2014年浙江高考数学理科详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1、设全集{/2}U x N x =∈≥，集合2{/5}A x N x =∈≥，则U C A =(B )
..{2}.{5}.{2,5}A B C D ∅
2={/5}={/3},C
{2}U A x N x x N x A ∈≥∈≥
=解： 2、 已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的(A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 2221
()221
a b a bi a b abi i a b ==⎧+=-+=⇔⎨
==-⎩解：
3、某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( D ) A.902
cm B.1292
cm C.1322
cm D.1382
cm
解：几何体是一直三棱柱和长方体的组合体
62+35+34+2(344636)93999138S =⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯-=+=
4、为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x =的图像(C )
A.向右平移
4π个单位 B.向左平移4π
个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12
π
个单位
12
)sin3cos3124y x x x x x π
ππ⎛⎫=
−−−−==+ ⎪⎝
⎭向右平移
解：－－
5、在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则(3,0)(2,1)f f ++ (1,2)(0,3
)f f
+=( C ) A.45 B.60 C.120 D.210
321123664644(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)120f f f f C C C C C C +++=+++=解：
6、已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则(C ) A. 3c ≤ B. 36c <≤ C. 69c <≤ D. 9c > 1842(1)(2)(3)12793a b c a b c
f f f a b c a b c
-+-+=-+-+⎧-=-=-⇒⎨
-+-+=-+-+⎩解：
6
11a b =⎧⇒⎨=⎩
0(
1)369f c <-≤⇒<≤ 7、在同一直角坐标系中，函数()(0),()log a a f x x x g x x =≥=的图像可能是( )
00
(1,1)0(0,0)(1,1)1,()a a x x a A B a g x a <≠⎧⎪>>⎨⎪⎩
，，恒过解：幂函数恒过、，显然排除、可知递减矛盾舍图像随着增大越翘 01,()C a g x D <<可得此时递增矛盾舍去，故选 8、记,,max{,},min{,},,x x y y x y
x y x y y x y x x y ≥≥⎧⎧==⎨
⎨
<<⎩⎩
，记,a b 为平面向量，则(D ) A. {}{}min ,min ,a b a b a b +-≤ B. {}{}
min ,min ,a b a b a b +-≥ C. {
}
22
22
max ,a b a b
a b +-≤+ D. {
}
22
22
max ,a b a b
a b +-≥+
a b a b a b +-解：和是以、为领边平行四边形的两条对角线
(
)
22
2
2
22
22
++22
a b a b
a b a b a b
a b +-+-=+⇔+=
{
}
22
max ,a b a b
≤+-
9、已知甲盒仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3m n ≥≥)，从乙盒
中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中. ( A )
(a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=；
(b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =则 A ．1212,()()p p E E ξξ>< B. 1212,()()p p E E ξξ<> C. 1212,()()p p E E ξξ>> D. 1212,()()p p E E ξξ<<
11111
12=122()m n m n m n
C C m n
P C C m n +++⨯+⨯=+解：
221122222212334=1333()(1)
m n m
n m n m n m n C C C C m m n n mn P C C C m n m n +++-+-+⨯+⨯+⨯=++-
1212(1)
06()(1)
mn n n P P P P m n m n +--=
>⇒>++-
111112()21m n m n m n C C m n
E C C m n
ξ+++=⨯+⨯=+
2211222222334()312()(1)
m n m n m n m n m n C C C C m m n n mn
E C C C m n m n ξ+++-+-+=⨯+⨯+⨯=++-
21212()()0()()()(1)
m m mn
E E E E m n m n ξξξξ-+--=<⇒<++-
10、设函数22
1231(),()2(),()sin 2,,0,1,2,...,99399
i i
f x x f x x x f x x a i π==-=
==， 记10219999()()()()...()(),1,2,3k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a k =-+-++-=，
则( B )
A. 123I I I <<
B. 213I I I <<
C. 132I I I <<
D. 321I I I <<
22
111211132991...19999999999999999i i i I --⨯-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=⨯⇒=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：
2
2
11299(21)2999999999999
i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2250(980)1009821992999999
I +⨯=
⨯⨯=<⨯⨯故 3110219998sin 2sin 2sin 2sin 2...sin 2sin 23999999999999I ππππππ⎛⎫=-+-++- ⎪
⎝⎭
12574
(2sin 22sin 2)139999
ππ=->213I I I <<故 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11、若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是_6__
0,1;1,2;4,3;11,4;26,5;57,6S i S i S i S i S i S i ============解：
12、随机变量ξ的取值为0,1,2，若1
(0),()15
P E ξξ==
=，则()D ξ= 0.4_ 113
=,()012(1)1555
p E p p p ξξ=⨯+⨯+⨯--=⇒=解：设1时概率为
222
1312()(0
1)(11)(21)5555
D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=故 13、当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围
31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
m i n m a x 3
(1,0)(2
,1)1,2
a a ==如图，只要将代入即可得
14、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人， 每人2张，则不同的获奖情况有_60___种(用数字作答).
