高数B2总复习2015级

Fz(3,1,1) 2z 2
⑵
a
b
|
a||
b|
cos
a uv
b
a v
x
bx
a yby
azbz
x a
06下学期A卷
08下学期B卷
ur x {4, 2, 4}
⑶
例. 求直线：x 2 y 3z 与平面：
6x 2 y 15z 9 0 的位置关系。
直线与平面的位置关系
(1)
L
x0
1
)
x2 x y
x
1
y1
y1
y1
x2
lim[(1
x0
1 x
)
x2 x y
]
1 x lim[( ) x0 x
x2 x y
]
lim[(1
x0
x) xy
x2
]
y1
y1
y1 ( x) x y
x2
1 x3
lim(1 x) x y lim[(1 x) x ] x y e0
x0
x0
y1
y1
x2
x2 ln x
ABC mn p
(2) L // Am Bn Cp 0
⑶
例. 求直线：x 2 y 3z 与平面： 6x 2 y 15z 9 0 的位置关系。
解： 直线的方向向量：
a {m, n, p} {1, 1/ 2, 1/ 3}
平面的法向量：
b {A, B,C} {6, 2, 15}
lim( x2 y )2 x2 y2 e0 1
x0 y0
（4）.
sin xy2
lim
x2
y2
2
y0
x2 ey
lim
1
x0 cos y sin x
y0
lim(x2 y) sin 1
x0
x
0
y0
（5）.
lim e xy (1
x0
1
x2
) x y
x
lim e xy lim(1
x0
二次曲面
定义: 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
（2）椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
（3）马鞍面
x2 y2 z 2 p 2q
( p 与 q 同号 )
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
xy
xy
（3）. lim( x2 y )2 x2 y2 x0 y0
lim e lim e ln( x2 y2 )x2 y2
( x2 y2 )ln( x2 y2 )
x0
x0
y0
y0
1
lim u ln u lim ln u lim u 0
u0
u0 1 u
u0
1 u2
u x2 y2
axbx a yby azbz 0
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a;
（2）分配律：
(a
b)
c
a
c
b
c;
（3）若 为数：
(a)
b
a
(b )
(a
b ),
若
、为数：(a)
( b )
(a
b ).
a
b
|
a||
b|
cos
cos | aa||bb|,
cos
axbx a yby azbz
)
z c
o xa
by
[4] 平面的夹角 1 : A1 x B1 y C1z D1 0
n1
n2
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
1
A12 B12 C12 A22 B22 C22
[5] 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0
azby )i (azbx
axbz ) j
(axby aybx )k
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
向量间的关系
a//
b
ax ay az bx by bz
ar
r b
axbx
a y by
azbz
0
cos agb
axbx ayby azbz
空间解析几何与 向量代数
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
混合积
向量积
向量的表示法
向量的分解式：
a
a
x
i
a
y
j
az
k
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk
向量的坐标表示式： a {ax , a y , az }
(2)
1 //
2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
5、空间直线
[1] 空间直线的一般方程
z
1 L
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
o
y
L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
x
从方程中找出直线的方向向量
lim
x2
y2
y0
2 yx
(1) lim(1 xe y ) x x0 y1
2 yx
lim(1 xe y ) x
x0 y1
1
lim[(1 xe y ) xe y ]e y (2 y x) x0 y1
e2e
x y
(2) lim
x y
xy
x y
xy
lim
lim( ) 0
x y
xy
x y
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
柱面
定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面称之.
这条定曲线叫柱面的 准线，动直线叫柱面 的母线.
lim x x y lim e x y e0
x0
x0
y1
y1
y sin 2x （6）. lim
x0 xy 1 1
y0
y sin 2x ( xy 1 1)
lim
x0
xy
y0
4
（7）.
1 x2y 1
lim
x0
x3y2
sin( xy)
y0
x2 yห้องสมุดไป่ตู้
lim
sin( xy)
x0 x 3 y 2 (1 x 2 y 1)
y0
1
sin( xy)
lim
x0 1 x 2 y 1 xy
y0
1 2
（8）.
xye x lim x0 4 16 xy
y0
xyex (4 16 xy )
lim
x0
xy
y0
8
（9）.
