3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案含解析新人教A版选修2_120170921267

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示[提出问题]如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为4，在AB ，AD ，AD 1上分别取单位向量e 1，e 2，e 3.问题1：e 1，e 2，e 3共面吗？ 提示：不共面．问题2：试用e 1，e 2，e 3表示AB 1―→. 提示：AB 1―→＝4e 1＋4e 2＋4e 3.问题3：若M 为A 1B 1的中点，能否用e 1，e 1，e 3表示AM ―→？ 提示：能，AM ―→＝4e 1＋2e 2＋4e 3.[导入新知]空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． [化解疑难]1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．[提出问题]{a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交基底．问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？提示：一定．问题2：任一向量p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？提示：是．问题3：单位正交基底之间的数量积e1·e2，e1·e3，e2·e3，e1·e1，e2·e2，e3·e3分别为多少？提示：e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，故有e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.[导入新知]空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：―→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．[化解疑难]空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则b的坐标为(λ，μ，k).[例1] 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ―→＝e 1＋2e 2－e 3，OB ―→＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ―→＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ―→，OB ―→，OC ―→}能否作为空间的一个基底．[解] 假设OA ―→，OB ―→，OC ―→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)． ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→成立． ∴OA ―→，OB ―→，OC ―→不共面．故{OA ―→，OB ―→，OC ―→}能作为空间的一个基底． [类题通法]判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[活学活用]设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }， ②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }， ④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的向量组有______个．解析：如图，所设a ＝AB ―→，b ＝AA 1―→，c ＝AD ―→，则x ＝AB 1―→，y ＝AD 1―→，z ＝AC ―→，a ＋b ＋c ＝AC 1―→.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：3[例2] 如图，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC ―→＝b ，OP ―→＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF ―→，BE ―→，AE ―→，EF ―→.[解] 连接BO ，则BF ―→＝12BP ―→＝12(BO ―→＋OP ―→)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ，BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝－a ＋12CP ―→＝－a ＋12(CO ―→＋OP ―→)＝－a －12b ＋12c ，AE ―→＝AP ―→＋PE ―→＝AO ―→＋OP ―→＋12(PO ―→＋OC ―→)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c ，EF ―→＝12CB ―→＝12OA ―→＝12a .[类题通法] 用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．[活学活用]如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．(1) BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→； (2)AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→.解：(1)∵BD ′―→＝BD ―→＋DD ′―→＝BA ―→＋BC ―→＋DD ′―→＝－AB ―→＋AD ―→＋AA ′―→， 又BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→， ∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ―→＝AA ′―→＋A ′E ――→＝AA ′―→＋12A ′C ′――→＝AA ′―→＋12(A ′B ′――→＋A ′D ′――→)＝AA ′―→＋12A ′B ′――→＋12A ′D ′――→＝12AD ―→＋12AB ―→＋AA ′―→， 又AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋zAA ′―→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.[例3] 如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量MN ―→的坐标．[解] ∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O .则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ，∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.[类题通法]用坐标表示空间向量的方法步骤为[活学活用]在直三棱柱ABO ­A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．解：∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－[OO 1―→＋12(OA ―→＋OB ―→)]＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→＝2e 2－4e 1－4e 3， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4).8.建立空间直角坐标系的常见失误[典例] 在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1―→，AB 1―→，AC 1―→的坐标．[解] 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC ―→，DA ―→，DD 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，2，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，2，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，所以 AA 1―→＝(0,0,2)，AB 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，AC 1―→＝12，－32，2.[易错防范]1．建系时，误认为AB ―→与AC ―→垂直，从而以A 为原点，以AB ―→，AC ―→，AA 1―→方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系导致错误．2．在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．[成功破障]已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面边长AB ＝2，侧棱BB 1＝2，点O ，O 1分别是AC ，A 1C 1的中点．若M 为BC 1的中点，试建立适当的空间直角坐标系并写出AM ―→的坐标．解： 建系方法不唯一．如：连接OB ，OO 1，则由已知易得OB ―→，OC ―→，OO 1―→两两垂直，故可以O 为坐标原点，以OB ―→，OC ―→，OO 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．