四川省成都市双流中学2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年四川省成都市双流中学高二（上）10月月考数
学试卷（理科）
一、选择题：每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U=｛0,1，2，3，4}，集合A={1，2，3},B=｛2，4｝，则（∁U A）∪B为( ）
A．｛1，2,4} B．{2，3，4} C．｛0，2,3，4｝D．{0，2，4}
2．利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图,正确的是（）
A．B．C．D．
3．已知的值是（）A．B．C． D．
4．已知等差数列{a n｝，a7=2．则前13项的和S13=（）A．13 B．25 C．26 D．39
5．若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则（）A．a内所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线
C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l 都相交
6．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）
A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ）
A．B． C．1 D．2
8．已知：﹣1＜b＜0,a＜0,那么下列不等式成立的是（）
A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
9．关于直线l，m及平面α,β，下列说法中正确的是（)
A．若l∥α,α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l ∥m
C．若l∥β，l⊥α，则α⊥βD．若l∥α，l∥m,则m∥α
10．若方程2ax2﹣x﹣1=0在（0，1）内恰有一个零点，则有（)
A．a＜﹣1 B．a＞1 C．﹣1＜a＜1 D．0≤a＜1 11．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数,在区间［﹣1，1］上，f（x)=，其中a，b∈R，若f（)=f（），则a+3b=( ）
A．2 B．﹣2 C．10 D．﹣10
12．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A （如图②）．若折叠后A,B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）
A．当CD为Rt△ABC的中线时,d取得最小值
B．当CD为Rt△ABC的角平分线时,d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案直接填在答题卡上．
13．已知向量若,则m= ．
14．等比数列{a n｝的前n项和为S n，若a1=1，且公比为2，则S4= ．
15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1
中,AB=AD=4cm,AA1=2cm，设平面AB1D1与平面ABCD所成二面角为θ，tanθ=．
16．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R)的值域为［0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为(m,m+6），则实数c的值为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面,C 是圆上的点．求证：平面PAC⊥平面PBC;
18．设向量，=(2sinx，cosx﹣sinx），．
（1）求函数f(x）的解析式；
(2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围．
19．如图,在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点．
（1）求证：AD1∥平面DOC1；
（2）求异面直线AD1和DC1所成角．
20．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件,要使销售的总收人不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？
（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力,提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元．公司拟投入(x2﹣600）万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
21．如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AD=2，，，E,F分别是AD,B1C的中点．
(Ⅰ）求证：EF∥面ABB1A1；
（Ⅱ)设二面角B1﹣AD﹣B的大小为60°，求证：直线BB1⊥平面ABCD．
22．设a为实数,函数f（x）=a++的最大值为g（a）．
（Ⅰ）设t=+，求t的取值范围，并把f（x)表示为t的函数m（t）．
(Ⅱ）求g(a）．
（Ⅲ）试求满足g（a）=g(）的所有实数a．
2015—2016学年四川省成都市双流中学高二（上）10
月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题:每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={0，1,2，3，4}，集合A={1，2,3｝，B={2，4},则（∁U A）∪B为（)
A．｛1，2，4} B．｛2，3,4} C．{0,2，3，4} D．{0，2,4｝
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由题意,集合∁U A={0，4}，从而求得(∁U A）∪B=｛0，2,4}．
【解答】解：∵∁U A={0，4}，
∴（∁U A）∪B={0，2,4｝;
故选D．
2．利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图,正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】斜二测法画直观图．
【分析】根据斜二测画法法则，即可得出满足条件的直观图形．
【解答】解：根据斜二测画法，∠x′O′y′=45°（或135°)，
平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半，
且平行性不变;
满足条件的直观图形是B．
故选：B．
3．已知的值是( ) A．B．C． D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解:∵sin（)=,
∴cos（α+）=cos［﹣（）]=sin(）=，故选:C．
4．已知等差数列{a n}，a7=2．则前13项的和S13=( ）A．13 B．25 C．26 D．39
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式性质与求和公式即可得出．
【解答】解：S13==13a7=13×2=26．
故选：C．
5．若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则( ）A．a内所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线
C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l 都相交
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】a内与l相交的直线在同一面内，推断出A 选项错误．
直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交，推断出C，D项说法错误．
利用反证法和线面平行的判定定理推断出B项正确．【解答】解:a内与l相交的直线在同一面内,故A选项错误．
直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交,故C，D项说法错误．
若a内存在与l平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知l与面a平行,已知直线l不平行于平面a,故a 内不存在与l平行的直线,B项说法正确．
故选B．
6．在△ABC中,若sin2A+sin2B＜sin2C,则△ABC的形状是（）
A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2,再结合余弦定理作出判断即可．
【解答】解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理===2R得，
a2+b2＜c2，
又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π,
∴＜C＜π．
故△ABC为钝角三角形．
故选A．
7．若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（)
A．B． C．1 D．2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为:1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：
