《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
高中数学_3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
教案教情学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度空间坐标的定义是容易．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性是模糊．．的.效果分析一．类比与猜想的紧密结合本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.二．课堂与教材的有机整合教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.【教材分析】空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容。
高二数学选修2-1_《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(陈菊仙)一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能由平面向量基本定理拓展到空间向量基本定理，能够将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来，并能熟练应用于空间几何体中，借助图形进行空间向量的运算，用以解决证明与求值问题． （二）学习目标 1．理解空间向量基本定理及基向量、基底、坐标等概念．2．掌握将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来的基本方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，为立体几何证明与求值问题作好铺垫．（三）学习重点 1．空间向量基本定理及相关概念．2．空间任意一个向量用三个不共面的向量表示的方法．3．空间向量的分解在立体几何中的应用．（四）学习难点 1．深刻理解空间向量基本定理及合理选取基底，得到坐标．2．将空间任意向量拆分成三个不共面的向量．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第92页至第94页，填空：类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来． （2）写一写：特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标),,(z y x ．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换． 2．预习自测（1）已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则以下向量一定可以与向量b a p +=，b a q -=构成空间的另一基底的是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．都不可以【知识点】空间向量的基底．【解题过程】由平面向量基本定理知，b a p +=，b a q -=不共线，且在向量a ，b 决定的平面内，而c 不在该平面内，故p ，q ，c 构成空间的一组基底． 【思路点拨】三个向量构成空间的一组基底的充要条件是它们不共面． 【答案】C ．（2）已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，C 一定（ ） A ．共线B ．不共线C ．共面D ．不共面【知识点】空间向量的基底．【解题过程】向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则向量OA ，OB ，OC 共面，故点O ，A ，B ，C 共面．【思路点拨】深刻理解空间向量的基底．【答案】C ．（3）已知平行六面体1111D C B A ABCD -，点E 是侧面C C BB 11的中心且a AB =，b AD =，c AA =1，若c z b y a x AE ++=，则=++z y x ．【知识点】空间向量基本定理．【解题过程】∵AE )(211BB BC AB BE AB ++=+=AB ++=a ++= ∴1=x 21=y ，21=z ，=++z y x 2． 【思路点拨】合理的使用基底表示空间中的任意向量． 【答案】2．（4）已知向量a ，b ，c 不共面，向量b a p +=，c b q +=，a c r +=，若向量c b a AB ++=，则以p ，q ，r 为基底，=AB ． 【知识点】空间向量基底的线性运算． 【解题过程】c b a AB ++=)222(21c b a ++=)]()()[(21a c cb b a +++++==++． 【思路点拨】将基底a ，b ，c 转化为基底p ，q ，r 来表示．++ (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）平面向量基本定理； （3）基向量、基底、坐标等概念． 2．问题探究探究一 由平面向量基本定理类比空间向量基本定理★ ●活动① 类比提炼概念同学们，我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．【设计意图】由学生熟悉平面向量基本定理类比空间向量基本定理，从二维拓展到三维，让学生体会概念的类比过程． ●活动② 巩固理解，深入探究我们在平面向量基本定理的学习中，有哪些重要的概念呢？（抢答）由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，从而更深刻的理解基底的概念，有利于合理选取基底来表示空间任意向量． ●活动③ 深入探究，发现规律空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．但为了方便，我们会选取便于向量计算的基底．怎么选取才会更合适呢？（抢答）三个两两垂直的单位向量，它们的模长都是1，两两之间的数量积都是0，运算最简便． 【设计意图】通过设问，引导学生进行探究，为找到单位正交基底作出铺垫，使学生的理解更加深入．探究二 探究空间向量的坐标表示★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量基本定理类似，我们要找出最合适的基底．特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．【设计意图】通过找出单位正交基底，让向量和直角坐标系联系起来，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x,y,z)．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解定理的同时，指出有序实数组},,{z y x 和坐标),,(z y x 的关系，有利于下节课坐标的计算． 探究三 探究空间向量基本定理的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，与平面向量类似，空间向量基本定理把向量的线性表达式由二维拓展到了三维．同时使用单位正交基底，确定了空间中任意向量和坐标的对应关系，从而在下堂课顺利引出坐标表示和运算．【设计意图】归纳知识点和定理，学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量a ，b ，c 是不共面的三个向量，则以下选项中能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2,,2a a b a b -+B ．2,,2b b a b a -+C ．,2,a b b c -D ．,,c a c a c +-【知识点】合理选取空间向量的基底． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设a ，b 2，c b -共面，则有2b c xa y b -=+⋅， 解得()(12)c x a y b =-+-，与a ，b ，c 不共面矛盾， ∴a ，b 2，c b -不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面．【答案】C ．同类训练 已知向量{p ，q ，r }是空间的一个基底，q p m 2+=，q p n +=2，则以下向量一定可以与向量m ，n 构成空间的另一基底的是（ ） A ．pB ．qC ．rD ．都不可以【知识点】空间基底的选取． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设r 与q p m 2+=，q p n +=2共面， 则有r n y m x +=)2()2(q p y q p x +++=，与r ，p ，q 不共面矛盾，∴r 与q p m 2+=，q p n +=2不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面． 【答案】C ．