(x2 y2)x2 y2
lim x0 1
cos(x 2
y2
)
y0
(x2 y2)x2 y2
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx ayby azbz 0
向量积 (叉积、外积)
|
c||
a||
b|
sin
其中
为a
与b
的夹角
c的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
x2 y2 z2
4、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
nM 0
( x0 , { A,
y0 B,
, z0 C}
(1)
L
ABC mn p
(2) L // Am Bn Cp 0
直线与平面的位置关系
(1)
L
ABC mn p
(2) L // Am Bn Cp 0
例题
⑴
9x y z 27 0
F 3x2 y2 z2 27
n {18, 2, 2}
Fx(3,1,1) 6x 18 Fy(3,1,1) 2 y 2 18(x 3) 2( y 1) 2(z 1) 0
L // Am Bn Cp 0
⑶
例. 求直线：x 2 y 3z 与平面：
6x 2 y 15z 9 0 的位置关系。
解： a {n, m, p} {1, 1/ 2, 1/ 3}
b {A, B,C} {6, 2, 15}
Am Bn Cp 1 6 2 1 15 1 0
向量的坐标： ax , a y , az
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
a {ax , a y , az }
b {bx , by , bz }
a
b
{ax
bx
,
a
y
by ,
az
bz
}
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
[2] 空间直线的对称式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
[3] 空间直线的参数方程
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
z s
L
M
M0
o
y
x
M0( x0 , y0 , z0 )
s {m, n, p}
[4] 两直线的夹角
直线 L1 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
直线 L2 :
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
[5] 两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
[6] 直线与平面的夹角
L : x x0 y y0 z z0
m
n
p
: Ax By Cz D 0
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
(0 )
2
直线与平面的夹角公式
[7] 直线与平面的位置关系
ab
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
（二）空间解析几何
空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
(1,1,1)
垂直关系。
向量的运算 线面关系
曲面的切平面 （结合微分应用） 利用线面关系求直线
多元函数微分学
主要内容
平面点集 和区域
极限运算
多元连续函 数的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
全微分 概念
全微分 的应用
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
偏导数 概念
2
3
直线与平面平行。 直线在平面上吗？
⑷
例 .5
已知直线
x 2y z 7 0 2x y z 7 0
平行，则: k (
与平面 )
（11年度试题）
3x ky 5z 4 0
(A) 1
(B) 1
( C ) 34
( D ) 34
rr r
ar
r b
i 1
j 2
k
1 3 , 1, 5
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程 F ( x, y) 0 ，在 空间直角坐标系中 表 示母线平行于z 轴的 柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(1) 平面 y x
(2) 圆柱面 (3) 抛物柱面
x2 y2 R2
x2 2 py ( p 0)
(4) 椭圆柱面 x2 y2 a2 b2 1
2 1 1
3, k, 5
33 k 25 0 , k 34
⑹
例.
求直线：
x x
y y
4z 1 30
0
与曲面：
z x2 y2 z2 在点 (1,1,1) 的切平面的位置关系。
解： a {n, m, p} {4, 4, 2} （叉乘） F F F
b { , , } {2, 2, 1} x y z
高阶偏导数
隐函数 求导法则
微分法在 几何上的应用
多元函数 的极值
2 yx
1. 求极限 (1) lim(1 xe y ) x , x0 y1
x y
(2) lim
x y
xy
（3）. lim( x2 y )2 x2 y2
x0
y0
（4）.
（5）.
lim e xy (1
1
x2
) x y
x0
x
y1
sin xy2
cos
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
向量的数量积 (点积、内积)
a
b
|
a||
b|
cos
其中 为a与b 的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
a
b
{a
x
bx
,
a
y
by ,
az
bz
}
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a {ax ,ay , az }
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式 | a| ax2 a y2 az2