高高考数学三水区实验中学高三级第八次模拟测试.doc

高中数学学习材料
唐玲出品
2014~2015学年度三水区实验中学高三级第八次模拟测试
数学理科试题
说明：本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 试卷类型 B 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝ A ．13 B ．5 C ．7 D ． 13
2、设集合{}
lg(1)A x y x ==-，{
}
2,x
B y y x R ==∈，则A B ⋃＝ A ．∅ B ．R
C ．(1,)+∞
D ．(0,)+∞ 3、已知等边三角形ABC ∆的边长为a ，则AB BC ⋅=（ ） A ．212a - B ．232a -
C ．21
2
a D ．232a 4、某一考场有64个试室，试室编号为001-064，现根据试室号，采用系统抽样法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021试室号，则下列可能被抽到的试室号是（ ） A ．029，051 B ．036，052 C ．037，053 D ．045，054
5、已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是
A ．sin sin a b >
B ．22log log a b <
C ．1122
a b < D ．1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6、已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）
A ．①②③⑤
B ．②③④⑤
C ．①②④⑤
D ．①②③④
7、动圆M 经过双曲线13
2
2
=-y x 的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是 A 、2y ＝8x B 、2y ＝－8x C 、2y ＝4x D 、2
y ＝－4x
8、对于非空集合A 、B ，定义运算：},|{B A x B A x x B A ∉∈=⊕且. 已知
}|{b x a x M <<=，}|{d x c x N <<=，其中a 、b 、c 、d 满足d c b a +=+，0<<cd ab ，则=⊕N M
A ．),(),(c b d a
B ．),(),(b d a c
C ．(][)d b a c ,,
D ．(][)b d c a ,, 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题） 9、不等式
1x
1
-x 2<的解集为__________ 10、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，412S =，则7S = ．
11．=-⎰dx x |1|2
0_______________．
12、二项展开式5
22x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中，含x 项的系数为 ．（用数字作答）
13、某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-≥-625
2x y x y x ，则该校招
聘的教师最多是 名．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线1:l 122x t y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），2:l 12x s
y s
=⎧⎨=-⎩（s 为参数），
若12l l ⊥，则实数k = ．
15.（几何证明选讲选做题）如图，在半圆O 中，C 是圆O 上一点，直径
CD AB ⊥，垂足为D ，D C E ⊥B ，垂足为E ，若6AB =，D 1A =，
则C C E⋅B = ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、(本小题满分12分) 已知函数)(x f )4
sin(2x π
+=
(1) 求)(x f 的单调增区间
(2) 若），（4
32
ππα∈，且10
2
)2
(
=
α
f ，求αsin 的值
17、(本小题满分12分)
某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
25
． （1）试确定a 、b 的值；
（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；
（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ．
视觉 视觉记忆能力
偏低 中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力
偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3 b
偏高 2 a 0 1 超常
2
1
1
听觉 O
E
D
C
B
A
18、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD
⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =．
（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M BQ C --为 30，设PM t MC =⋅，
试确定 t 的值．
19、(本小题满分14分)
已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1
,1
n n b n N a =
∈+. ⑴ 求数列{}n b 的通项公式； ⑵ 证明：
22212
11
17n
b b b +++
<
20、(本小题满分14分)
已知动圆C 过定点（1，0）且与直线1x -= 相切
（1）求动圆圆心C 的轨迹方程； （2）设过定点M ）
，（04-的直线 与圆心C 的轨迹有两个交点A ，B ，坐标原点为O ，设α=∠xOA ，β=∠xOB ，试探究βα+是否为定值，若是定值，求定值，若不是定值，说明
理由
21、(本小题满分14分)
M
P
C
A
B
D
Q
已知函数
R x a ax x x f ∈>-
=),0(3
2)(3
2 （1）求)(x f 的单调区间和极值；
（2）若对于任意的),2(1+∞∈x ，都存在),1(2+∞∈x ，使得)(1x f )(2x f =1，求a 的取值范围
2014~2015学年度三水区实验中学高三级第八次模拟测试
数学理科答案
DAAD CDBD 9、（0，1） 10、42 11、1 12、80 13、10 14、1- 15、5
3、试题分析：依题2,3
AB BC B π
π=-=
，又AB BC a ==，所以211cos ,22AB BC AB BC AB BC a a a ⎛⎫
⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，故选A ．
5、试题分析：依题抽取的试室号是以5为首项，公差为8的等差数列，所以抽取的试室号应该满足()
*83n a n n N =-∈经检验知只有C 选项的两个037，053都满足，故选C ． 10、试题分析：因为36S =，412S =，所以4431266a S S =-=-=，所以
()174
74772722
a a a S a +⨯=
==7642=⨯=． 12、试题分析：()
()52535155221r
r
r
r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=⋅⋅-⋅ ⎪