【设计意图】不共面的向量可以作基底，让学生的理解更加深刻． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试以向量AC ，1AB ，1AD 为空间的一个基底表示1AC ．【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面都是平行四边形， ∴1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+，∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++)(21AA AD AB ++=12AC =，故1111()2AC AC AB AD =++．【思路点拨】先将AC ，1AB ，1AD 用侧面上的向量AB ，AD ，1AA 表示，再利用向量加法的平行四边形法则和运算律． 【答案】1AC )(2111AD AB AC ++=．同类训练 若向量21e e a +=，32e e b +=，31e e c +=，32132e e e d ++=，向量1e ，2e ，3e 不共面，则当c b a d γβα++=时，=++γβα ． 【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知得321)()()(e e e d γββαγα+++++=32132e e e ++=∴1=+γα，2=+βα，3=+γβ，故6321)(2=++=++γβα，∴3=++γβα 【思路点拨】将d 表示成1e ，2e ，3e 的组合，再利用空间向量基本定理求解． 【答案】3．【设计意图】使用不同的基底表示同一个向量，让学生对向量的分解的运算更加熟练． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，k j b +=，c k i =+，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标为（ ） A ．)10,14,12(B ．)14,12,10(C ．)12,10,14(D ．)3,2,4(【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】864OA a b c =++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++． 【思路点拨】先将OA 用基底},,{c b a 表示，再通过条件转化到用基底},,{k j i 表示． 【答案】A ．同类训练 设},,{k j i 是空间向量的一个正交基底，32a i j k =+-．242b i j k =-++，则向量b a +的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标表示及运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】b a +)23(k j i -+=)242(k j i ++-+k j i ++=6．【思路点拨】以},,{k j i 为基底来表示向量a ，b ，计算后再转化为坐标形式． 【答案】)1,6,1(．【设计意图】基底表示和坐标表示是空间向量基本定理的两种重要形式，它们之间的相互转化是非常重要，也是必须掌握的． 3.课堂总结 知识梳理（1）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=，即空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．（3）若1e ，2e ，3e 为三个两两垂直的单位向量（单位正交基底），那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．这就是从正交基底到直角坐标系的转换． 重难点归纳（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的三维拓展，表示的重点在于合理拆分． （2）选取单位正交基底后，向量就转化到了直角坐标系中，计算更方便． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知},,{c b a 是空间的单位正交基底，c b a d --=32，则向量d 在基底},,{c b a 下的坐标为（ ）A ．)1,3,2(B ．)1,3,2(--C ．)1,3,2(-D ．)1,3,2(--- 【知识点】向量数量基底表示与空间坐标的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】根据空间坐标的定义，向量a ，b ，c 的系数组成的有序实数组就是向量d 的空间直角坐标．【思路点拨】深刻理解空间直角坐标系的概念．【答案】B ．2．已知},,{c b a 是空间的一个基底，若b a p +=，b a q -=，则（ ） A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底【知识点】空间向量基底的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设q y p x c +=，即c )()(b a y b a x -++=b y x a y x )()(-++=，与c 与a ，b 不共面矛盾．故c ，p ，q 不共面． 【思路点拨】三个向量成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．3．已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标是)3,1,2(，其中j i a 24+=，k j b 32+=，j k c -=3，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标是 ． 【知识点】向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】c b a OA 32++=)24(2j i +=)32(k j ++)3(3j k -+k j i 1238++=，故点A 在基底},,{k j i 下的坐标是)12,3,8(．【思路点拨】将点A 在基底},,{c b a 下的坐标转化为向量，再通过计算，将向量转化为在基底},,{k j i 下的坐标．【答案】)12,3,8(．4．下列能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．OM ++=B ．MC MB MA +=C ．OC OB OA OM ++=D ．MC MB MA -=2【知识点】选取基底的判断． 【数学思想】转化思想．【解题过程】对于选项A ，OC z OB y OA x OM ++=中，1=++z y x ，则有M ，A ，B ，C 四点共面，故向量MA ，MB ，MC 共面；对于选项B 、D ，由空间向量共面定理知，MA 在MB ，MC 确定的平面内．【思路点拨】三个向量能够成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．5．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且1==AD PA ，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则MN 的坐标为 ． 【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AN PN AP +=AP +=)(21AC PA AP ++=)(21AD AB ++=，AM =MN AM AN -=+=，故MN 的坐标为)21,21,0(．【思路点拨】AB ，AD ，AP 两两垂直且长度为1，故{AB ，AD ，AP }为单位正交基底，所求向量用它们的线性组合表示后，系数就是该向量的坐标． 【答案】)21,21,0(．6．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 是上底面对角线11C A 和11D B 的交点，若a AB =，b AD =，c AA =1，则BM 可表示为（ ）A c ++B ．c +-C ．c +--D ．c ++-【知识点】空间向量的基底表示．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】BM AB AM -=AB AA AD AB -++=1)(211AA ++=．【思路点拨】将所求向量拆分为基底的线性组合． 【答案】D ．能力型 师生共研7．设b a x +=，c b y +=，a c z +=，且},,{c b a 是空间的一个基底，给出下列向量组： ①},,{x b a ，②},,{z y x ，③},,{z c b ，④},,{c b a y x ++，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【知识点】空间向量的基底．