汕头市金山中学高二数学上学期期中试题2

广东省汕头市金山中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题
可能用到的公式：球的体积公式
V ＝ 4
R 3 （此中 R 为球的半径）
3
一．选择题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分，每题只有一项为哪一项正确答案）
1. 设 S { x | 2x 1
0}，T
{ x | 3x 5 0} ，则 S I T
（ ）
A.
B.
{ x | x
1} C.
{ x | x
5
}D.
{ x | 1 x
5}
2
3
2
3
2. 已知空间的两条直线 m, n 及两个平面
，β，以下四个命题中正确的选项
是（
）
①若 m ∥ n ， m ⊥ ，则 n ⊥ ；②若 ∥β， m
， n
β，则 m ∥ n ； ③若 m ∥ n ， m ∥ ，则 n ∥
；④若 ∥β， m ∥ n ， m ⊥
，则 n ⊥β
A. ①③
B 、②④
C
、①④
D
、②③
3. 椭圆
x 2 y 2 1的左右焦点分别为 F 1， F 2 ，点 P 在椭圆上，则
PF 1F 2 的周长为（
）
25
9
A 、20 B
、18 C 、 16 D 、 14
4. 已知三棱锥 A －BCD 中， AD ⊥ BC ， AD ⊥ CD ，则有（ ）
A 、平面 ABC ⊥平面 ADC
B 、平面 AD
C ⊥平面 BC
D C 、平面 ABC ⊥平面 BDC D 、 平面 ABC ⊥平面 ADB
5. 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，异面直线 BD 1 与 AC 所成的角等于 ( )
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．90°
6． 假如履行下边的框图，输入
N ＝5，则输出的数等于 (
)
A.
5 B 、 5
C. 6
D. 4
4 6 1
5 5 1
7. “ sin
”是“ cos2
”的（ ）
2 2
A 、充足不用要条件
B 、必需不充足条件
C 、充要条件
D
、既不充足也不用要条件
8、椭圆 x
2
y 2 1(a
b 0) 的左右焦点分别为
F 1， F 2 ，点 P 在椭圆上， PF 2
x 轴，且
a 2
b 2
PF 1 F 2 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（
）
A 、2
B 、2－1
C 、2－2
D 、2－1
9. 如图，在等腰梯形
ABCD 中， AB=2DC=2，∠ DAB=60°， E 为 AB 的中点，将△ ADE 与△ BEC 分
别沿 ED 、 EC 向上折起，使 A 、 B 重合于点 P ，则 P ﹣ DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．
4 3
B ．
6 C ．
6 D ． 6 27
2
8 24
10．某三棱锥的三视图如下图 , 则该三棱锥的各个面中
,
最大的面积是（
）
A ．
6
B
．
2
2
2
C ． 1
D ． 6
4
11．已知方程
k(x 2) 3
4
x
2
有两个不一样的实
数
解，则实数 k 的取值范围是（
）
A ． (
5 , 3) B ． ( 5 ,1] C ． ( 5 , 3 ] D ．(0, 3 ]
12 4 12 12 4 4
12．已知点 P （ 1， 1）及圆 C ： x 2 y 2
4 ，点 M ， N 在圆 C 上，若 PM ⊥ PN ，则 |MN| 的取值
范围为（ ）
A ． [ 6 2 , 6 2 ] B
． [ 2 2,2 2] C ． [ 6
2,
6
3]
D
． [ 2
2,2
3]
二．填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
r
r r r
13. 已知向量 a ＝（ 4， 2），向量 b ＝（ x ， 3），且 a // b , 则 x ＝
14. 已知正三棱锥 S － ABC 的侧棱长为 2，底面边长为 1，则侧棱 SA 与底面 ABC 所成角的余弦 值等于
15. 菱形 ABCD 的边长为 2，且∠ BAD ＝60°，将三角形 ABD 沿 BD 折起，获得三棱锥 A － BCD ，
则三棱锥 A － BCD 体积的最大值为
16. 函数 y
1
的图像与函数 y 2 sin x( 4 x 6) 的图像全部交点的横坐标之和等于
1 x
三．解答题（共 5 题， 70 分）
17（ 12 分）、已知A、 B、C 是 ABC的内角，a,b, c分别是角 A， B，C 的对边。

若 sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin Asin B
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）若 c2,求ABC面积的最大值
18（ 14 分） .如图，三棱柱ABC－ A1B1C1中， CA＝ CB， AB＝ AA1，∠ BAA1＝60°. O为 AB的中点
(1)证明： AB⊥平面 A1O C
(2) 若AB＝CB＝ 2，平面 ABC平面A1ABB1，求三棱柱ABC－ A1B1C1的体积．
19（ 14 分） . 在数列{ a n}中，a11 , a n 1n 1
a n n 1 n 2 n
（ I ）设b n a
n，求数列 { b n} 及 { a n } 的通项公式n
（ II ）求数列{ a n}的前n项和S n
20（ 14 分）、已知过点A（0， 4），且斜率为k 的直线与圆C：( x2) 2( y 3) 21，订交于不一样两点M、 N.