=1．
故选C．
8．已知:﹣1＜b＜0，a＜0，那么下列不等式成立的是（)
A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
【考点】不等关系与不等式．
【分析】利用不等式的性质和“作差法”即可得出．
【解答】解：∵﹣1＜b＜0,a＜0，∴ab＞0，b＜0＜1．b2＜1．
∴ab﹣ab2=ab（1﹣b）＞0,ab2﹣a=a(b2﹣1）＞0．
∴ab＞ab2＞a．
故选D．
9．关于直线l，m及平面α，β，下列说法中正确的是（）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l∥β,l⊥α，则α⊥βD．若l∥α，l∥m，则m∥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】对于A,l⊄β，根据线面平行的性质，可得线线平行;
对于B，直线l，m平行、相交或异面;
对于C，根据平面与平面垂直的判定定理；
对于D，若l∥α，l∥m，则m∥α或m⊂α．
【解答】解：对于A,l⊄β，根据线面平行的性质,可得线线平行，不正确；
对于B，直线l，m平行、相交或异面，不正确；
对于C，根据平面与平面垂直的判定定理,可知正确;
对于D，若l∥α，l∥m，则m∥α或m⊂α，不正确，故选C．
10．若方程2ax2﹣x﹣1=0在（0，1）内恰有一个零点，则有（）
A．a＜﹣1 B．a＞1 C．﹣1＜a＜1 D．0≤a＜1
【考点】函数的零点．
【分析】由函数零点存在性质定理得f（0）f(1）＜0，由此能求出结果．
【解答】解:∵方程2ax2﹣x﹣1=0在（0,1）内恰有一个零点，
f（0）=﹣1，f(1）=2a﹣1﹣1=2a﹣2,
∴f（1)=2a﹣2＞0，解得a＞1．
故选：B．
11．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数,在区间［﹣1，1］上，f（x）=，其中a，b∈R，若f（）=f(），则a+3b=（）
A．2 B．﹣2 C．10 D．﹣10
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】由题意，得f(）=f(﹣）=1﹣a=f（)=①；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0②，解关于a，b的方程组可得a，b的值,从而得到答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且f（x）=；
∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（)=;
又∵f(）=f（），
∴1﹣a=；①
又f（﹣1）=f(1)，
∴2a+b=0；②
由①②解得a=2，b=﹣4；
∴a+3b=﹣10．
故选：D．
12．在Rt△ABC中,已知D是斜边AB上任意一点(如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A （如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d,则下列说法正确的是（)
A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值【考点】平面与平面之间的位置关系．
【分析】过A作CD的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线BH,设BC=a,AC=b，∠ACD=θ，利用两条异面直线上两点间的距离转化为含有θ的三角函数求得最值．
【解答】解:如图，
设BC=a,AC=b,∠ACD=θ,则（0),
过A作CD的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线BH，∴AG=bsinθ，BH=acosθ，CG=bcosθ，CH=asinθ，则HG=CH﹣CG=asinθ﹣bcosθ，
∴d=｜AB｜
==
==
．
∴当,即当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值．
故选：B．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

将答案直接填在答题卡上．
13．已知向量若，则m= ﹣1 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，然后利用向量共线的坐标表示列式求得m值．
【解答】解：∵,
∴，
又，
∴1×2+1×（m﹣1)=0,解得:m=﹣1．
故答案为：﹣1．
14．等比数列{a n｝的前n项和为S n，若a1=1，且公比为2,则S4= 15 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据等比数列的前n项和公式进行计算．【解答】解：依题意得：S4==15．
故答案是：15．
15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
AB=AD=4cm，AA1=2cm,设平面AB1D1与平面ABCD 所成二面角为θ，tanθ=．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB1D1与平面ABCD所成二面角的正切值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴，建立空间直角坐标系,
A（4,0，0），B1（4，4，0）,（0，0，2），=(0,4,0)，=(﹣4，0，2），
设平面AB 1D1的法向量=（x，y，z），
则,取x=1，得=（1，0，2），
平面ABCD的法向量=(0，0，1），
∵平面AB1D1与平面ABCD所成二面角为θ，
∴cosθ==，sinθ==,
tanθ===．
故答案为：．
16．已知函数f(x)=x2+ax+b（a,b∈R)的值域为[0，+∞）,若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m,m+6），则实数c的值为9 ．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f(x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．【解答】解:∵函数f(x）=x2+ax+b(a,b∈R）的值域为[0,+∞），
∴f(x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6)，
即为x2+ax+＜c解集为(m,m+6），
则x2+ax+﹣c=0的两个根为m,m+6
∴|m+6﹣m|==6
解得c=9
故答案为：9
三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．求证:平面PAC⊥平面PBC;
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】要证明平面PAC垂直于平面PBC，直接证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．
【解答】证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC⊂平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC．
18．设向量，=（2sinx，cosx﹣sinx），．
(1）求函数f(x）的解析式；
（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用平面向量的数量积,化简三角函数式，即可得出函数的解析式；
（2)根据正弦型函数的图象与性质，写出f（ωx）的单调增区间，列出不等式求出ω的取值范围．
【解答】解：（1）∵，
=（2sinx，cosx﹣sinx），
∴
=（1+sinx）•2sinx+（cosx﹣sinx）•（cosx+sinx)
=2sin x+1，
故函数解析式为f（x)=2sin x+1；
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0；
由2kπ﹣≤ωx≤2kπ+，
得f（ωx）的增区间是（﹣，+），k∈Z；∵f（ωx)在上是增函数，
∴⊆（﹣，）；
∴0≥﹣且≤,
∴ω∈(0,]．
19．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点．
(1）求证:AD1∥平面DOC1;
（2）求异面直线AD1和DC1所成角．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接D1C交DC1于点O1，连接OO1．结合三角形中位线定理，可线面平行的判定定理,可得AD1∥平面DOC1；
（2)由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．解△OO1D可得答案．
【解答】（1）证明：如图,连接D1C交DC1于点O1，连接OO1．
∵O、O1分别是AC和D1C的中点，
∴OO1∥AD1．
又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1,
∴AD1∥平面DOC1．
（2）解：由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．
在△OO1D中，由题设可得OD=O1D=OO1，
故异面直线AD1和DC1所成的角为60°．
20．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?
