宿迁市2015届高三第一次摸底考试数学答案

宿迁市2014—2015学年度高三年级第一次考试
数学参考答案与评分标准
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．{}0,3 2．1 3．6 4．7 5．3
6． 29 7．2
2
14
y x -= 8． 79- 9．2 10
．3
11．(2,)+∞ 12．660x y --= 13．()2,6- 14．(],2-∞-
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15．（1）由余弦定理得，2
2
2
2cos b c a c a B =+-⋅， …………………………3分
因为3B π
∠=，2a =
，b =， 所以21242c c =+-，即2
280c c --= …………………………5分 解之得4c =，2c =-（舍去）．
所以4c =. ……………………………7分 （2）因为πA B C ++=
，tan A =
tan B =所以tan tan()C A B =-+ ……………………………9分
tan tan 1tan tan A B
A B +=-
- ……………………………11分
==．
所以tan 5
C =
．
16．（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ．
因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ 又因为PB PD =，O 为BD 的中点， 所以BD PO ⊥ 又因为AC PO O = 所以BD APC ⊥平面，
又因为PC APC ⊂平面 所以BD PC ⊥（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以//BC AD …………………………9分
因为,AD PAD BC PAD ⊂ ⊄平面平面．
所以//BC PAD 平面 ………………………………………11分
又因为BC PBC ⊂平面，平面PBC 平面PAD l =．
所以//BC l ． ………………………………………………14分
17．(1)由题意知，1AC x x =⨯=， …………………………………2分
2cos CD x =， …………………………………5分 因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，
所以02
x π<<
所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
…………………………………………7分 (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-， ………………………………9分
令()0f x '=，得6
x π
=， ………………………………………………11分 列表
所以函数()f x 在6
x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分 即()6
6
f π
π
=
答：观光路线总长的最大值为6
π
+ ……………………………14分
18．（1）因为()()
2()()e 1x F x f x g x x ax =⋅=++，
所以()()()e 11x F x x a x '=⎡++⎤+⎣⎦， ……………………2分 令()0F x '>，因为0a >，得1x >-或()1x a <-+， ……………………5分 所以()F x 的单调增区间为(),1a -∞--和()1,-+∞； ……………………6分 （2）因为对任意12,x x ∈[]0,2且12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，
不妨设12x x >，根据()e x f x =在[]0,2上单调递增，
所以有1212()()()()f x f x g x g x ->-对12x x >恒成立，……………………8分 所以211212()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，
即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +>+⎧⎨->-⎩
对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，
所以()()f x g x +和()()f x g x -在[]0,2都是单调递增函数，………………11分 当()()0f x g x ''+≥在[]0,2上恒成立，
得()e 20x x a ++≥在[]0,2恒成立，得()
e 2x a x -+≥在[]0,2恒成立，
因为()
e 2x x -+在[]0,2上单调减函数，所以()
e 2x x -+在[]0,2上取得最大值1-，
解得1a -≥． ………………………………13分 当()()0f x g x ''-≥在[]0,2上恒成立，
得()e 20x x a -+≥在[]0,2上恒成立，即e 2x a x -≤在[]0,2上恒成立， 因为e 2x x -在[]0,ln 2上递减，在[]ln 2,2上单调递增， 所以e 2x x -在[]0,2上取得最小值22ln2-，
所以22ln2a -≤， ……………………………15分 所以实数a 的取值范围为[]1,22ln 2--． ………………………16分
19．（1）由圆R 的方程知，圆R
的半径的半径r = 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，
所以4OR ==，即22
0016x y +=，①………………………………………1分
又点R 在椭圆C 上，所以
22
0012412
x y +=，②……………………………………2分
联立①②，解得00x y ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩ ……………………………………………………3分
所以所求圆R
的方程为(
(2
2
8x y ±+±=． ………………………4分
（2）因为直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，与圆R 相切，
=化简得222
10010(8)280x k x y k y --+-=………………6分 同理222
020020(8)280x k x y k y --+-=，……………………………………………7分 所以12,k k 是方程222
0000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，
2
122
08228y b b c k k a a a x --+-⋅=⋅==-…………………………8分 因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以22
0012412x y +=，即2
2001122
y x =-， 所以20
1220141
282
x k k x -==--，即12210k k +=． ………………………………10分 （3）22
OP OQ +是定值，定值为36，……………………………………………11分
理由如下：
法一：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y ,
联立122,1,2412y k x x y =⎧⎪
⎨+
=⎪⎩解得2
1212
2112
1
24,1224.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩………………………………………12分 所以2221112124(1)12k x y k ++=+，同理，得222
2222
224(1)12k x y k ++=+，…………13分
由121
2k k =-，
所以222222
1122OP OQ x y x y +=+++
221222
12
24(1)24(1)
1212k k k k ++=+++ 2
2112
211
124(1())
24(1)211212()
2k k k k +-+=+++-
2
12
1
367212k k +=+ 36= ………………………………………………………15分
(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有22
36OP OQ +=，
综上：22
36OP OQ +=． ……………………………………………………16分 法二：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y ,
因为12210k k +=，所以1212210y y x x +=,即22
22121214y y x x =， ……………12分
因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以22
1122
2212412
12412
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
即2
