高考数学三模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

某某省某某实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2
4．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．
5．（5分）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）
A．1 B．2 C．D．3
6．（5分）如图，设区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x3}的概率为（）
A．B．C．D．
7．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α
8．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）
A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x
9．（5分）已知两个实数a，b（a≠b），满足ae a=be b．命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＞0，则下列命题正确的是（）
A．p真q假B．p假q真C．p真q真D．p假q假
10．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）
A．πB．πC．πD．2π
11．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值X围是（）
A．（2，4）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，4] D．
（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；
（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；
（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．
20．（12分）抛物线C1：x2=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：+=1相交于C，D两点．
（1）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；
（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣ax2（a≥0），l是曲线y=g（x）的一条切线，证明：曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）求证：（1+）（1+）（1+）…＜e（其中e为自然对数的底数，n∈N*）．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）选修4﹣1几何证明选讲
已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．
（I）求证．∠CDF=∠EDF
（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为
ρcos2θ=4sinθ．
（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．
某某省某某实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：复数分母实数化，然后求出复数的共轭复数即可．
解答：解：==1+i．
∴所求复数的共轭复数为：1﹣i．
故选：B．
点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
考点：命题的否定；全称命题．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选D．
点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．
解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
故选A．
点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．
4．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．
考点：等比数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与
a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．
解答：解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，
所以q3=，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．
故选B．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题
5．（5分）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）
A．1 B．2 C．D．3
考点：三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由
sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．
解答：解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．
∴sin2θ+cos2θ===1，
故选A．
点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
6．（5分）如图，设区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x3}的概率为（）
A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：根据积分的几何意义求出区域M的面积，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．
解答：解：根据积分的几何意义可知区域M的面积为=|=，
区域D的面积为1×1=1，
则由几何概型的概率公式可得点（x，y）恰好落在区域M内的概率等于，
故选：A
点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用积分的几何意义求出区域M的面积是解决本题的关键．
7．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α
考点：直线与平面垂直的判定．
专题：证明题；转化思想．
分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．
解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；
α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确
故选D
点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．
8．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）
A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x
考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．
解答：解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，
由抛物线的定义可知，
|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，
线段PQ中点的横坐标为3，
又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4
∴抛物线方程为y2=8x．
故选：C．
点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．
9．（5分）已知两个实数a，b（a≠b），满足ae a=be b．命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＞0，则下列命题正确的是（）
A．p真q假B．p假q真C．p真q真D．p假q假
考点：复合命题的真假．
专题：导数的综合应用；简易逻辑．
分析：考察函数f（x）=xe x，在x∈R上的单调性即可判断出p，q的真假．
解答：解：考察函数f（x）=xe x，x∈R，f′（x）=（x+1）e x，
令f′（x）＞0，解得x＞﹣1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x＜﹣1，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极小值即最小值，∴f（x）≥f（﹣1）=﹣．
对于命题p：由于a＜0，b＜0，lna+a=lnb+b不可能成立，因此是假命题；
对于命题q：a＜﹣1，0＞b＞﹣1，则（a+1）（b+1）＜0，因此q也是假命题．
综上可得：p，q都是假命题．
故选：D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）
A．πB．πC．πD．2π
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球的半径是，由求的体积公式可得．
解答：解：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球的半径是，
所以三棱锥A﹣FEC外接球的体积为；
故选B．
点评：本题考查了三棱锥外接球的体积求法；关键是明确外接球的半径，再由球的体积公式解答．
11．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值X围是（）
A．（2，4）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，4] D．
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
∵x∈（，）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．
∴≤，解得：a≤2．
∴a的取值X围是（﹣∞，2]．
故选：B．
点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．
12．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若
（m，n∈R），且mn=，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质；平面向量的基本定理及其意义．
专题：计算题．
分析：求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用，即可求出双曲线的离心率．
解答：解：由题意可知，
代入=，
得，代入双曲线方程，
得，所以4e2mn=1，因为，
即可得；
故选C．
点评：本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线离心率的求法，考查计算能力．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．
解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为
种．
取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．
则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．
所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．
故答案为
点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．
14．（5分）在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）
考点：二项式系数的性质．
专题：二项式定理．
分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数
解答：解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，
令r=4得含x2的项的系数是C64=15，
∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．
故答案为：15
点评：本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
15．（5分）已知函数f （x）=|x﹣3|+1，g （x）=ax．若方程f （x）=g （x）有两个不相等的实根，则实数a的取值X围是（，1）．
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：将函数表示成分段函数为f（x）=，作出函数的图象，看图说话就可以了．
解答：解：函数f （x）=|x﹣3|+1=，函数的图象如图：
，
当k=时，有一个交点；＜k＜1时，有两个交点．
故答案为（，1）
点评：本题考察了分段函数及其应用，以及函数交点问题，属于基础题．
