2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：2.4二次函数

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.4二次函数
一、求二次函数的解析式
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求二次函数解析式的方法及思路
求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
2．例题解析
【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y 轴上的截距为1,在x 轴上截得的线段长为
求f(x)的解析式.
【方法诠释】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图象在x 轴上截得的线段长度公式为|x 1-x 2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式.
解析：设f(x)的两零点分别为x 1,x 2,
方法一：设f(x)=ax 2+bx+c,则由题知：
c=1,且对称轴为x=-2.
,∴-=-b 22a
即b=4a.∴f(x)=ax 2+4ax+1.
1
.2
∴-==⇒=1x a ∴b=4a=2 ∴函数f(x)的解析式为()1.2
=++2f x x 2x 1 方法二：∵f(x-2)=f(-x-2),
∴二次函数f(x)的对称轴为x=-2.
设f(x)=a(x+2)2+b,
且f(0)=1,∴4a+b=1.
∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,
∴-==
1
x
()
11
...
22
⇒=∴=-∴=++
2
a b1f x x2x1
【方法指导】用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)设一般式是通法；
(2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式,
若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量.
【例2】如图,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上、两点，该抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于点,且∠ABC＝90°,求：
(1)
直线AB对应函数的解析式；
(2)抛物线的解析式.
【解析】(1)由已知及图形得：A(4,0),B(0,-4k),(-1,0)，
又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB2=CO·AO.
∴(-4k)2=1×4,
1
.
2
∴=±
k
又∵由图知k＜0,
1
.
2
∴=-
k
∴所求直线的解析式为
1
.
2
=-+
y x2
(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则,
⎧
⎪=++
⎪
=
⎨
⎪
⎪-=-
⎩
016a4b c
2c
b
1
2a
解得.
⎧
=-
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
1
a
12
1
b
6
c2
∴所求抛物线的解析式为.
=--+
2
11
y x x2
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二、二次函数图象与性质的应用
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<一>求二次函数最值的类型及解法
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得． <二>二次函数单调性问题的解法
结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.
注：配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.
2．例题解析
【例】(2012·盐城模拟)已知函数f(x)=x 2+2ax+3,x ∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值；
(2)求实数a 的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数；
(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.
解析：(1)当a=-2时,f(x)=x 2-4x+3=(x-2)2-1,
则函数在［-4,2)上为减函数,在(2,6］上为增函数,
∴f(x)min =f(2)=-1,f(x)max =f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.
(2)函数f(x)=x 2+2ax+3的对称轴为,=-=-2a x a 2
∴要使f(x)在[-4,6］上为单调函数,只需-a ≤-4或-a ≥6,解得a ≥4或a ≤-6.
(3)当a=-1时,f(|x|)=x 2-2|x|+3
()(),,⎧++=++≤⎪=⎨-+=-+⎪⎩2222x 2x 3x 12x 0x 2x 3x 12x 0
＞ 其图象如图所示：
注：
1.影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论.
2.确定与应用二次函数单调性，常借助其图象数形结合求解.
三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题
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二次函数问题的解题思路
(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.
(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.
2．例题解析
【例3】设函数f(x)=ax 2-2x+2,对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f(x)＞0,求实数a 的取值范围.
【方法诠释】解答本题可以有两条途径：(1)分a ＞0,a ＜0,a=0三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min ,再令f(x)min ＞0,从而求出a 的取值范围；
(2)将参数a 分离得,-+22
2a x x ＞然后求()=-+222
g x x x
的最大值即可. 解析：方法一：当a ＞0时, ()(),=-+-211
f x a x 2a a
由f(x)＞0,x ∈(1,4)得：()⎧
≤⎪⎨⎪=-+≥⎩1
1a f 1a 220
或()⎧
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩114a 11f 20a a ＜＜＞或(),⎧≥⎪⎨⎪=-+≥⎩1
4a f 416a 820≥⎧∴⎨≥⎩
a 1
a 0 或1
2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1a 1
4a ＜＜＞或,⎧≤⎪⎪⎨
⎪≥⎪⎩1
a 4
3a 8
∴a ≥1或12a 1＜＜或Ø,即1
,2a ＞
当a ＜0时,()()
,=-+≥⎧⎪⎨=-+≥⎪⎩f 1a 220
f 416a 820
解得a ∈Ø;
当a=0时,f(x)=-2x+2,
f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得,
实数a 的取值范围是1
.2a ＞
方法二：由f(x)＞0,即ax 2-2x+2＞0,x ∈(1,4),得-+222
a x x ＞
在(1,4)上恒成立.
令()1
1
(),22=-+=--+22221g x 2x x x
()()1
(,),,2∈∴==max 1
11g x g 2x 4
所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要
1
2
a＞即可.
注：1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论.
2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.。