似不相关回归
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根据克罗奈克积的性质， ? 的逆矩阵可以写为
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可以想象，在电脑中，也把数据排成这个样子（需
要加上许多零）。考察大扰动项?的协方差矩阵
??1 ? ? ?1 ?
差也相同，记第 i个方程的方差为 ? ii。则协方差矩阵
? 中主对角线上的第 ?i，i?个矩阵为E ??i?i??＝? iiIT
假设不同方程的扰动项之间存在同期相关（如果是 横截面数据，则指的是不同方程对应的扰动项之间
? ? 存在相关性），即 E ?it? js ＝????0，ij，tt＝? ss
则协方差阵? 中的第 ?i，j?个矩阵 ?i ? j?为
在第i个方程中，共有Ki个解释变量。
第i个方程可以写为
?yi ＝ X? i ?? i ＋ ??i （i＝1，2，? ，n）
T?1 T? Ki Ki ?1 T?1
将所有方程叠放在一起可得
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y
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X2 ?
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SUR模型的基本假设是，各方程的扰动项之间存在 同期相关。为此，可以检验原假设 “H0：各方程的 扰动项无同期相关 ”，即“H0：? 为对角矩阵 ”。
Breusch and Pagan建议使用以下LM统计量：
n i-1
?? ? ? ?LM＝T
ri2j ??d? ? 2 n ?n-1? 2
i=2 j＝1
这两个方程的变量之间貌似没有联系，但由于同一 学生的不可观测因素同时对计量成绩与英语成绩造 成影响，故两个方程的扰动项应该是相关的。如果 将这两个方程同时进行联合估计，则可以提高估计 效率。
二、似不相关回归的假定
似不相关回归模型的假定如下：假设共有 n个方程 （n个被解释变量），每个方程共有 T个观测值，T>n
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假设同一方程不同期的扰动项不存在自相关，且方
对多方程系统进行联合估计的缺点是，如果某个方 程的误差较大，则系统估计会将这一方程的误差带 入其他方程中，进而污染（ contaminate）整个方程 系统。故选择单一方程估计或系统估计，实际上是 在有效性与稳健性之间的权衡。
多方程系统主要分为两类。一类为联立方程组（ simultaneous equations），即不同方程之间的变量存 在内在的联系，一个方程的解释变量是另一方程的 被解释变量。
容易看出，对于任意矩阵 A，B，其克罗奈克积 A ? B总是有定义的。可以证明，克罗奈克积具有
以下性质：?1??A ? B??C ? D?＝?AC?? ?BD? ?2??A ? B??＝A?? B? ?3??A ? ?B －1＝A－1 ? B－1
使用克罗奈克积，可以将扰动项?的协方差矩阵简
?? 11 ? 12 ? 化为? ＝??? 21 ? 22 ?
产的需求份额取决于这组资产的回报率及总财富。 当需求份额必须加总为1时，可以选择将其中一个方 程去掉，否则扰动项的协方差矩阵将为不可逆的退 化矩阵），有时也使用SUR而不使用单一方程OLS 以便检验跨方程的参数约束。如果存在跨方程的参 数约束，则即使各方程的解释变量完全相同，SUR 估计与单一方程OLS也不再等价。
? ? E ?i? ?j ＝? ijIT
综合以上结果可知
?? 11IT ? 12IT ?
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nn
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由于? 中的每个小块矩阵都有共同的因子IT，我们自
然想把I
从右边提取出来。这可以通过矩阵的克罗
T
奈克积（Kronecker product）来实现。
? a11 ? 定义：对于任意两个矩阵Am?n＝?? ?
??a m1 ?
a1n ?
?
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a mn ??
与Bp?（q 矩阵A，B的维度可以完全不同），
? a11B ?
克罗奈克积为A ?
B
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?
??a m1B ?
a1n B ?
?
? ?
amn B ??mp? nq
在上一章曾讨论过以下变系数面板数据模型：
y it＝xi?t ? i＋?it
其中，
?
