各类刚体转动惯量公式的推导

dm . R 2 圆环的面积为 dS 2rdr ，质量 dM dS 2rdr
圆环的转动惯量 dJ 0 r dM 2r dr
2 3
3
圆盘的转动惯量为
R R 1 R 4 R 2 dJ dJ 0 dJ 0 2r 3dr r 4 dm 0 0 2 2 2 0 R
2R
0
R 2 dl 2R 3 mR 2
2.转轴沿圆环直径的转动惯量 J
mR 2 . 2
在圆环上靠近转轴的一处取一质元 dm ，其弧长为 dl ，质元与圆心的连线和转轴 Z 的 夹 角 （ 微 夹 角 ） 为 d 圆 环 的 线 密 度

m ， 其 中 dl Rd ， 2R
r
r
2 r 2 dy sin 2 ( y 2 r 2 cos 2 )d

0
由二倍角公式得 sin 则
2

0
1 cos 2 cos 2 1 cos 4 1 , cos 2 , cos 2 2 2 2 2
dJ 2 r 2 dy sin 2 ( y 2 r 2 cos 2 )d
则圆环的转动惯量为 J 0 J 0


2y

y 2 dydl 2y 3dy
Rg
整个圆盘的转动惯量为 dJ J 0


0
2y 3dy
r2 z2
0
2y 3dy
(r 2 z 2 ) 2
2

dm (r 2 z 2 )dz dz Rg 2 (r 2 z 2 )

J 2r sin d 2r
4 3 0

4


0
8r 4 2mr 2 1 sin d 2r cos3 cos 3 3 3 0
3 4
11.转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯量 J
mL2 . 6
长方体底面边长均为 L，高为 h，在长方体沿转轴 z 方向取一长为 dy ，宽为 dx ，高为 h 的细长方体，由于该细长方体横截面非常小，因此横截面上任意一处可看成一个坐标为
2 2
质元的转动惯量为 dJ x dm x dx 则整个细棒的转动惯量为
1 3 ml 2 J dJ x dx l 0 3 3
l 2
9.转轴通过球体沿直径的转动惯量为 J
2mr 2 . 5
6
如上图，在离球心距离为 z 处取一厚度为 dz 的圆盘，圆盘半径为 Rg 。在圆盘上取一 宽 度 为 dy ， 半 径 为 y 的 圆 环 。 设 球 的 密 度 为
2 3
m ，该圆环 R 2
则整个圆盘的转动惯量为
J dJ
R
0
1 1 mR 2 2r dr r 4 R 4 2 2 2 0
3
R
4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量 J
m 2 2 (R r ) . 2
2
在圆筒上取一微截圆筒，其质量为 dm ，再在该微截圆筒上取一宽度为 dr ，半径为 r 的 元圆筒，记取得的元圆筒质量为 dM （由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截 圆筒和元圆筒看成质量为 dm 和 dM 的圆环）.圆环的面密度 元圆筒的面积 dS 2rdr 元圆筒的质量 dM dS 2rdr 元圆筒对 Z 轴的转动惯量为
2
0
( r 2 y 2
r 4
4
L
)dy
则整个圆柱体的转动惯量为
J dJ 2L ( r 2 y 2
2
r 4
4
)dy
r 2 y 3 r 4 y 2 4 3 L
2
L

r L
2 3
12 4 2 2 mr mL 4 12
则 dJ
(r 2 z 2 )dz
2
整个圆球的转动惯量为
J
r
(r 2 z 2 )
2
r
dz
8r 5 2mr 2 15 5
10.转轴沿球壳直径的转动惯量 J
2mr 2 . 3
7
在球壳上取一圆心角为 d 的圆环，球壳半径为 r ，则圆环的宽度为 rd ，设圆环的半 径为 Rg ，圆环上一点与球心 O 连线同 z 轴的夹角为 ，则 Rg r sin 。 球的面密度为
( x, y, z ) 的点。
长方体的密度为
m hL2 x2 y 2
细长方体的转动半径为 r 其质量为 dm0 hdxdy
8
则细长方体的转动惯量为 dJ 0 r dm0 ( x y ) hdxdy
2 2 2
整个长方体的转动惯量为
J ( x 2 y 2 ) hdxdy 2L 2L ( x 2 y 2 ) hdxdy
则整个细微圆柱体的转动惯量为 dJ J 0 dJ 0 将 x r cos , z r sin 代入上式得 dJ

r

r
r
2 z ( x 2 y 2 )dxdy

r
2 r sin (r 2 cos 2 y 2 )dxdy
4
2 rdy sin ( y 2 r 2 cos 2 )d (r cos )
r 3

4r 4 3
4 sin d 2
0
mr 2 4
9
.
各类刚体的转动惯量的证明
1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量 J mR .
2
在圆环上取一质元，其质量为 dm dl ， dl 为圆弧元， 为线密度（
2 2
m ） 。该 2R
质元对中心垂直轴 Z 的元转动惯量 dJ R dm R dl ，圆环对该轴的转动惯量为
J dJ