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵b a x +=，∴x 在a ，b 确定的平面内，故},,{x b a 不能作为基底．而},,{z y x ，},,{z c b ，},,{c b a y x ++都不共面．【思路点拨】能够作为空间的基底的向量组一定不共面． 【答案】A ．8．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M ，N 分别为线段PC ，PD 上的点，且MC PM 2=，ND PN =，求满足AP z AD y AB x MN ++=的实数x ，y ，z 的值．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】AM AN MN -=)(21AP AD +-+=AD AB AP AD )](32)21=++-+=（，故32-=x ，61-=y ，61=z ． 【思路点拨】先将AN 和AM 表示出来，再进行向量的运算． 【答案】32-=x ，61-=y ，61=z ． 探究型 多维突破9．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，ED BE 3=，以},,{AD AC AB 为基底，则=GE ．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵ED BE 3=，∴)(43AB AD BE -==， 又)(31)(2132AC AB AC AB AG +=+⨯=，∴=GE AG AE -AG BE AB -+=)(31)(43AC AB AB AD AB +--+=+-=．【思路点拨】先将AG 和BE 表示出来，再进行向量的运算．【答案】 10．已知},,{321e e e 是空间的一个基底，且3212e e e OA -+=，32123e e e OB ++-=，321e e e OC -+=，试判断},,{OC OB OA 能否作为空间的一个基底．若能，试以此基底表示向量32132e e e OD +-=；若不能，请说明理由．【知识点】空间向量基底的选取．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=， ∴3212e e e -+)23(321e e e x ++-=)(321e e e y -++321)2()()3(e y x e y x e y x -++++-=， ∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴13=+-y x ，2=+y x ，12-=-y x ，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=，∴OA ，OB ，OC 不共面，},,{OC OB OA 能作为空间的一个基底．设OC r OB q OA p OD ++=， 则32132e e e +-)2(321e e e p -+=)23(321e e e q ++-+)(321e e e r -++321)2()2()3(e r q p e r q p e r q p -+-+++++-=，∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴23=+-r q p ，12-=++r q p ，32=-+-r q p ，解得17=p ，5-=q ，30-=r ，∴OC OB OA OD 30517--=．【思路点拨】判断一组向量能否作为空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，再利用空间向量基本定理解决． 【答案】能，OC OB OA OD 30517--=．自助餐1．已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)1,3,2(-，则p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=p )()(c b a z b a y a x +++++c z b z y a z y x +++++=)()(c b a -+=32， ∵},,{c b a 是一组基底，∴2=++z y x ，3=+z y ，1-=z ，解得1-=x ，4=y ，1-=z ， 故p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是)1,4,1(--．【思路点拨】将p 表示为a ，b a +，c b a ++的线性组合，通过解方程组得到所求坐标．【答案】)1,4,1(--． 2．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，D ，E 分别为1AA ，C B 1的中点，若记 a AB =，b AC =，c AA =1，则=DE （用a ，b ，c 表示）【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】DE E A DA 11+=)(21111C A B A ++=)(211AA AC AB -++=)(21c b a -++==+ 【思路点拨】用向量的运算法则将DE 转化为用AB 、AC 、1AA 表示的向量.+． 3.已知空间的一个基底},,{c b a ，c b a m 2+-=，c b y a x n ++=，若m 与n 共线， 则=x ，=y ．【知识点】空间向量基本定理，向量共线．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵m 与n 共线，∴n m λ=，即c b y a x ++）c b a 2(+-=λc b a λλλ2+-=， 由空间向量基本定理，有λ=x ，λ-=y ，λ21=，解得21=x ，21-=y ．【思路点拨】由共线定理，将向量用基底表示再列式． 【答案】21，21-． 4．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b AD =，c AA =1，P 是C A 1的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在C A 1上，且1:4:1=QA CQ ，用基底},,{c b a 表示以下向量．（1）AP ；（2）AM ；（3）AN ；（4）AQ ．【知识点】在空间几何体中用基底表示向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）)(211AA AC AP +=)(211AA AD AB ++=)(21c b a ++=；（2）)(211AD AC AM +=)2(211AA AD AB ++=b ++=；（3）)(2111AD AC AN +=)]()[(2111AA AD AA AD AB ++++=c b ++=；（4）CQ AC AQ +=)(541AC AA AC -+=+=)(51AD AB ++=++=． 【思路点拨】将要求的向量合理拆分，用a ，b ，c 表示出来．【答案】（1）)(21c b a ++；（2b ++（3c b ++；（4++． 5．正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是底面11C A 和侧面1CD 的中心，若01=+D A EF λ)(R ∈λ，则=λ ．【知识点】空间几何体中向量的线性表示．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a DA =，b DC =，c DD =1，则)(1c a D A +-=，又])(21[)(21c b a c b DE DF EF ++-+=-=-=，∴EF =，故21-=λ． 【思路点拨】将EF 与D A 1用a ．b ，c 表示，可得到两者的数乘关系． 【答案】21-． 6．已知},,{k j i 是空间的一个基底，设k j i a +-=2，k j i b 23-+=，k j i c 32-+-=，k j i d 523++=．试问是否存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立？如果存在，求出λ，μ，ν的值；如果不存在，请给出证明．【知识点】平面向量基本定理的应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立， 则有325i j k ++)2(k j i +-=λ)23(k j i -++μ)32(k j i -+-+νk j i )32()3()22(νμλνμλνμλ--+++-+-+=，∵},,{k j i 是空间的一个基底， ∴322=-+νμλ，23=++-νμλ，532=--νμλ，解得2-=λ，1=μ，3-=ν，故存在． 【思路点拨】先用基底},,{k j i 表示向量，再利用空间向量基本定理列出等式求解． 【答案】2-=λ，1=μ，3-=ν．。
高二数学选修2-1_《空间向量的正交分解及其坐标表示》参考教案2
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教学目标1、知识与技能：掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。
