专题3-空间向量的正交分解与坐标表示

23,,e e 为有公共起点O 的三个两两点O 重合，得到向量OA =a ．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使得=a __________．我们把x ，y ，z 称作向量a 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标，记作=a __________．注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响． 5．单位正交基底之间的数量积运算（1）因为单位正交基底123,,e e e 互相垂直，所以121323⋅=⋅=⋅=e e e e e e __________． （2）因为123,,e e e 为单位向量，所以1122331⋅=⋅=⋅=e e e e e e ． 6．空间向量的坐标运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到． 设123(,,)a a a =a ，123(,,)b b b =b ，则 （1）112233(,,)a b a b a b +=+++a b ，112233(,,)a b a b a b -=---a b ，123(,,)a a a λλλλ=a ，112233a b a b a b ⋅=++a b ；（2）112233,,a b a b a b λλλλ⇔=⇔===∥a b a b ，11223300a b a b a b ⇔⋅=⇔++=⊥a b a b ， =⋅=|a |a a __________，112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++=++++<>a b ；（3）在空间直角坐标系中，已知点111()A x y z ,,，222()B x y z ,,，则A ，B 两点间的距离||d AB ==222121212()()()x x y y z z -+-+-．注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．重点空间向量基本定理及其意义，正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示难点利用向量的坐标运算解决垂直问题、平行问题及空间角的求解易错对基底概念理解不清、向量分解不彻底，混淆两向量平行与两向量同向 基底的判断判断给出的向量,,a b c 组成的向量组{,,}a b c 能否作为基底，关键是要判断向量,,a b c 是否共面，首先应考虑向量,,a b c 是否是零向量，其次判断非零向量,,a b c 是否共面．已知e 1,e 2,e 3是空间的一个基底,且=e 1+2e 2-e 3,=-3e 1+e 2+2e 3,=e 1+e 2-e 3,试判断,,能否作为空间的一个基底.空间向量基本定理的应用若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，1，如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1=4∶1，设=a ，=b ，=c ，用基底{a ,b ,c }表示以下向量：； (2)；(3)； (4).空间向量的坐标运算若点A (1,2,3),B (-3,2,7),且+2=0.(1)求点C 的坐标；(2)求·.已知点A (2，0，－1)，B (1，1，2)，C (3，－2，－3)．（1）向量AB 与AC 夹角的余弦值为______________； （2）若向量BC ∥a ，且38=|a |，则=a ______________；（3）若向量AB AC λ+与向量BC 互相垂直，则实数λ=______________．空间向量的坐标运算在立体几何中的应用利用空间向量的坐标运算求解立体几何问题时，关键是确定相关向量的坐标，一般有两种方法：（1）利用单位正交基底表示向量，然后对应写出坐标；（2）利用建立的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，然后利用有向线段表示坐标的方法用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标．如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,∠DPC =30°,AF ⊥PC 于点F ,FE ∥CD ,交PD于点E .证明:CF ⊥平面ADF .如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点. (1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值.对基底概念理解不清、向量分解不彻底如图1，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点．若1A A =a，11A D =b ，11A B =c ，试用基底{,,}a b c 表示向量1C M ．图1 图2混淆两向量平行与两向量同向已知向量(1,2,1)=-a ，2(,36,)m m m n =+-b ，若向量,a b 同向，求实数,m n 的值．1．（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定2．下列各组向量中,可以作为基底的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为(1,2,2)A ，(2,2,1)B -，则AB =（ ）A ．18B ．12C ．23D ．324．若向量a ，b 的坐标满足a +b =(-2,-1,2),a -b =(4,-3,-2),则a ·b =（ ）A ．5B ．-5C ．7D ．-15．已知(2,5,1)A -，(2,2,4)B -，(1,4,1)C -，则AC 与AB 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 6．设M (5,-1,2),A (4,2,-1),O (0,0,0),若,则点B 的坐标为（ ）A ．(9,1,1)B ．(-9,-1,-1)C ．(-1,3,-3)D ．(1,-3,3)7．已知点A 在基底{,,}a b c 下的坐标为(8,6,4)，其中=+a i j ，=+b j k ，=+c k i ，则点A 在基底{,,}i j k 下的坐标是（ ）A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2) 8．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{,,}a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 全不是零向量C ．ABC △为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底9．正方体ABCD A B C D -''''中，1O ，2O ，3O 分别是AC ，AB '，AD '的中点，以123{,,}AO AO AO 为基底，123AC xAO yAO zAO '=++，则x ，y ，z 的值是（ ）A ．1x y z ===B ．12x y z ===C ．22x y z ===D ．2x y z === 10．在如图所示的空间直角坐标系中,正方体的棱长为2,为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F 的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．11．若==,且,则的值是__________.12．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC △的重心，E 是BD 上一点， 3,BE ED =以{,,}AB AC AD 为基底，则GE =__________．13．在平面直角坐标系中,已知点,若三点共线,则．14．若{,,}a b c 是空间的一个基底，判断{,,}+++a b b c c a 能否作为该空间的一个基底．15．已知向量a =(-4,2,4),b =(-6,3,-2).(1)求|a |;(2)求a 与b 夹角的余弦值.16．如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =PD ．证明:平面PQC ⊥平面DCQ .17．已知空间三点A (-2，0，2)，B (-1，1，2)，C (-3，0，4)，设a =，b =.(1)设|c |=3，c //，求c .(2)若k a +b 与k a -2b 互相垂直，求k .18．已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3,-1,2),B (1,2,-1),C (-1,1,-3),D (3,-5,3),试判断四边形ABCD 的形状.19．设向量{},,a b c 是空间的一个基底，则—定可以与向量,=+=-p a b q a b 构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a 或b20．已知A (0,0,-x ),B (1,,2),C (x ,,2)三点,点M 在平面ABC 内,O 是平面ABC 外一点,且=x+2x +4,则与的夹角为（ ）A ．π6B ．π4 C ．π3D ．2π321．已知O ABC -是四面体，1G 是ABC △的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =．若OG xOA =+yOB zOC +，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,,)444 B ．333(,,)444 C ．111(,,)333 D ．222(,,)33322．若向量MA 错误!未找到引用源。

