01张量基础

01张量基础
第一章张量基础
晶体的物理性质一般是各向异性的，这些性质常常需要用与方向有关的两个可测量的量之间的关系来定义，而用张量来描述，张量是晶体物理的数学基础。

第一章张量基础
张量的基本知识张量的变换定律张量的几何表示法晶体对称性对晶体性质的影响晶体物理性质的相互关系
1.1 张量的基本知识（1）
一、标量与矢量
1、标量
在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温度、密度等等，它们都与方向无关。

这些无方向的物理量，称为标量（也称零阶张量）。

它们完全由给定的某一数值来确定。

1.1 张量的基本知识（2）
2、矢量
与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张量）。

它们不仅有大小，而且有一定的方向。

如电场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。

矢量用上方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。

矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是就可以 E 写成： E = [E , E , E ]
1 2 3
——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。

这样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴上的分量来确定。

1.1 张量的基本知识（3）
二、二阶张量
在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：
D =εE
ε——介电常数
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与的三个分量相关，此时，它们间的关系可表示为：D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E3
1.1 张量的基本知识（4）
即
D1 ? ? ε 11 ε 12 ? ? ? ? D2 ? = ? ε 21 ε 22 ? D ? ?ε ? 3 ? ? 31 ε 32
ε 13 ?? E1 ? ?? ? ε 23 ?? E 2 ? ?E ? ε 33 ? ?? 3 ?
ε 11 ε 12 ε 13 方形表ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。

ε 31 ε 32 ε 33
它有九个分量，每一个分量都与两个方向相关。

例如，ε11仅表示在x1方向上加电场E1与在x1方向上产生的电位移 D1 之间的比例系数；ε 32 则表示在 x2 方向上加电场 E2 与在x3方向上产生的电位移D3之间的比例系数，其它的可以以此类推，以解释各个分量的物理意义。

1.1 张量的基本知识（5）
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的关系还可以用综合下标i, j来表示为：
Di = ∑ ε ij E j
j =1
3
(i = 1,2,3)
通常去掉求和号，但要引入一个求和规则：当某一项中有重复出现的下标时，则自动按该下标求和，因此，上式可表示为：Di = ε ij E j (i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标
上式可按j展开，进而可写出Di的三个分量，则Di = ε i1 E1 + ε
i 2 E 2 + ε i 3 E3
1.1 张量的基本知识（6）
以上例子可以说明，在各向异性的介质中，任何两个相互作用的矢量之间的线性比例关系都形成二阶张量。

上述二阶张量[εij]就是描述晶体的介电性质的张量。

描述晶体物理性质的二阶张量有许多，例如，介质极化率张量、磁化率张量、电导率张量等。

如果用 P 和 q 代表在各向异性介质中线性相关的两个矢量，[T]代表它们之间的比例系数，则可写成：
Pi = Tij q j
(i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标
1.1 张量的基本知识（7）
其展开式为：
P1 = T11q1 + T12 q2 + T13q3 P2 = T21q1 + T22 q2 + T23q3 P3 = T31q1 + T32 q2 + T33q3
注意：用什么字母代替下标并不重要，重要的是重复下标的位置，因为在一般情况下，Tij≠Tji，如果 Tij=Tji，则二阶张量是对称的，称为对称二阶张量。

Tij是否对称，取决于物理性质本身。

总之，二阶张量有两个下标，9个分量。

标量和矢量也可以归于张量的范畴，标量无下标，称为零阶张量，仅有一个分量；矢量有一个下标，3个分量，称为一阶张量。

1.2 张量的变换定律（1）
在物理学中，并不是所有的与方向有关的物理量都可归于张量，而要看它是否遵守张量的变换定律。

在坐标系发生改变时(正交变换)，晶体物理性质本身是不变的，但描述该性质的张量的分量将发生变化，而且新坐标系中的分量必然与旧坐标系中的分量存在固定的联系。

因此，有必要研究一下张量的变换定律。

1.2 张量的变换定律（2）
一、坐标变换
由初等几何学可知，具有相同原点，且轴比例不变的直角坐标系
之间的变换称为正交变换。

假定用 x1 ， x2 ， x3 表示旧坐标系，用x'1 ， x'2 ， x'3表示新坐标系，则新坐标系轴的轴长为：′ = a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 x1 x′ 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 ′ = a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 x3
aij——新旧坐标系之间夹角的方向余弦
′ , x1 ), a11 = cos( x1 ′ , x 2 ), a12 = cos( x1 ′ , x3 ) a13 = cos( x1 ........
1.2 张量的变换定律（3）
如果用综合下标来表示，可写为：
x′ i = a ij x j
(i , j = 1,2,3)
注意：符号aij的第一个下标是对新轴的；第二个下标是对旧轴的，所有的方向余弦形成一个矩阵：
a11 a12 ? (aij ) = ? a21 a22 ?a ? 31 a32 a13 ? ? a 23 ? a33 ? ?
该矩阵是由旧坐标轴变换到新坐标轴的坐标变换矩阵，常简写为A。