21122
2211221122
y x y x ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩， ……………………………………………13分 所以22221212111(12)(12)224
x x x x --=，整理得22
1224x x +=，
所以22
2212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
所以22
36OP OQ +=． ……………………………………………………15分
(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有22
36OP OQ +=，
综上：2
2
36OP OQ +=． ………………………………………………16分 20．（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
由410S =，1391S =，得11
434102
13121391
2
a d a d ⨯⎧
+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分
解得111a d =⎧⎨=⎩
，
所以21(1)22
n n n n n
S na d -+=+=……………………………………………4分 （2）①因为111M S ==，
若22,t =221312M S S =-=-=，()
33332132
t t t M S S +=-=
-， 因为2
213M M M =⋅，
所以
()
331342
t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分 若23,t =231615M S S =-=-=，()
33333162
t t t M S S +=-=
-， 因为2
213M M M =⋅，
所以
()
3316252
t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分 若24,t =2411019M S S =-=-=，()
33334
1102
t t t M S S +=-=-， 因为2
213M M M =⋅，
所以
()
33110812
t t +-=，()331182t t +=，解得313t =， 所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分
②由①知11t =，213t =+，23133t =++，则11M =，223M =，2
39M =，
一般的取2
1
31
13332
n n n t --=++++=， ………………………13分
此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222
n n n t S ---⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
=，
则n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322
n n n n n ---⎛⎫⎛⎫
----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-=，
所以n M 为一整数平方．
因此存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分
数学Ⅱ部分
21．【选做题】
A ．(选修4—1：几何证明选讲)
因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=，
因为2BE =，4BC =
，由余弦定理得EC =4分
又因为2BE EC ED =⋅
，所以
ED ，…………………8分
所以CD EC ED =-==
． ………………10分
B ．（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵a b A c d ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⨯⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
①， ……4分 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
② …6分 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪
⎨=⎪⎪=⎩,,,
…………………………………………………8分
从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
． ……………………………10分 C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）
由cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩得cos ,1sin ,
x y αα=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)1x y +-=， …………4分 因为曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．得2sin ρθ=．
即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………………………10分 D ．（选修4－5：不等式选讲）
因为11,ax ax a a -+--≥ ……………………………5分
所以原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ 所以20.a a 或≥≤ 所以实数a 的取值范围为(]
[),02,-∞+∞． ………………………10分
22．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
（1）因为AB =AC =1，1AA =3，1
3
λ=
， 所以各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．
(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-． …………2分
因为12AE A F ==11AE A F ⋅=-，
（第21—A 题图）
所以111,1
cos 22AE A F AE A F AE A F
⋅=
=
=-．所以向量AE 和1A F 所成的角为120o ，
所以异面直线AE 与1A F 所成角为60． ……………4分 （2）因为(1,0,3)E λ，(0,1,2)F ，所以(1,0,3),
AE λ=设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ，
则0AE ⋅=n ，且0AF ⋅=n ．
即30x z λ+=，且20y z +=．令1z =，则3,x y λ=-所以(3,2,1)λ=--n 是平面AEF 的一个法向量． 又1(0,0,3)AA =，则111
,cos 39AA AA AA =
=
=
n n n 又因为直线1AA 与平面AEF =12λ=． 23．（1）因为1111
11
22111
n n n n
a a a a n n ++++<<+-+ ，24a =
当1n =时，由21211111
222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭
，即有1112212244a a +<+<+，
解得
128
37
a <<．因为1a 为正整数，故11a =． ………………………………2分 当2n =时，由331111
26244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭
，
解得3810a <<，所以39a =． …………………………………………………4分
（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2
n a n =………………………………5分
下面用数学归纳法证明．
1º当1n =，2，3时，由（1）知2
n a n =均成立．……………………………6分 2º假设()3n k k =≥成立，则2k a k =，
由条件得()22111111212k k k k a k
a k ++⎛⎫+
<++<+ ⎪⎝⎭， 所以()()23121111
k k k k k k a k k k ++-+<<
-+-， ………………………………………8分 所以()()22
12111111
k k k a k k k k +++-<<++
-+- …………………………9分
因为3k ≥，21011k k k +<
<-+，1
011
k <<-，
又1k a *
+∈N ，所以()211k a k +=+．
即1n k =+时，2
n a n =也成立．
由1º，2º知，对任意n *
∈N ，2n a n =． ……………………………………10分。