2、过程与方法：从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示。
难点：空间向量的正交分解与坐标表示；空间向量的投影的定义及运算三、教学设计创设情境—感知概念（一）问题情境我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？（二） 课前练习1、在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的-单位向量把,i j k ，叫作 2、标准正交分解：若,i j k ，是标准正交基，对空间任意向量a ，存在三元有序实数（x ，y ，z ），使=a xi y j zk ++叫作a 的3、坐标的意义(1)坐标的意义：向量的坐标等于(2)投影的定义：一般地，若0b 为b 的单位向量，称0cos ,a b a a b =为向量a 在向量b 方向上的（三）新课讲解1、空间向量标准正交分解的过程在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，a 是空间中的任意向量2、空间向量标准正交分解及坐标的定义在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量a ，存在唯一 一组三元有序实数（x ，y ，z ），使得=a xi y j zk ++我们把=a xi y j zk ++叫作a 的标准正交分解，把,i j k ，叫作标准正交基 （x ，y ，z ）叫作空间向量的坐标.记作(,,)a x y z =.(,,)a x y z =叫作向量的坐标表示.在空间直角坐标系中，点p 的坐标为（x ，y ，z ），向量的坐标也是（x ，y ，z ）注：当a 的起点在坐标原点时，a 的终点的坐标为（x ，y ，z ）(,,)a x i y j z k a x y z ⇔=++⇔=Oi jk例1在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -2,AB =3,BC =1 5.AA =(1)写出1C 的坐标，给出1AC 关于,i j k ，的分解式 (2)求1BD 的坐标解：(1)因为1235AB BC AA ===，，，所以 (2)因为点1(3,0,5),(0,2,0)D B 所以1(3,2,5)BD =-3、空间向量的坐标意义设a xi y j zk =++，那么a i ⋅()xi y j zk i =++⋅xi i y j i zk i =⋅+⋅+⋅由于2||1i i i ⋅==，而i j ⊥，0i j ⋅=，同理0k i ⋅=所以a i x ⋅=，同理,a j y a k z ⋅=⋅=我们把,,a i x a j y a k z ⋅=⋅=⋅=分别称为向量a 在x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影。
高中数学选修2-1精品教案6：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1.知识与技能理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量．2．过程与方法通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质． 教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量． 教学难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 空间向量基本定理 问题导思图3－1－231．如图3－1－23所示平行六面体中，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，能否用a ，b ，c 表示向量AC 1→？【答案】 AC 1→＝a ＋b ＋c .2．在图中任找一向量p ，是否都能用a ，b ，c 来表示？ 【答案】 是．如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量. 空间向量的正交分解及其坐标表示 问题导思图3－1－241．如图3－1－24正方体的棱长为3，向量AB 1→如何用向量e 1、e 2、e 3(e 1、e 2、e 3为棱AB 、AD 、AD 1上的单位向量)表示？【答案】 AB 1→＝AB →＋AD →＋AD 1→＝3e 1＋3e 2＋3e 3.2．基底{e 1，e 2，e 3}与图3－1－23中的基底{a ，b ，c }有何不同？ 【答案】 e 1、e 2、e 3为单位向量且相互垂直．1．有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量e 1、e 2、e 3称为单位正交基底． 2．以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .3．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xe 1＋ye 2＋ze 3.把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z ). 例题解析.u u r u u r u u r u u r u u r例1.如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点.用向量 O A,OB,OC 表示OP 和OQ.u u r u u r u u r u u r u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r 12解:OP =OM +MP =OA +MN23121=OA +(ON -OA)232111=OA +OB +OC 633 .u u r u u r u u r u ur u u r u ur u u r u u r u ur u u r u u r u u r u u r u u r OQ =OM +MQ11=OA +MN 23111=OA +(ON -OA)23211111=OA +(OB +OC)=OA +OB +OC 36366变式训练图3－1－25如图3－1－25所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示如下向量：(1)AP →；(2)AM →. 解 连结AC ，AD 1(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12a ＋b ＋12c .课堂训练 一、选择题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由空间基底的概念知，p q ，但q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．【答案】 B2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D3．点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A ．(－1,0,1)，(－1,2,0) B ．(－1,0,0)，(－1,2,0) C ．(－1,0,0)，(－1,0,0) D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】 点A 在x 轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy 面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.【答案】 B图3－1－294．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC ＝c ，则OG →等于( )A.13a ＋13b ＋13cB.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋b ＋c D ．3a ＋3b ＋3c【解析】 ∵G 是△ABC 的重心，∴CG →＝23CM →＝23·12(CA →＋CB →)＝13(OA →＋OB →－2OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13a ＋13b ＋13c .【答案】 A5．正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO→2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2 【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a 与b 的位置关系是________．【解析】 ∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0. ∴a ⊥b . 