1.2 张量的变换定律（4）
由新坐标轴变换到旧坐标轴称为逆变换，其相应的坐标变换矩阵为：
a11 ? (a ji ) = ? a12 ?a ? 13 a 21 a 22 a 23 a31 ? ? a32 ? a33 ? ?
显然，该矩阵是坐标变换矩阵的逆矩阵，简写为A-1。

根据矩阵的性质，如果A与A-1互为逆矩阵，则AA-1=1。

注意：在一般情况下，aij≠aji，而且aij的9个系数之间不是独立的，它们必须满足归一化关系式，即
1.2 张量的变换定律（5）
在一般情况下，aij≠aji，而且aij的9个系数之间不是独立的，它们必须满足归一化关系式，即 2 2 2 a 21a31 + a 22 a32 + a 23a33 = 0 a11 + a12 + a13 =1 2 2 2 a31a11 + a32 a12 + a33a13 = 0 a
21 + a 22 + a 23 = 1
a + a + a =1
2 31 2 32 2 33
a11a 21 + a12 a 22 + a13a 23 = 0
(i = j ) (i ≠ j )
如果用综合下标来表示，可写为：
1 a ik a jk = ? ?0
(i , j , k = 1,2,3)
——正交关系式
1.2 张量的变换定律（6）
如果引入一个单位矩阵δij
1 0 0? ? ? δ ij = ? 0 1 0 ? ?0 0 1? ? ?
或
1 δ ij = ? ?0
(i = j ) (i ≠ j )
(i , j = 1,2,3)
9个系数之间必须满足的归一化关系可综合写成：
a ik a jk = δ ij
(i , j = 1,2,3)
1.2 张量的变换定律（7）
二、矢量变换定律
假定矢量P在旧坐标系(x1， x2 ， x3) 中有三个分量 P1 ， P2 ，P3 ，在新坐标系(x‘1 ，x’2 ，x‘3) 中有三个分量P’1 ，P‘2 ，P’3 。

如图，P‘1 显然是 P1 ， P2 ， P3 在x’1轴上的投影之和。

因此，有
x3
P'1 P3 P2
x'1
P1
x2
x1
′ , x1 ) + P2 cos( x1 ′ , x 2 ) + P3 cos( x1 ′ , x3 ) P1′ = P1 cos( x1
即P1′ = a11 P1 + a12 P2 + a13 P3
1.2 张量的变换定律（8）
同样可写出：
P2′ = a 21 P1 + a 22 P2 + a 23 P3 P3′ = a31 P1 + a32 P2 + a33 P3
如果用综合下标来表示，可写为：
Pi′ = a ij Pj
也可以写成矩阵形式：
P1′ ? ? a11 a12 ? ? ? ? P2′ ? = ? a 21 a 22 ? P′? ? a ? 3 ? ? 31 a32 a13 ?? P1 ? ?? ? a 23 ?? P2 ? ?P ? a33 ? ?? 3 ?
(i , j = 1,2,3)
或简写为：
P ′ = AP
——矢量的正变换定律
1.2 张量的变换定律（9）
如果用新坐标系的分量表示旧坐标系的分量，可写出：Pi = a ji Pj′ (i , j = 1,2,3) 也可以写成矩阵形式：
P1 ? ? a11 ? ? ? ? P2 ? = ? a12 ? P ? ?a ? 3 ? ? 13 a 21 a 22 a 23 a31 ?? P1′ ? ?? ? a32 ?? P2′ ? ? ? a33 ? ?? P3′ ?
或简写为：
P = A P′
1
——矢量的逆变换定律
显然， aij和 aji是坐标变换矩阵，并互为逆矩阵。

矢量在正变换时，求和下标是相邻的；在逆变换时，求和下标是被分隔的。

1.2 张量的变换定律（10）
三、二阶张量变换定律
二阶张量分量的变换同样有正变换和逆变换两种形式。

如果二阶张量在新坐标系中的分量用它在旧坐标系中的分量来表示，则称为二阶张量的正变换；反之，称为逆变换。