，MB ，MC 的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA 错误!未找到引用源。

，MB ，MC 成为空间一个基底的关系是（ ） A ．111333OM OA OB OC =++ B ．MA MB MC =+ C ．OM OA OB OC =++ D ．2MA MB MC =-23．若两点,当取最小值时,的值等于（ ）A ．19B ．87-C ．8 7D ．191424．已知向量(1,1,0)=a ，(1,0,2)=-b ，且k +a b 与2-a b 互相垂直，则k 的值为（ ） A ．1 B ．15 C ．35D ．7525．已知向量a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是（ ） A ．a ⊥c ,b ⊥cB ．a ∥b ,a ⊥cC ．a ∥c ,a ⊥bD ．以上都不对26．若向量(4,2,4)=-a ，(6,3,2)=-b ，则(23)(2)-⋅+=a b a b _________________．27．已知空间三点O (0,0,0),A (-1,1,0),B (0,1,1),若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ,则点H 的坐标为 .28．已知向量(,1,2)x =a ，(1,,2)y =-b ，(3,1,)z =c ，且a b ，⊥b c ．（1）求向量a ，b ，c ；（2）求向量+a c 与+b c 所成角的余弦值．29．已知a =(-1,2,2),b =(1,0,-2),c =a +t b ,并且实数t 满足关于x 的方程x 2-2tx+2t 2-7t+12=0有实数根.当|c |取最小值时,求t 的值.30．已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)若∥,且||=2,求点P 的坐标;(2)求以,为邻边的平行四边形的面积.31．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长2AB =，11AB BC ⊥，点O ，1O 分别是边AC ，11A C 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求三棱柱的侧棱长；（2）若M 为1BC 的中点，试用基底向量1AA ，AB ，AC 表示向量AM ； （3）求异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值．32．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQcos的最上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则θ大值为________________．组长签字。