为第
i
i个个体对应的系数（常数）。虽然不
同个体拥有自己的系数（含截距项与斜率），但不
同个体的扰动项却可能相关，故应使用 SUR进行系
统估计。
四、假设检验
在对多方程系统进行SUR估计后，对线性假设
“H0：R? ＝r”的检验可以照常进行。由于? 包含了
所有方程的参数，故可以检验方程的参数约束。如
果接受“H 0：R? ＝r”，则可把“R? ＝r”作为约束
条件，进行有约束的FGLS估计。
需要指出的是，即使各方程的解释变量完全相同 （这种情况在经济学中常常出现。比如，对一组商 品的需求取决于这组商品的价格及收入；对一组资
???11 ??12 ? 因此， ?? ＝????21 ??22 ?
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X??
－1X
－1
X??
－1y可得
将?? 代入
? ? ??SUR＝ X??? －1X －1 X??? －1y
这就是似不相关
估计量，记为 ??SUR。使用 FGLS后得到新的残差，可 以再一次计算 ?? ，不断迭代直至系数估计值 ??SUR收敛
的解释变量，故使用单一方程 OLS估计VAR 就够了
除了以上两种特殊情形外，通常来说，各方程的扰
动项之间的相关性越大，则 GLS所能带来的效率改
进就越大；各方程的数据矩阵 ?X1，X2，? ，Xn?之间
的相关性越小，则 GLS所能带来的效率改进也越大
（如果各数据矩阵完全相同，则 GLS还原为单一方程
其中，rij＝
??ij ??ii??jj
为根据残差计算的扰动项?i与? j之
间的同期相关系数，
n i-1
?? 而
ri2j 为同期相关系数矩阵
i=2 j＝1
? r11 r12
? ?
r21
r22
?
? ? rn1 rn2
r1n ?
r2n
? ?主对角线以下各项之平方和
?
? rnn ?
（该矩阵为对称矩阵）
五、变系数面板数据的 SUR估计
不同。但如果出现以下两种情形之一，则 GLS与单
一方程OLS的结果完全相同，使用 GLS并不会提高
效率。
?1?当各方程的扰动项互不相关时。在似不相关回归
模型中，各方程间唯一的联系就是扰动项之间的相 关性。如果扰动项互不相关，则 ? 是单位矩阵，那 么不难证明系统估计与单一方程估计并无区别。
?2?当每个方程包含的解释变量完全相同时。比如， 向量自回归模型 ?VAR ?中的每个方程包含完全相同
三、FGLS估计
由于? 不是单位矩阵，故用 OLS估计这个多方程系
统y＝X?＋?不是最有效率的。假设 ? 已知，则GLS
是最有效率的估计方法：
? ? ??GLS＝
X??
－1X
－1
X??
－1y
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IT
－1
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X?
? －1
?
IT
y
一般来说，这个 GLS估计量与单一方程 OLS估计量
OLS）
然而，在现实中? 一般是未知的，故首先需要估计
?? ，然后进行FGLS估计。由于对每个方程分别进行
OLS回归也是一致的，故可以使用单一方程OLS的
残差来一致地估计?
。
ij
假设第i个方程的OLS残差向量为ei，则? ij的一致估
计量为
? ??ij＝
1 T
e?ie
j＝
1 T
T t=1
eite jt
另一类为似不相关回归（Seemingly Unrelated Regression Estimation，SUR或SURE）， 即各方程的变量之间没有内在联系，但各方程的扰 动项之间存在相关性。本章介绍似不相关回归
例：以研一学生的计量经济学成绩与英语成绩作为 两个被解释变量。这两个方程所包含的解释变量可 以不同，比如，第一个方程可以包括虚拟变量 “是 否学过本科计量学”，而第二个方程可以包括“考 研英语成绩”。
则协方差矩阵中主对角线上的第假设不同方程的扰动项之间存在同期相关如果是横截面数据则指的是不同方程对应的扰动项之间kroneckerproduct由于中的每个小块矩阵都有共同的因子我们自然想把从右边提取出来
第十二章 似不相关回归
一、单一方程估计与系统估计
截至目前，我们仅考虑对单一方程的估计，但有时 候会出现多个方程的情形。如果多个方程之间有某 种联系，那么将这些方程同时进行联合估计有可能 提高估计的效率，这被称为系统估计。 有时多个方程是从同一个最大化问题推导而来（比 如，从企业的利润最大化问题导出对资本与劳动力 的需求），故在理论上存在跨方程的参数约束（ cross-equation restrictions）。多方程联合估计为检 验这些跨方程约束提供了可能。也可以在加上这些 约束条件后再进行系统估计。
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根据克罗奈克积的性质， ? 的逆矩阵可以写为
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假设不同方程的扰动项之间存在同期相关（如果是 横截面数据，则指的是不同方程对应的扰动项之间
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则协方差阵? 中的第 ?i，j?个矩阵 ?i ? j?为
