=
，
∴ 5.6 4.8cos 5.6 2.4 3.23
h π
=-=-=（m ）.
【点睛】
关键点点睛：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O 为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键． 24．（1）()2sin 3f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；（2）单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）利用函数()y f x =的最大值可求得A ，由图象计算出函数()y f x =的最小正周期，可求得ω的值，再代入点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
，结合22ππϕ-<<可求得ϕ的值，由此可解得函数
()y f x =的解析式；
（2）利用三角恒等变换思想化简函数()y g x =的解析式为()sin 23g x x π⎛
⎫
=+ ⎪
⎝
⎭，然后解不等式()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，即可得出函数()y g x =的单调递
增区间. 【详解】
（1）由函数()y f x =的图象可知，()max 2A f x ==， 函数()y f x =的最小正周期为24236T πππ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
，则21T πω==，
又2sin 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得πsin φ16，
2
2
π
π
ϕ-
<<
，23
6
3
π
π
πϕ∴-
<+
<
，62ππϕ∴+=，解得3π
ϕ=，
因此，()2sin 3f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
； （2）
()()1cos 2sin cos 2sin cos cos 322g x f x x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21sin cos sin 22sin 223x x x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝
⎭ 令()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，得()51212
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈. 因此，函数()y g x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
已知图象求三角函数解析式()sin y A x b ωϕ=++（或()cos y A x b ωϕ=++）的步骤如下：
（1）先求振幅A 与平衡位置b ：()()max min
2
f x f x A -=，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求频率ω：2T
π
ω=
； （3）求初相ϕ：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值.
25．（1）π；（2）2
π. 【分析】
（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，再求最小正周期；（2）由题意可知当6
x π
=
时，函数取得最小值，首先求26
x π
-
的范围，再根据根据
函数的取值范围确定右端点的范围，求m 的最大值. 【详解】
（1）因为2()22cos 1f x x x =
-+
2cos 2x x =-
1
2cos 2)2
x x =- 2sin(2)6
x π
=-
所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=．
（2）由（1）知()2sin(2).6
f x x π=- 令2,6
t x π=- 当[
,]6x m π
∈时，[,2]66
t m ππ
∈-. 若对任意[
,]6
x m π
∈，都有()()6f x f π
≥，
即对任意[,2]66t m π
π∈-，都有1sin ,2
t ≥ 所以266
m π5π
-≤. 即2
m π
≤
， 所以m 的最大值为2
π. 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入求解函数性质，根据x 的范围，求x ωϕ+的范围，再代入sin y x =的性质，求解. 26．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
，k ∈Z ；（3）
[0,3].
【分析】
（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期；
（2）令26
z x π
=-
，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()
f x 的单调递减区间；
（3）由20,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.
【详解】 （1）由已知可得
()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
所以()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=.
（2）令26
z x π
=-
，
函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z .
所以32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤
+，k ∈Z 得
53
6
k x k π
π
ππ+≤≤
+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z .
（3）因为20,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈， 即()f x 在区间20,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围是[0,3]. 【点睛】
本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题.。