【答案】 a ⊥b图3－1－307．如图3－1－30, 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________.【解析】 B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c . 【答案】 －12a ＋12b －c8．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．【解析】 由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 【答案】 (8,3,12) 三、解答题9．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →作为空间的一个基底？解 假设OA →，OB →，OC →共面，根据向量共面的充要条件有：OA →＝xOB →＋yOC →， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1.此方程组无解．∴OA →，OB →，OC →不共面．∴{OA →，OB →，OC →}可作为空间的一个基底．图3－1－3110．如图3－1－31，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.解 连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13(－a ＋b ＋c )．11．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，求向量MN →、DC →的坐标．解 如图所示，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3，∴MN →＝(－12，0，12)，DC →＝(0,1,0)．12.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，F 分别在线段A 1D ，AC 上，且EF⊥A 1D ，EF ⊥AC ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．(1)试求向量EF →的坐标； (2)求证：EF ∥BD 1.解 (1)∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，根据题意知{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交基底，设DA →＝i ，DC →＝j ，DD 1→＝k ，∴向量EF →可用单位正交基底{i ，j ，k }表示，∵EF →＝ED →＋DC →＋CF →，ED →与DA 1→共线，CF →与CA →共线，∴设ED →＝λDA 1→，CF →＝μCA →，则EF →＝λDA 1→＋DC →＋μCA →＝λ(DA →＋DD 1→)＋DC →＋μ(DA →－DC →)＝(λ＋μ)DA →＋(1－μ)DC →＋λDD 1→＝(λ＋μ)i ＋(1－μ)j ＋λk ，∵EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，即EF →⊥A 1D →，EF →⊥AC →， ∴EF →·A 1D →＝0，EF →·AC →＝0， 又A 1D →＝－i －k ，AC →＝－i ＋j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧[λ＋μi ＋1－μj ＋λk ]·－i －k ＝0，[λ＋μi ＋1－μj ＋λk ]·－i ＋j ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ－λ＝0，－λ＋μ＋1－μ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝0，λ＋2μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝－13，μ＝23.∴EF →＝13i ＋13j －13k ，∴EF →的坐标是(13，13，－13)．(2)∵BD 1→＝BD →＋DD 1→＝－i －j ＋k ， ∴EF →＝－13BD 1→，即EF →与BD 1→共线，又EF 与BD 1无公共点，∴EF ∥BD 1. 课堂小结1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.。
空间向量的正交分解及其坐标表示优秀教学设计
uuur OA
ar |
|的br 长| c度os叫 做ar ,b向r 量叫ar做的ar长,br度的或数模量，积记，作记：作| arar|。br
已知向量
uuur AB
r a
和轴
l
，
r e
是
l
上与
l
同方向的单位向量，作点
A
在
uuuur
uuur
B e
在l 上er的上射的影正A射 ，影作。点可B以在证l明上的uAuuB射ur 的影长B度，|则uAuuBAurB||叫uAuBu做r | c向os量
rrr a,b,c r zc 。
不共面，那么对空间任一向量
r p
，存在一个
若三向量
ar ,
br , cr
不共面，我们把{ar ,
r b,
cr}
叫做空间的一个基底，
ar ,
r b,
cr
叫做基向量，空间任
意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：u设uurO,
A, B, uuur
C
是uu不ur 共面uuu的r 四点，则对空间任一点
平行于
或在
内，那么我们说向量
ar
平
行于平面 ，记作： ar // 。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。 r
r
r
rr
x, y 8使．pr共面xar向量ybr定。理：如果两个向量 a,b 不共线， p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数
uuur 推论uu：ur 空间uu一ur 点 P 位于平面 MAB 内的充分u必uur要条uuu件ur 是存uuu在r 有序uuu实r 数对 x, y ，使
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1教学目标1.知识与技能掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量.教学重点空间向量坐标运算的规律.教学难点空间向量坐标运算的规律.教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量,,a b c 代替两两垂直的向量123,,a a a ，你能得到类似的结论吗？1、 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ）；,,a b c 都叫做基向量.2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．练习：书本P94：1、2、3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：如图：M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 分别MN 的三等分点，用向量,,,OA OB OC →→→表示OP OQ →→和解略：书本P94页2．1、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则（12e e -）12(32)e e -+等于（ ）A.-8B.92 C. 52- D.8 2、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3、在A B C ∆中，设=a ，=b ，=c ，若0)(<+b a a ，则A B C ∆（ ）)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定4、已知a 和b 是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。
选修2-1 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案
选修2-1 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海中学陈科钧一、教材分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）中第三章空间向量与几何体：第一节“空间向量及其运算”的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联系代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习，不断将三维空间问题向二维平面问题转化，充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。