16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＞0，S18＜0，则，，…，（n∈N*，n≤18））中最大的项是．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可知＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，由此可得答案．
解答：解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0
即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0
∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，
∴等差数列{a n}为递减数列，
故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；
∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，
∴知＞0，＞0，＞0…，＜0，＜0，…，＜0，
又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，
∴，，…，（n∈N*，n≤18）中最大的项为
故答案为：．
点评：本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．
考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；
（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之．
解答：解：（1）由题意知
．3分
∵y=cosx在a2上单调递减，∴令，得
∴f（x）的单调递减区间，6分
（2）∵，∴，又
，∴，即，8分
∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7.10分
因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得
2b=3c．
∴b=3，c=2.12 分．
点评：本题考查了向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简与性质的运用．
18．（12分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．
考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．
专题：计算题；空间角．
分析：（1）建立如图所示空间坐标系，得出P、B、F、D的坐标．设BE=x得E（x，1，0），算出的坐标，得出，由此可得无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（2）利用垂直向量数量积为零的方法，算出是平面PDE的一个法向量，结合=（0，0，1）与题中PA与平面PDE所成角，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程，解出x的值即可得到PA与平面PDE所成角的大小为45°时，BE的长．
解答：解：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间坐标系
则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），D（，0，0）
设BE=x，则E（x，1，0）
∴=（x，1，﹣1）
得=x•0+1×+（﹣1）×=0
可得，即AF⊥PE成立；
（2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为
则，得
∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）
∴sin45°==，得=
解之得x=或x=
∵BE=x，
∴BE=，即当BE等于时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．
点评：本题利用空间坐标系研究了线线垂直和直线与平面所成角大小．着重考查了空间垂直位置关系的判定与证明、直线与平面所成角和向量的夹角公式等知识，属于中档题．
19．（12分）现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：
（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；
（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；
（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．
专题：概率与统计．
分析：利用排列、组合知识和等可能事件的概率计算公式求解．
解答：解：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数为：
=360．
（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数为：
=192．
（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数为：+=1560．
（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率为：
P==．
点评：本题考查计数原理的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意排列、组合知识和等可能事件的概率计算公式的合理运用．
20．（12分）抛物线C1：x2=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：+=1相交于C，D两点．
（1）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；
（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）确定求抛物线C1的焦点F、椭圆C2的左焦点F1的坐标，即可求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，与抛物线方程联立，说明直线AB过抛物线C1的焦点F，再求出P的坐标，可得点P（2k，﹣1）到直线AB：kx﹣y+1=0的距离，从而求出|CD|，再求出|AB|，利用|AB|，d，|CD|成等比数列，即可得出结论．
解答：解：（I）抛物线C1的焦点F（0，1），…（1分）
椭圆C2的左焦点，…（2分）
则．…（3分）（II）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由，得x2﹣4kx﹣4m=0，…（4分）
故x1+x2=4k，x1x2=﹣4m．
由x2=4y，得，
故切线PA，PB的斜率分别为，，
再由PA⊥PB，得k PA k PB=﹣1，即，
故m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F．…（7分）
由，得，
，
即P（2k，﹣1）．…（8分）
于是点P（2k，﹣1）到直线AB：kx﹣y+1=0的距离．…（9分）
由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，…（10分）
从而，…（11分）
同理，|AB|=4（1+k2）．…（12分）
若|AB|，d，|CD|成等比数列，则d2=|A B|•|CD|，…（13分）
即，
化简整理，得28k4+36k2+7=0，此方程无实根，
所以不存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列．…（15分）
点评：本题考查椭圆、抛物线的性质，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查等比数列的性质，考查韦达定理的运用，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣ax2（a≥0），l是曲线y=g（x）的一条切线，证明：曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）求证：（1+）（1+）（1+）…＜e（其中e为自然对数的底数，n∈N*）．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求出函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设M（x0，y0）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y﹣g（x0）=g′（x0）（x﹣x0），构造h（x）=g（x）﹣，求出h（x）在x=x0处取得最大值h（x0），即h （x）≤0恒成立，从而得出结论；
（Ⅲ）先证明当x＞﹣1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，取对数，利用=2（﹣），结合裂项求和，即可得出结论．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
∵f（x）=ln（x+1）﹣x，
∴f′（x）=﹣，
∴﹣1＜x＜0，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞0，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），g（x）=ln（x+1）﹣ax2﹣x，
设M（x0，y0）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y﹣g（x0）=g′（x0）（x﹣x0），
即y=（﹣2ax0﹣1）（x﹣x0）+g（x0）
令h（x）=g（x）﹣，则
h′（x）=﹣2ax﹣1﹣（﹣2ax0﹣1），
∵h′（x0）=0，
∴h′（x）在（﹣1，+∞）上是减函数，
∴h（x）在（﹣1，x0）上是增函数，在（x0，+∞）上是减函数，
∴h（x）在x=x0处取得最大值h（x0），即h（x）≤0恒成立，
∴曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知ln（x+1）≤x在（﹣1，+∞）是恒成立，当且仅当x=0时，等号成立，
故当x＞﹣1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，
∵=2（﹣），
∴ln{（1+）（1+）（1+）…}
=ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln
＜++…+
=2=2（﹣）=1﹣＜1，
∴（1+）（1+）（1+）…＜e．
点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）选修4﹣1几何证明选讲
已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．
（I）求证．∠CDF=∠EDF
（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．
考点：与圆有关的比例线段；圆周角定理．
专题：综合题．
分析：（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•A F，再根据割线定理即可得到结论．
解答：证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF
∵∠BAD=∠FAB
∴△BAD∽△FAB
∴
∴AB2=AD•AF
∵AB=AC
∴AB•AC=AD•AF
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF
根据割线定理DF•AF=FC•FB
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB
点评：本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为
ρcos2θ=4sinθ．
（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．
考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：直线与圆．
分析：（1）先利用消去参数t得到曲线C的直角坐标方程．再将原极坐标方程
ρcos2θ=4sinθ两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；
（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系建立关于α的方程即可求出求出α的值．
解答：解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+cosα=0．曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，
曲线C的标准方程：x2=4y．
（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：
t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，
∴|AB|=|t1﹣t2|==8，
∴cosα=．
∴或．
点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．
考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．
专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于
，，或，或．
解得：x≤0或x≥5．
故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）
由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。