2 2
L
L
h dy ( x 2 y 2 )dx
L 2 L 2
L 2 L 2
hL4
6

mL2 6
mr 2 12.转轴沿圆盘直径的转动惯量 J . 4
在圆盘上取一宽度为 dz 长为 2 Rg 的长方形， Rg 圆盘的面密度为
r 2 z 2 如上图。
，
m 4 3 r 3
，则圆盘的质量为
dm Rg 2 dz ， Rg r 2 z 2 ，圆盘的面密度为
为 dl 的质元，则 质元的质量 dm0 dS dydl 质元的转动惯量为 dJ 0 y dm0 y dydl
2 2
dm 。在圆盘的圆环上取一长度 Rg 2
J dJ
l 2 l 2
1 3 ml 2 x dx l 12 12
2
8.转轴通过细棒端点与棒垂直的转动惯量为 J
ml 2 . 3
在棒上取一质元，质元的长度为 dx ，距转轴 Z 的距离为 x ，设细棒的线密度为 ，则

m ，该质元的质量为 dm dx . l

r L
4
7.转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量 J
ml 2 . 12
在棒上取一质元，质元的长度为 dx ，距转轴 Z 的距离为 x ，设细棒的线密度为 ，则
5

m ，该质元的质量为 dm dx l
2 2
质元的转动惯量为 dJ x dm x dx 则整个细棒的转动惯量为
m r 2
长方形质量为 dm 2Rgdz
长方形的转动惯量为 dJ 2 则整个圆盘的转动惯量为

Rg
0
dzl 2 dl
2Rg 3 2 ( r 2 z 2 )3 dz dz 3 3
2 2 2 2 J 2 (r z ) dz 0 3 3 4 r 2 2 2 ( r z ) dz 3 0 4r 0 2 2 2 ( r r cos ) sin d 3 2
2
则圆环对该转轴的转动惯量为
J dJ
2
0
3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量 J
在圆盘上取一半径为 r ，宽度为 dr 的细圆环，圆盘的质量面密度为 的元面积为 dS 2rdr ，圆环的质量为 dm dS 2rdr . 该圆环对转轴的转动惯量为 dJ r dm 2r dr
m r 2 L
细微长方体的体积为 dV 2 zdxdy ，质量为 dm dV 2 zdxdy ，到转轴 Z 的距离为
Rg x 2 y 2
则细长方体的转动惯量为 dJ 0 Rg dm ( x y ) dV 2 z ( x y ) dxdy
2 2 2 2 2
dm . (R2 r 2 )
dJ (2rdr )r 2 2r 3dr
r r
R
R
1 1 1 r 4 ( R 4 r 4 ) ( R 2 r 2 )( R 2 r 2 ) 2 2 2 r
1 2 2 (R2 r 2 ) ( R r ) ( R 2 r 2 ) dm 2 2
dm dl
m m Rd d . 2R 2
1
该质元的转动惯量为
dJ R 2 dm ( R sin ) 2
m mR 2 2 d sin d 2 2

mR 2 1 cos 2 mR 2 mR 2 ( )d ( cos 2 )d 2 2 4 4 mR 2 mR 2 mR 2 mR 2 mR 2 ( cos 2 )d sin 2 4 4 8 2 4 0 mR 2 . 2
m 4r 2
在圆环上取一长度为 dl 的质元，则质元的质量为 dm0 dS rdld 质元的转动惯量为 dJ 0 Rg dm0 Rg
2 2
rdld
圆环的转动惯量为 dJ dJ 0 则整个球壳的转动惯量为


2Rg
0
Rg 2rd dl 2r 4 sin 3 d
则整个圆柱体的转动惯量为
J dJ
m
0
R2 mR 2 . dm 2 2
mr 2 mL2 6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量 J . 4 12
在圆柱体上取一厚度为 dy 的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为 dx 的微细长方 体，如上图。该微细长方体一端的坐标为 ( x, z ) ，设该点与圆心的连线同 x 轴的夹角为 ， 圆柱体的半径为 r ，则有 x r cos , z r sin 。 圆柱体的密度为
R
则整个圆筒的转动惯量为
J dJ
m
0
R2 r 2 m dm ( R 2 r 2 ) . 2 2
5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量 J
mR 2 . 2
在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为 dm ，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体 看成一圆盘。在圆盘上取一宽度为 dr ，半径为 r 的圆环，记该圆环的质量为 dM 。圆盘的 面密度为

1 cos 2 2 2 cos 2 1 (y r )d 2 2 2 2 0 4y r y2 r2 2 r 2 dy ( cos 2 cos 4 )d 8 2 8 2 r 2 dy
0
4 y2 r 2 y2 r2 2 r dy sin 2 sin 4 4 32 8