⎝⎭，令351r -=即2r =，故含x 项
的系数为()2
23
52180C -=
16、
17、【答案与解析】（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102
()405
a P A +=
=，解得6a =．所以40(32)40382b a =-+=-=． 答：a 的值为6，b 的值为2．
（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．
方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以332
340C 124123()1()11C 247247
P B P B =-=-=-=．
答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为
123
247
． 方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以
()122138328328
340
C C C C C 123C 247P B ++==．
答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为
123247
． （3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记
忆能力偏高或超常的结果数为32416C C k k -，
所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416
340
C C ()C k k
P k ξ-==，()0,1,2,3k =；ξ的可能取值为
0，1，2，3，因为032416340C C 14(0)C 247P ξ===，122416340C C 72(1)C 247P ξ===，21
2416
3
40
C C 552(2)C 1235P ξ===，30
2416
3
40C C 253(3)C 1235
P ξ===， 所以ξ的分布列为
ξ
0 1 2 3
所以0E ξ=⨯
14247
1+⨯722472+⨯55212353+⨯253123522239
12355==．
答：随机变量ξ的数学期望为9
5
．
18、（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．） 解答：（Ⅰ）证法一：∵AD ∥BC ，BC=
1
2
AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，…………………4分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………5分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 证法二：AD ∥BC ，BC=
1
2
AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 ∵PA=PD ，∴PQ ⊥AD ． …………………3分 ∵PQ∩BQ=Q PBQ 平面、⊂BQ PQ ， …………………4分 ∴AD ⊥平面PBQ ． …………………5分 ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 （Ⅱ）法一：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．
∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．……………7分 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；……8分
(0,0,0)Q ，(0,0,3)P ，(0,3,0)B ，(1,3,0)C -．
P
14
247 72247 552
1235 253
1235
设(,,)M x y z ，则
(,,3)PM x y z =-，(1,3,)MC x y z =----……9分
PM t MC =⋅,∴1(1)3(3)13()3
1t x t x t x t y t y y t z t z z t ⎧=-⎪+=--⎧⎪
⎪⎪
=-⇒=⎨⎨+⎪⎪
-=-⎩⎪=
⎪+⎩，………10分 在平面MBQ 中，(0,3,0)QB =，33,,111t t QM t t t ⎛⎫
=- ⎪ ⎪+++⎝⎭
，
∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．……12分 ∵二面角M BQ C --为30°，∴2
3
cos302
30n m t n m
t ⋅︒=
=
=
⋅++，得3t =……14分 法二：过点M 作MO //PQ 交QC 于点O ，过O 作OE ⊥QB 交于点E ，连接ME ， 因为PQ ⊥面ABCD ,所以MO ⊥面ABCD ，由三垂线定理知ME ⊥QB ， 则MEO ∠为二面角M BQ C --的平面角。

…………9分（没有证明扣2分） 设CM a =，则PM a t =⋅，7PC =
，
t CP CM +==11PQ MO ，∴37
a MO =……………10分 OE ⊥QB ，BC ⊥QB ，且三线都共面，所以BC //OE
∴
t t PC PM QC QO +===1BC EO ，∴7
t a
EO ⋅= …………11分 在MOE Rt ∆中EO
MO
MEO =
=∠
30tan tan ，………13分 ∴33
3==t EO
MO 解得3t = ……………14分 E
E
O
19、解：⑴ 1224
1233
n n n n a a a a +++=-
=++ ……………………………………2分 ()()111231111
1
2221122
n n n n n n n n a a b b a a a a +++++=
=
==+=+++++ …………………6分
又112b =
，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2
n n
b = …………8分 （也可以求出12341234
,,,2222
b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前
2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分
数学归纳法证明过程如下： ① 当1n =时，112b =
符合通项公式2
n n
b =； ② 假设当n k =时猜想成立，即112k k k b a ==+，2
1k a k
=- 那么当1n k =+时
12
11
1123113k k k a k
k a a k
k
+----===
++-+，1111111211k k k b k a k +++===-+++ 即1n k =+时猜想也能成立
综合①②可知，对任意的*
n N ∈都有2
n n b =. ⑵ 当1n =时，左边=
2
11
47b =<不等式成立；……………………………………9分 当2n =时，左边=
2212
114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分 当3n ≥时，
()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭
左边=
22
2121111111
11
414()2334
1n b b b n n
+++
<++-+-++
--
114
54()77
=+-=-<
2n n
不等式成立…………………………………………………………………………14分
精心制作仅供参考唐玲出品。