在第i个方程中，共有Ki个解释变量。
第i个方程可以写为
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这两个方程的变量之间貌似没有联系，但由于同一 学生的不可观测因素同时对计量成绩与英语成绩造 成影响，故两个方程的扰动项应该是相关的。如果 将这两个方程同时进行联合估计，则可以提高估计 效率。
二、似不相关回归的假定
似不相关回归模型的假定如下：假设共有 n个方程 （n个被解释变量），每个方程共有 T个观测值，T>n
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多方程系统主要分为两类。一类为联立方程组（ simultaneous equations），即不同方程之间的变量存 在内在的联系，一个方程的解释变量是另一方程的 被解释变量。
容易看出，对于任意矩阵 A，B，其克罗奈克积 A ? B总是有定义的。可以证明，克罗奈克积具有
以下性质：?1??A ? B??C ? D?＝?AC?? ?BD? ?2??A ? B??＝A?? B? ?3??A ? ?B －1＝A－1 ? B－1
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产的需求份额取决于这组资产的回报率及总财富。 当需求份额必须加总为1时，可以选择将其中一个方 程去掉，否则扰动项的协方差矩阵将为不可逆的退 化矩阵），有时也使用SUR而不使用单一方程OLS 以便检验跨方程的参数约束。如果存在跨方程的参 数约束，则即使各方程的解释变量完全相同，SUR 估计与单一方程OLS也不再等价。
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同个体拥有自己的系数（含截距项与斜率），但不
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统估计。
四、假设检验
在对多方程系统进行SUR估计后，对线性假设
“H0：R? ＝r”的检验可以照常进行。由于? 包含了
所有方程的参数，故可以检验方程的参数约束。如
果接受“H 0：R? ＝r”，则可把“R? ＝r”作为约束
条件，进行有约束的FGLS估计。
需要指出的是，即使各方程的解释变量完全相同 （这种情况在经济学中常常出现。比如，对一组商 品的需求取决于这组商品的价格及收入；对一组资
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动项之间的相关性越大，则 GLS所能带来的效率改
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（如果各数据矩阵完全相同，则 GLS还原为单一方程
其中，rij＝
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间的同期相关系数，
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ri2j 为同期相关系数矩阵
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（该矩阵为对称矩阵）
五、变系数面板数据的 SUR估计
不同。但如果出现以下两种情形之一，则 GLS与单
一方程OLS的结果完全相同，使用 GLS并不会提高
效率。
?1?当各方程的扰动项互不相关时。在似不相关回归
模型中，各方程间唯一的联系就是扰动项之间的相 关性。如果扰动项互不相关，则 ? 是单位矩阵，那 么不难证明系统估计与单一方程估计并无区别。
?2?当每个方程包含的解释变量完全相同时。比如， 向量自回归模型 ?VAR ?中的每个方程包含完全相同
三、FGLS估计
由于? 不是单位矩阵，故用 OLS估计这个多方程系
统y＝X?＋?不是最有效率的。假设 ? 已知，则GLS
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例：以研一学生的计量经济学成绩与英语成绩作为 两个被解释变量。这两个方程所包含的解释变量可 以不同，比如，第一个方程可以包括虚拟变量 “是 否学过本科计量学”，而第二个方程可以包括“考 研英语成绩”。
则协方差矩阵中主对角线上的第假设不同方程的扰动项之间存在同期相关如果是横截面数据则指的是不同方程对应的扰动项之间kroneckerproduct由于中的每个小块矩阵都有共同的因子我们自然想把从右边提取出来
第十二章 似不相关回归
一、单一方程估计与系统估计
截至目前，我们仅考虑对单一方程的估计，但有时 候会出现多个方程的情形。如果多个方程之间有某 种联系，那么将这些方程同时进行联合估计有可能 提高估计的效率，这被称为系统估计。 有时多个方程是从同一个最大化问题推导而来（比 如，从企业的利润最大化问题导出对资本与劳动力 的需求），故在理论上存在跨方程的参数约束（ cross-equation restrictions）。多方程联合估计为检 验这些跨方程约束提供了可能。也可以在加上这些 约束条件后再进行系统估计。