22
34=36i C A ⨯解：、其中一人有两张奖券，一人获一张共有 3424ii A =、有三人每人获一张，共有
15、设函数2
2,0
(),0
x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a
的取值范围是(
-∞
2
2()0
()0
()2()()2()2
f a f a or f a f a f a f a <≥⎧⎧⇒≥-⎨
⎨+≤-≤⎩⎩解：
2200
22
a a or a a a a <≥⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨+≥--≥-⎩⎩
16、设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>两条渐近线分别交于
点,A B ，若点(,0)P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是__________
,30,,,33b am bm y x x y m A a a b a b --⎛⎫=±
-+= ⎪--⎝⎭
解:渐近线方程分别于联立得 3333,=,3322a m a m b m b m a m
b m a b a b a b a b B P A P B A B Q a b a b ---⎛⎫
++ ⎪-⎛⎫-+-+ ⎪
⎪++⎝⎭
⎪
⎝⎭
，由得，设中点
2228c PQ a b a =⇒
=与已知直线垂直，解得 17、如图，某人在垂直水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面
的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ， 需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若015,25,30AB m AC m BCM ==∠=， 则tan θ的最大值
___________
04
,15=2520=30cos 5
AB BC AB AC BC PCD BCA ⊥==∠∠=
解：，，得，，
22=,,25,3625PD x DC AC AD x =⇒=-+设
t a n 5
P D AD θ⇒=
==
m a x t a n 9
θ⇒=
=
二、解答题：本大题共5小题，共72分
18、(本题满分14分)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知,a b c ≠=
22cos cos cos cos A B A A B B -=
(1) 求角C 的大小；(2)若4
sin 5
A =
，求ABC △的面积. 解：
(1) 2
2
cos cos cos cos A B A A B B -法一：
1cos 21cos 22222A B A B ++⇔
-=
cos22cos22A A B B ⇔= 552sin(2)2sin(2)66
A B ππ
⇔+=+
52,222,333
a b A B A B k A B C πππ
ππ≠≠⇒++=+⇒+==
2
2
cos cos cos cos A B A A B B -=法二：
)(cos cos )(cos cos )sin 2sin 22
A B A B A B ⇔+-=
-
4cos
cos sin sin 2222
)sin()
sin()sin())sin(),sin 2sin()0
33
A B A B A B A B
A B A B A B A B A B A B A B C C C C π
π
+-+-⇔-⋅⋅=+-⇔-+-=+-≠⇒=⇒-=⇒=
2
08648(2)
,3sin sin 605255
1sin 2a x a b x x A b S ab C =⇒==⇒=+-⇒===
设
19、(本题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b
满足123()n b
n a a a a n N *⋅⋅⋅=∈，若{}n a 为
等比数列，且1322,6a b b ==+. (1) 求n a 与n b ； (2) 设*11
()n n n
c n N a b =
-∈，记数列{}n c 的前n 项和为n S (i )求n S ；
(ii )求正整数k ，使得对任意*
n N ∈，均有k n S S ≥.