故A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)， 则AB ―→＝(3，1,0)，AC 1―→＝(0,2,2)， ∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC 1―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，1.[随堂即时演练]1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：选C 对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基底；同理可判断B ，D 错误．2.如图，在四面体OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN ―→＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：选 B 连接ON (图略)，MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝12(b ＋c )－23a＝－23a ＋12b ＋12c .3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别为________________．解析：由空间向量坐标概念知a ＝(2，－4,5)，b ＝(1,2，－3)． 答案：(2，－4,5)，(1,2，－3)4．如图所示，点M 是OA 的中点，以{OA ―→，OC ―→，OD ―→}为基底的向量DM ―→＝x OA ―→＋y OC ―→＋z OD ―→，则(x ，y ，z )＝________.解析：∵DM ―→＝DO ―→＋OM ―→＝－OD ―→＋12OA ―→，又∵DM ―→＝x OA ―→＋y OC ―→＋z OD ―→ ∴x ＝12，y ＝0，z ＝－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－15．棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB ―→，AD ―→，AA 1―→}为基底，求下列向量的坐标：(1)AE ―→，AG ―→，AF ―→； (2)EF ―→，EG ―→，DG ―→.解：(1)AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→＝AD ―→＋12AA 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋12AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AF ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1F ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.(2)EF ―→＝AF ―→－AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1―→＋AD ―→＋12 AB ―→→ －⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12AA 1―→＋12AB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，0，12，EG ―→＝AG ―→－AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12AD ―→ －AD ―→＋12AA 1―→ ＝AB ―→－12AD ―→－12AA 1―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，－12， DG ―→＝AG ―→－AD ―→＝AB ―→＋12AD ―→－AD ―→＝AB ―→－12AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.[课时达标检测]一、选择题1．已知点A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2,3) B ．(－3,2，－3) C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知选项C 正确．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量，q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底；当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB ―→的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB ―→的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB ―→与向量OB ―→的坐标相同 D ．向量AB ―→与向量OB ―→－OA ―→的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；B ，C 都不正确；由于AB ―→＝OB ―→－OA ―→，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：选B 如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→) ＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 5．若向量MA ―→，MB ―→，MC ―→的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间一个基底的关系是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→≠MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→解析：选C 若MA ―→，MB ―→，MC ―→为空间一组基底向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中点M ，A ，B ，C 共面，因为OM ―→－OA ―→＝13OB ―→＋13OC ―→－23OA ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＋13(OC ―→－OA ―→)⇒AM ―→＝13AB ―→＋13AC ―→；选项B 中可能共面，MA ―→≠MB ―→＋MC ―→，但可能MA ―→＝λMB ―→＋μMC ―→；选项D 中的四点显然共面．二、填空题6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为______________________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．答案：(4，－8,3)，(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝______，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1.答案：1 －18．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF ―→＋λA 1D―→＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D . ∴EF ―→＝12A 1D ―→， 即EF ―→－12A 1D ―→＝0. ∴λ＝－12. 答案：－12三、解答题9．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }为空间的另一个基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，试求向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标．解：设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c .又∵p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，即p ＝a ＋2b ＋3c ，∴(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ＝a ＋2b ＋3c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝2，z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝－12，z ＝3.∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是32，－12，3.10．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.证明：设AB ―→＝a ，AA 1―→＝b ，AD ―→＝c ，则EF ―→＝EB 1―→＋B 1F ―→＝12(BB 1―→＋B 1D 1―→)＝12(AA 1―→＋BD ―→)＝12(AA 1―→＋AD ―→－AB ―→)＝12(－a ＋b ＋c )，AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→＝AB ―→＋AA 1―→＝a ＋b .∴EF ―→·AB 1―→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(|b |2－|a |2)＝0.∴EF ―→⊥AB 1―→，即EF ⊥AB 1.。