二、教学目标1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2.通过类比，转化，归纳，推广等思想，提高观察、分析、抽象概括的能力,进一步培养学生的空间观念。
3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。
2.学法分析让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的能力，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神”。
六、教学过程（一）复习引入（开门见山）微课复习：微课展示共线向量、共面向量的表示方法，提出探究的问题“空间任一向量如何来表示”师生活动：假设某一时刻我们对空中的一架飞机进行定点监测，如图，提出向量d 此时能否被向量,a b 表示出来？ 生：学生会说不可以. 师：追问要想把此时飞机P 定位，既向量d 表示出来，那我们需要如何改进呢？生：再添加一个向量c .师：怎样添加？在地平面上任意取一个可以吗？ 生：不可以，向量c 必需与向量,a b 不在同一平面. 师：换句话说，向量,,a b c 有什么约束条件? 生：既不共面的三个．设计意图：通过复习共线向量、平面向量的表示，引导学生类比到空间向量的表示；达成两点共a b 飞机P d O识：①可以表示；②需要三个不共线的向量。
空间向量的正交分解及坐标表示的教学设计
８・
中学教研 （ 数 学）
２ ０ １ ８年 第 １ 期
空 间 向 量 的 正 交 分 解 及 坐 标 表 示 的 教 学 设 计
●王 佩 赵 思 林
摘
（ 内江师范学院数学与信息科学学院， 四川 内江 ６ ４ １ １ １ ２ ）
要 ：文章着眼于“ 平面 向量 的基本 定理及坐标表示” 与“ 空间向量 的正交分解 及坐标 表示 ” 前后 教学 内容 的联 系
系与衔 接 ， 对教 材 中 的课题 “ 空 间 向量 的正 交 分 解 及坐标 表 示 ” 作 了二 次 开 发 和 加 工 ， 对“ 空 间 向 量
的正交 分 解 及 坐 标 表 示 ”的教 学 内容 进 行 了 补 充
赛， 并荣获二等奖． 此次 比赛共有 ４ 个课题 ， “ 空间
向量 的正交 分解 及 坐 标表 示 ” 即 为其 中之 一． 选 用
培育项 目（ Ｔ １ ６ ０ ０ ０ ９ ， Ｔ １ ６ ０ ０ １ ０， Ｔ １ ６ ０ ０ １ １ ） 作者简介 ： 王 佩（ １ ９ ９ ０一）， 女， 四川 资中人 ， 硕 士研究 生． 研究方 向： 数学教育．
２ ０ １ ８年 第 １ 期
பைடு நூலகம்
中学教研 （ 数 学）
・９・
１ 教材 分 析
些一 闪 即逝 的新想 法 、 新做 法 、 新 困惑 、 新 疑 虑随 时
先要做的三项 “ 修炼” ， 只有对教材 内容理解深入 才 能把抽 象 的数 学知识 讲 清楚 、 说 明 白、 讲 透彻 ， 才
能 让学 生感 到数 学浅 显好 懂 ； 拥 有 出色 的 口才则 能 最 大 限度地 调动 学生 学 习数学 的热 情 ， 让 学 生感 到
高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、课标要求：空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．二、教学分析《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标．．．．．．的转化．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．与在推广过程中．．上的和谐性．．．．．，体验数学在结构的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．所带来的影响.”．．增加三、教学目标知识与技能1．了解空间向量基本定理；2．理解空间向量的基底、基向量的概念；3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．过程与方法1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．学情分析：在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
【探究2】在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？【探究成果】通过刚才的探究，类比平面向量基本定理，你能得到什么结论呢？【练习1】已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是().A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c 基于探究1的探究成果，可先尝试由学生自主探究，再小组交流.投影展示，学生简述.由学生总结，教师指导.改编自课后练习1，强化基底概念.学生回答.4、空间向量正交分解及其坐标表示【自主学习】阅读课本内容,并通过类比平面向量的正交分解和坐标表示，完成下表.【练习2】1.计算单位正交基底之间的数量积：2.设{,,}i j k是空间的单位正交基底，32a i j k=+-，242b i j k=-++，则向量a b+的坐标为．考虑内容难度和类比平面知识出发，由学生自学完成.学生回答.用于检测自学效果，强化概念.学生回答.5、空间向量基本定理的应用【例题】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量OA，OB,OC表示OP和OQ.【练习3】平行六面体''''OABC O A B C-，点G是侧面''BB C C的中心，且aOA=，bOC=，cOO='，试用向量a，b，c表示向量AB'和OG.学生先独立思考说明解题思路，师生共同完成，注意步骤的规范性.通过本题掌握空间向量基本定理在立体几何中的简单应用.学生独立思考.学生板书.6、总结归纳1、学生总结本节课的收获.2、教师进一步分析、推广，激发学生学习兴趣.学生回答.利用总结归纳过程，适当开展德育教育.7.布置作业【基础巩固】学案巩固练习.【能力提升】思考空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的第2个问题有什么联系?你有何体会?【能力提升】作业的设置主要考虑为了保证本节课学生充分的探究时间，考虑到学生的认知能力.8.德育教育课堂最后借助名人名言，适当开展德育教育引用老子与拉普拉斯的话语.9.板书设计3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、知识回顾三、例题.二、1.空间向量基本定理2.正交分解及其坐标表示练习.注重规范.GC'O'B'CA BOA'《空间向量的正交分解及其坐标表示》学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却是模糊的.鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；《空间向量的正交分解及其坐标表示》效果分析在上完这节课后，根据学生在课堂上对教师提出来的关于“空间向量基本定理”的知识应用题解决能力以及从课后作业情况来看，教学效果很好。
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
教学设计3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示整体设计教材分析空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．课时分配1课时教学目标知识与技能1．了解空间向量基本定理；2．理解空间向量的基底、基向量的概念；3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．过程与方法1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．重点难点教学重点：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．教学难点：空间向量基本定理的应用．教学过程引入新课提出问题：回忆平面向量基本定理的内容，思考平面向量基本定理的作用．活动设计：教师提问旧知，学生回答，思考得出结论．活动成果：1．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b .2．平面向量基本定理的作用：平面内任意两个不共线的向量称为平面向量的一组基底，平面内任一向量都可以用这组基底来唯一地表示．3．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，选择平面内相互垂直的两个单位向量i ，j 作为平面向量的基底，任一向量p 都存在唯一确定的一对实数(x ，y)，使p ＝x i ＋y j ，建立了向量和有序数对的一一对应关系，所以可以用有序数对来表示向量，故把(x ，y)称为平面向量p 的坐标．设计意图：巩固学生的认知基础，为探索新知作好准备．