（1）务实数k的取值范围；
（2）求证：AM AN为定值；
（3）若 O为坐标原点，问能否存在以 MN为直径的圆恰过点 O，若存在则求k的值，若不存在，说
明原因。

\
21. （ 16 分）已知函数 f ( x)x | 2a x |2x ，a R．
1R
上是增函数，务实数 a 的取值范围；
（）若函数 f ( x) 在
（ 2）若存在实数a2,2, 使得对于x的方程 f ( x) tf (2 a)0 有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围．
2017 级高二第一学期期中考数学科试题（2018 年 11 月）参照答案
一．选择题答（每题 5 分） DCBBD， BADCA， CA
二填空题答6；3
； 1； 12（每题 5 分）6
17 解：（ I ）由正弦定理及sin2A sin 2 B sin 2 C sin A sin B 得 a 2b2 c 2ab 2 分
由余弦定理cosC a 2b2 c 2ab1
4 分
2ab2ab2
又 0C，则 C
3
6 分
（II ）由（ I ）得C，又 c 2 ，a2 b 2 c 2ab 得
3
a 2
b 2
4
ab 又 a 2 b 2
2ab 可得
ab 4
8 分
S
1
3 ab
3
10 分
ABC ab sin C 4
2
当 a
b 时获得等号
11 分
因此的
ABC 面积最大值为
3
12 分
18 解： (1) 证明：连接 A B . ，由于 CA ＝ CB ， OA ＝ OB ，所 OC ⊥AB
1
由于 AB ＝ AA ，∠ BAA ＝60°，所三角形 AAB 为等边三角形，
1
1
1
因此 AA ＝A B ，又 OA ＝ OB ，因此 OA ⊥AB ，又 OC OA 1
1
1
1
＝
O ， AB
面1O
A C
（ 2）由题可知， ABC 与 AA 1 B 是边长为 2 的等边三角形，
得 OA 1＝ 3
平面 ABC
平面 A ABB 平面 ABC
平面 A ABB ＝ AB ，
1
1
由（ 1）OA 1⊥ AB ， OA 1
平面 A 1ABB
OA 1
面 ABC
OA 1 为三棱柱 ABC － A B C 的高
1 1
1
V
ABC －A B C
＝ S ABC
OA 1 ＝3
1 1 1
19【分析】（ I ）由已知有
a
n 1
a n
1
b
n 1
1
n 1
n
2n
b n
2n
则 b n
b 1 (b 2 b 1 ) (b 3
b 2 )
(b n b n 1 )
1
1 1
1 ( 1 ) n
1
1
2
2
*
2
2 2
2n 1
1
1 2n 1 (
nN
)
2
又 b n
a n
得 a n nb n 2n
n
n ， 2 n 1
（II ）由（ I ）知 a n
2n n
n 1 ,
1 2
2
n
S n
2(1 2
n)
)
(
2 1
2n 1
2
令 T n
12n 20212n1
则1
T n12n 221 2 22n
两式相减得
1111
1(1) n
n1n n2
2
2T
n2
0212
n 1
－
2n1 2 n2n 1 2 n
12
2n
T n=4
2n1
S n=2n(1n)T n n(n1) 4n2
22n1
20 解：（ 1）（一）设直线方程为y kx 4 ，即 kx y 40 ，点C（2，3）到直线的距离为
d| 2k 3 4 | | 2k 1|1,解得－4
k 0
k 21k 213