13221231162123123(1)1
2
112(1)00,22
88,4,22,2
(1)
n b b n n b b b n n
n n
n n n a a a a a a b a a a a a a q q a a q
b a a a n n ++-⋅⋅⋅=>⇒>==⇒=====⇒===⇒===⋅⋅⋅==+解：
21111111111(2)...1...2(1)2222231
11111(1)2112
n n n n n n
c S n n n n n n ⎛⎫=
-⇒=+++--+-++- ⎪++⎝⎭=---=-++
由于12,x
x k +增长速度低于故只要观察前几项即可得到 12345111113
0,,,,,41288096
S S S S S k ======显然得
20、(本题满分15分)如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE
,
090,2,1,CDE BED AB CD DE BE AC ∠=∠======(1) 证明：DE ⊥平面ACD (2) 求二面角B AD E --的大小
.
00222(1)90,2,1,1,90,4,=,,CDE BED AB CD DE BE AC BM CD BM MC BMC BC AC BC AB AC BC ABC BCDE BC ABC BCDE AC BCDE AC DE DE DC AC DC C DE ACD
∠=∠======⊥==∠==+==∴⊥⋂⊥∴⊥⊥⊥⋂=⇒⊥证明：作，平面平面，平面平面平面，
平面111122221111
1(2)=(1,1,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0)(,,),(,,)(1,1,2)(2,(1,1,0)(0,1,0)020B A D E BAD EAD n x y z n x y z BA EA BD ED x y x y =====⎧⎧=--=--⎪⎪⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩⎧--+=-⎪⇒⎨-=⎪⎩建立如图直角坐标系，设面，面的法向量分别为2222121200(1,1,2),(1,0,cos ,623
x y y n n n n B AD E π
⎧-+=⎪⎨
-=⎪⎩⇒==⇒<>=
=⇒--二面角为
21、(本题满分15分)如图，设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，动直线l 与椭圆C 只
有一个公共点P ，且点P 在第一象限.
(1) 已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标.
(2) 若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离最大值为a b -
222
0000000222220(1)(,):10..., 1...xx yy b x x y P x y l k a b a y a b
-⇒+=⇒=<+=解：设①②
结合①②及P 在第一象限，得
202220
=x P y ⎧=⎪⎛⎫
⎪
⎨⎪=
⎪⎩
即得
122
1222222
22(2):0,,P l l x ky P d a b k -⎛⎫+=⇒==
=
≤
=-=当且仅当
22、(本题满分14分)已知函数3()3,()f x x x a a R =+-∈
(I )若()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a - (II )设b R ∈，若[]2
()4f x b +≤对[1,1]x ∈-恒成立，求3a b +得取值范围.
3232
2333,33,(1)(),'()33,33,[1,1]1,[1,1],'()330,
()(1)43,()(1)43,()()8
10,()(),()ma x x a x a x x a f x f x x x a x a x x a
a i a x a f x x M a f a m a f a M a m a ii a m a f a a M a ⎧⎧-+<-<⎪⎪
==⎨⎨+-≥+≥⎪⎪⎩⎩-≤-∈->=+>⇒==-=-=---=-<≤===解：由于所在区间上，故对讨论如下： 、、3
33
x{(1),(1)}43()()4301,()(),()max{(1),(1)}32()()321,[1,1],()(1)32,()(1)32()()32324
f f a M a m a a a iii a m a f a a M a f f a M a m a a a iv a x a M a f a m a f a M a m a a a -=-⇒-=--<<===-=+⇒-=+-≥∈-<=-=+==-⇒-=+-+=、、
(2) [1,1],2()2,()()4x b f x b M a m a ∈---≤≤--=等价 (1),()()4i ii M a m a ->结合得其中故舍去 23230,1iv b a a b a -=+⇔+=≥、只要
32324,01,iii a a a ≤+-≤<<、要恒成立，见下图
[]32,23[2,0]a b b a b +--⇒+∈-此时必须在。