探究新知提出问题1：平面向量存在基底，那么空间向量是否存在基底，基底是否唯一？活动设计：学生先自己思考，然后小组交流，交流各自的想法；教师指导学生利用空间几何体来研究，并巡视参加学生讨论．活动成果：1．空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组{x ，y ，z}，使p ＝x a ＋y b ＋z c .证明：(存在性)设a ，b ，c 不共面，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OP →＝p ；过点P 作直线PP ′平行于OC ，交平面OAB 于点P ′，连接OP ′，在平面OPC 内，作PC ′∥OP ′，交直线OC 于点C ′；在平面OAB 内，过点P ′作直线P ′A ′∥OB ，P ′B ′∥OA ，分别与直线OA ，OB相交于点A ′，B ′，于是，存在三个实数x ，y ，z ，使'OA ＝xOA →＝x a ，'OB ＝yOB →＝y b ，'OC ＝zOC →＝z c ，∴OP →＝'OA ＋'OB ＋'OC ＝xOA →＋yOB →＋zOC →.∴p ＝x a ＋y b ＋z c .(唯一性)假设还存在x ′，y ′，z ′使p ＝x ′a ＋y ′b ＋z ′c ，∴x a ＋y b ＋z c ＝x ′a ＋y ′b ＋z ′c .∴(x －x ′)a ＋(y －y ′)b ＋(z －z ′)c ＝0.不妨设x ≠x ′，即x －x ′≠0，∴a ＝y －y ′x ′－x ·b ＋z －z ′x ′－x·c . ∴a ，b ，c 共面．这与已知矛盾，∴该表达式唯一．综上两方面，原命题成立．2．由此定理，若三向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是{p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ∈R ，y ∈R ，z ∈R }，这个集合可以看作由向量a ，b ，c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量．3．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．设计意图：引导学生探索出空间向量基本定理．提出问题2：空间向量能不能用坐标表示？应如何选择空间向量的基底？活动设计：学生自主探索；教师巡视指导．活动成果：1．单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k }表示．2．在空间直角坐标系O —xyz 中，分别以和x 轴、y 轴、z 轴共线的单位向量i ，j ，k 作为单位正交基底，则对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x i ＋y j ＋z k ，则空间向量和有序数组建立了一一对应关系，可以用有序数组来表示向量．于是，我们把(x ，y ，z)称为空间向量p 的坐标．设计意图：类比平面向量坐标的由来引导学生得出空间向量的坐标表示．理解新知提出问题：O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，是否都能找到唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →？活动设计：学生自己推证，教师巡视指导．活动成果：∵O ，A ，B ，C 是不共面的四点，∴OA →，OB →，OC →不共面．由空间向量基本定理得，对于向量OP →，存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA→＋yOB →＋zOC →.设计意图：加深对空间向量基本定理的理解，增强学生的应用意识．运用新知已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.思路分析：要用OA →，OB →，OC →表示向量OG →，就是要找到一组有序实数x ，y ，z ，使OG→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，这主要用向量的加法及减法的性质，由向量OG →入手，看一看向量OG →可以由哪些向量的和或差得到．解：OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →]＝16OA →＋13OB →＋13OC →.∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 巩固练习如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解：∵OG →＝OA →＋AG →，而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 中点，∴OD →＝12(OB →＋OC →)． ∴OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又∵OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， ∴GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a . ∴OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a . 达标检测1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →，OB →，OC →共线B.OA →，OB →共线C. OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面2．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a ，b 的关系是________．答案：1.D 2.13(a ＋b ＋c ) 3.垂直课堂小结1．知识收获：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．3．思维收获：类比思想、转化思想、基底思想．布置作业课本习题3.1A 组第11题、补充练习．补充练习基础练习1．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2b D. a ＋2c2．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)3．在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，∠AOB ＝π2，||AO ＝4，||BO ＝2，||AA ′＝4，D 为A ′B ′的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________，A ′B →的坐标是________．答案：1.D 2.A 3.(－2，－1，－4) (－4,2，－4)拓展练习4．设四面体OABC 的棱OA ，BC ，OB ，AC ，OC ，AB 的中点分别是P ，Q ，R ，S ，M ，N.试判断线段PQ ，RS ，MN 的中点是否重合，用向量证明你的判断．证明：选择OA →，OB →，OC →作为空间向量的一组基底．设PQ 的中点为D ，RS 的中点为E ，MN 的中点为F.则OD →＝12(OP →＋OQ →)＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋12(OB →＋OC →)＝14(OA →＋OB →＋OC →)．同理可得OE →＝14(OA →＋OB →＋OC →)，OF →＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴OD →＝OE →＝OF →，且三个向量有相同的起点O.∴D ，E ，F 三点重合，即线段PQ ，RS ，MN 的中点重合．设计说明本节课介绍了空间向量基本定理和空间向量坐标表示．空间向量基本定理由学生根据平面向量基本定理类比发现，然后选择一组正交基底得到向量的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生根据已有知识基础把新知识类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行巩固练习，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA＝AD ＝1.求MN →、DC →的坐标．思路分析：选择一组正交基底，写出向量的坐标即可．解：∵PA ＝AD ＝AB ，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .以i 、j 、k 为正交基底建立空间直角坐标系A —xyz.∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC → ＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12j ＋k ＋12(－k －i ＋j ) ＝－12i ＋12k ， ∴MN →＝(－12，0，12)，DC →＝(0,1,0)． 点评：空间直角坐标系的建立需寻求三条两两互相垂直的直线，应重视向量的坐标的定义．2四棱锥P —OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示：BF →、BE →、AE →、EF →.解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ， BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c ， AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋12b ＋12c ， EF →＝12CB →＝12OA →＝12a . 点评：空间向量的一组基底{a ，b ，c }可以表示出任一空间向量，要注意应用三角形法则、平行四边形法则．(设计者：殷贺)。