（二）设直线方程为y kx 4 ，联立圆C的方程得(k 21) x2( 42k ) x40 ,此方程有两个不一样的实根
2
4( k21) 0,解得－4
k0
＝（ 4－2k）4
3 (2) 设直线方程为y kx
4 ，联立圆C的方程得
(k 21) x 2(4 2k ) x 4 0 ,设M( x1, y1), N( x2, y2) ,
则 x
1x
2
4
2k
, x x
2
4
k 211k 21
AM AN ( x1, y14) ( x2 , y24)(x1 , kx1 ) (x 2 , kx2 ) ( k 21) x1x 24
(2) 假定存在知足条件的直线，则有MO NO MO NO0x1 x2y1 y 20 y1 y 2(kx14)(kx 24)k 2 x1x 24k (x1 x 2 )16
得 ( k 21) x
1 x24k( x1x
2 )160 ，进而得3k24k50,1660 0,此方
程无实根
因此，不存在以MN为直径的圆过原点。

21．解： （ 1） f ( x)
x 2 (2 2a)x ( x 2a) ， 3 分
x 2 (2 2a) x ( x 2a)
当 x 2a
时， y
f ( x) 的对称轴为： x a 1
；
当 x 2a 时， y
f (x) 的对称轴为：
x a 1；
∴当 a 1 2a a 1
f (x) 在 R 上是增函数，即 1 a 1
时，函数 y
f (x) 在 R
时， y
上是增函数；
6 分
（ 2）方程 f ( x) tf (2 a) 0 的解即为方程 f ( x)
tf (2 a) 的解．
①当 1 a
1
y
f ( x) 在 R
上是增函数，∴对于 x 的方程 f ( x)
tf (2 a) 不行能有
时，函数 三个不相等的实数根；
8 分
②当 a
1 时，即 2a a 1 a 1，∴ y
f (x) 在 (
, a 1) 上单一增，在 (a 1,2a) 上单
调减，在 (2 a, ) 上单一增， ∴当 f (2 a) tf (2 a)
f ( a 1) 时，对于 x 的方程 f (x)
tf (2a)
有三个不相等的实数根；即 4a t
4a (a 1)2 ，
∵ a
1 ∴ 1 t
1
(a 1
2)．10分
4
a
设 h(a)
1
1
2,2 , 使得对于 x 的方程 f (x)
tf (2 a) 有三个不相等的
(a
2) ，∵存在 a
4
a
1
1
实数根， ∴ 1 t
h( a) max ，又可证 h(a) (a
2) 在 (1,2] 上单一增
4 a
9
9
∴ h( a)max
∴ 1 t
12 分
8 ；
8
③当 a 1 时，即 2a a 1 a 1，∴ y
f (x) 在 (
, 2a) 上单一增，在 (2 a, a 1) 上单
调减，在 (a 1, ) 上单一增，
13 分
∴当 f ( a 1) tf (2 a) f (2 a) 时，对于 x 的方程 f ( x) tf (2 a) 有三个不相等的实数根；
即
(a
1)2
t 4a 4a ，∵ a
1 ∴ 1 t
1 (a 1 2) ，设 g(a) 1 (a
1 2)
4 a 4
a
∵存在 a
2,2 , 使得对于 x 的方程 f ( x)
tf (2 a) 有三个不相等的实数根，
∴ 1 t
g(a)max ，又可证 g(a)
1
(a 1 2) 在[ 2, 1) 上单一减∴ g(a) max
9
4 a
8
1 t
9
15 8
1916 t
8。