(Ⅱ）为了扩大该商品的影响力,提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ)设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式,解不等式可得每件最高定价;
(Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式
有解，等价于x＞25时,有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有,
整理得x2﹣65x+1000≤0，
解得25≤x≤40．
∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元．
(Ⅱ）依题意，x＞25时，
不等式有解,
等价于x＞25时，有解，
∵（当且仅当x=30时，等号成立），
∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10。

2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 是平行四边形，AD=2，，，E,F分别是AD，B1C的中点．
(Ⅰ）求证：EF∥面ABB1A1；
（Ⅱ）设二面角B1﹣AD﹣B的大小为60°，求证：直线BB1⊥平面ABCD．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】(Ⅰ)设BC中点为G,连接GE，GF，推导出FG∥BB1．从而FG∥平面ABB1A1,同理可证EG∥平面ABB1A1．从而平面FEG∥平面ABB1A1．由此能证明EF∥平面ABB1A1．
(Ⅱ）连接B1E，推导出∠BEB1是二面角B1﹣AD﹣B 的平面角,则∠BEB1=60°，从而推导出B1B⊥BE，B1B ⊥BA．由此能证明B1B⊥平面ABCD．
【解答】证明：（Ⅰ）设BC中点为G,连接GE，GF，∵CG=GB，CF=FB1,∴FG∥BB1．
又∵FG⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，
∴FG∥平面ABB1A1．
同理可证EG∥平面ABB1A1．
∵EG，FG是平面FEG内的两条相交直线,
∴平面FEG∥平面ABB1A1．
又∵EF⊂平面FEG，∴EF∥平面ABB1A1．
（Ⅱ)连接B1E，BE．∵B1A=B1D，DE=DA，
∴B1E⊥AD．同理BE⊥AD．
∴∠BEB1是二面角B1﹣AD﹣B的平面角，则∠BEB1=60°，
在△B 1AD中，B1A=B1D=,AD=2，则B1E=2．
在△BAD中，BA=BD=，AD=2AD=2，则BE=1．在△BEB1中,B1E=2，BE=1，∠BEB1=60°，
由余弦定理，得BB 1==．
∵，∴B 1B⊥BE．
在△B 1BA中，BB1=，BA=，B1A=，同理可证
B1B⊥BA．
又∵BE∩BA=B，∴B1B⊥平面ABCD．
22．设a为实数，函数f（x）=a++的最大值为g(a）．
（Ⅰ）设t=+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）．
(Ⅱ）求g（a)．
（Ⅲ）试求满足g（a)=g（）的所有实数a．
【考点】函数最值的应用．
【分析】(I）先求定义域，再求值域．由
转化．
（II）求g（a）即求函数的最大值．严格按照二次函数求最值的方法进行．
（III）要求满足的所有实数a，则必须应用g （a）的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解．
【解答】解:（I）
要使有t意义，必须1+x≥0且1﹣x≥0,即﹣1≤x≤1，∴，t≥0①
t的取值范围是．
由①得
∴m（t）=a（）+t=
（II)由题意知g（a）即为函数的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴,
分以下几种情况讨论．
（1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，
由＜0知m（t）在．上单调递增，
∴g（a)=m(2）=a+2
（2）当a=0时，m（t)=t，，
∴g（a）=2．
（3)当a＜0时,函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，
若，即则
若，即则
若，即则g(a)=m（2）=a+2
综上有
（III）情形1：当a＜﹣2时，此时，
由,与a＜﹣2矛盾．情形2：当，时，此时,
解得，与矛盾．
情形3:当，时,此时
所以，
情形4:当时,,
此时,，
解得矛盾．
情形5：当时，，
此时g(a）=a+2,
由解得矛盾．
情形6：当a＞0时，，
此时g（a)=a+2,
由，由a＞0得a=1．
综上知，满足的所有实数a为：，或a=1
2016年12月5日。