3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示教案
3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题；
2.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.
学习重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握基底表示已知空间向量；
学习难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
1、判断下列说法是否正确？并说明理由.
（1）空间中任意三个不共线向量均可作为一组基底.
（2）基向量中可以含有零向量，但至多一个.
（3）如果向量,与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量,一定是共线向量.
2、如图所示，空间四边形OABC 中，H G ,分别是ABC ∆，OBC ∆的重心，设=，=，c OC =，试用向量c b a ,,表示向量GH .
闯关题：如图,三棱锥ABC P -中,点G 为ABC ∆的重心,点M 在PG 上,且PM ＝3MG ,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC 于点,,,F E D 若,,,t n m ===求证：
t
n m 111++为定值,并求出该定值.。
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海区龙赛中学盛华一、教材分析本课时是普通高中新课程标准实验教科书《数学》选修2-1中第三章空间向量与立体几何：第一节“空间向量及其运算”的第四课时。
学生之前已经学完了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第一章：空间几何体和第二章：点、直线、平面之间的位置关系，以及第四章第四节：空间直角坐标系．空间向量是平面向量的推广，是二维概念到三维概念的延伸，是联系代数、几何、三角的重要载体。
本节课通过类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理．在此基础之上，通过空间向量的单位正交分解，完成从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，为用空间向量解决立体几何问题做好重要的铺垫．有了空间向量基本定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间中的一个点或者一个向量与一组有序实数建立起一一对应的关系。
通过不断与平面向量进行类比来学习空间向量，把三维问题转化为二维问题，充分体现了类比思想和化归思想在研究问题过程中的重要作用。
二、学情分析学生已经理解平面向量相关知识，初步学习了空间向量在表示方法、加减运算、数乘运算、数量积运算等内容。
在将平面向量推广到空间向量时，学生会感受到维度增加所带来的复杂性。
他们虽然理解了平面向量基本定理，也具备一定的分析和解决问题的能力，但可能缺乏冷静、深刻的思考，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
三、教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、归纳、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比与化归的数学思想，加深对向量的理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案3
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（1）》教学案3教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到OA =xi y j zk ++。
因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a +b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案2
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案2 【学情分析】：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。
【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用【教学难点】：空间向量的分解【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理二．新课讲授1．空间向量的正交分解设i，j，k是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。
对于空间任意一个向量OPp=，设Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在OQ，k所确定的平面上，存在实数z，使得k zOQOP+=而在i，j所确定的平面上，由平面以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形式。
向量基本定理可知，存在有序实数对),(y x ，使得j y i x OQ +=从而k z j y i x k z OQ OP ++=+=由此可知，对空间任一向量p ，存在一个有序实数组{z y x ,,}，使得k z j y i x p ++=，称i x ，j y ，k z 为向量p 在i ，j ，k 上的分向量。
2．空间向量的基本定理如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组),,(z y x ，使c z b y a x p ++=由此定理， 若三向量c b a ,,不共面，那么空间的任一向量都可由c b a ,,线性表示，我们把{c b a ,,}叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量。
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《空间向量的正交分解及其坐标表示》
教学设计
杨华
燕大附中
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
一、教学任务及对象
1、教学内容分析
《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。
2、教学对象分析
本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标
依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：
1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析
重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
四、教学策略
为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：
1．教法分析
为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.
2．学法分析
本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。
教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程中去，是否能够达到掌握知识，提高能力的目的是否收到了理想的教学效果。
教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。