向量法及其应用

向量法及其应用
摘要
引言
文献综述
1向量法在几何中的应用
1．1用向量证明初等几何的解析法
解析法证明初等几何问题一般步骤:
1)恰当地选择坐标系,使题中某些点的坐标、直线和圆的方程呈较简单的形式。

2)根据题目要求,求出有关点的坐标、直线或圆的方程。

3)从已知条件出发,以求证的结论为目标,通过运算、推理,出要证的结果。

在运用解析法证明初等几何问题时,必须熟练掌握并善于使用在直角坐标
系下的有关公式,定理和方程。

如两点间的距离公式、定比分点公式,直线的斜率
公式,两直线夹角公式,两直线平行、垂直的充要条件,直线和圆的各种类型的方
程,圆的切线方程等。

以下分类型加以阐述:
1.等线段的问题
证明线段的相等或不等,线段的和差倍分及定
值问题,常用的方法是选定坐
标后,再利用两点距离公式,点到直线的距离等
知识来进行运算。

例1.如图1,以Rt△ABC的一直角边作直径作
⊙O,此圆与斜边AC交于D,过D引
⊙O的切线交BC于E。

求证:BE=CE
分析:以B为坐标原点,BA所在直线为X轴,
建立直角坐标系,设A(2a,0),B(0,
0), C(0,b),E(0,y0),则⊙O和直线AC的方程可
求,由AC交⊙O可求得出D点的坐标,再由
BE=ED,可求得E为BC
的中点。

例2.如图2,G为△ABC的重心,从各顶点及G向△ABC外一直线L引垂线AA′,BB′,GG′,垂足分别为A′、B′、C′及G′,则AB′
+BB′+CC′=3GG′。

分析:以直线L为X轴,B′为坐标原点,建立直角坐标系,由于△ABC各顶点坐标为已知,故可求出重心G的坐标,把A、B、C、G点纵坐标加以比较即可得证。

2,等角的问题
利用直线斜率公式,两直线平行、垂直条件及两直线夹角公式,可证明一些与角的度量有关的题目。

处理的方法一般较简单,只需在选定坐标系以后,求出有关点的坐标或方程,进行一些斜
率和角度的计算即可。

例3.如图3,锐角△ABC 的三条高线AD,BE,CF,H 为垂心, 求证:AD 平分∠EDF
简证:以D 为坐标原点,BC 边所在直线为X 轴,设A(0,a),B(-b,0)C(c,0),D(0,0),则AC,BE,ABCF 的方程分别为:
cy+ax-ac=0,ay-cx+bc=0,by+ax-ab=0,ay-bx+bc=0于是过AC,BE 交点和过AB,CF 交点的直线系方程分别为:
0)(,0)(21=+-+-+=+-+-+bc bx ay ab ax by bc cx ay ac ax cy λλ所以有 DF
DE DF DF DE K K a
bc ac ab K c
a bc
O b O a ab O a b O a b a b K b
a bc
O b O a ac O a c O a c a c K -=∴+-=
=
+∙+∙-∙+∙=
+-=
=
+∙+∙-∙+∙=
+-=,,,2
22
2111即
而而λλλλλλ即tg ∠BDF=tg ∠EDC,又∠BDF,∠EDC 均大于0小于180 故∠BDF=∠EDC,从而∠FDH=∠HDE,即HD 平分∠EDF 。

例4.如图4,在△ABC 中,AD ⊥BD 于D,且CD=AB+BD,求证∠ABC=2∠ACB ∠ABC=2∠ACB
简证:以BC,DA 所在直线为坐标,建立直角角坐标系,设A(0,a)B(-b,0),D(0,0),则AB =
2
2
b
a +,由
CD=AB+BD 得出C 点坐标
(b+2
2b a +,0) 所以tg ∠ABC=kAB=
b
a b
a b
a b a
b a b a
ACB tg =
++
-++=
∠2
2
2
2
2)
(
122，又∠ABC 及∠
ACB 均为锐角, 2∠ACB
3.三点共线与三线共点的问题
1)证三点共线,常用的方法有:ⅰ)先建立过两点的直线方程,再验证第三点也适合这个方程;ⅱ)若能证得kAB=kBC,则A,B,C 三点共线;ⅲ)点Ai(Xi,Y i)(i=1,2,3)共线的充要条件为
2)证明三线共点,常用的方法有:ⅰ)利用定比分点公式,分别求出三条线上某分点坐标,若求得相同,因直角坐标平面上的点和坐标一一对应,故三线共点;ⅱ)三条互不平行直线L1:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2,3) 若:
1
113
3
2211x
x
y x y x 3
3
3
222111C B A C B A C B A
则Li(i=1,2,3)相交于一点。

例5.求证△ABC 的外心O,垂心H 和重心G 在一直线上。

证明:如图5,作AD ⊥BC 于D,以D 为坐标原点, BC 所在直线为X 轴,设A(0,a),B(b,0), C(c,0),由重心坐标公式得G )3,3(a c b +BC 边上的中垂线方程为2
c
b x +=
，,AC 边上的中垂 线方程为。