高中数学 2.2.1综合法和分析法课时作业 新人教A版选修

2.2.1 综合法和分析法
课时目标 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
综合法和分析法
综合法分析法
定义
利用________和某些数学______、______、
______等，经过一系列的________，最后推
导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫
做综合法
从要证明的______出发，逐步
寻求使它成立的__________，
直至最后，把要证明的结论归
结为判定一个明显成立的条
件(已知条件、______、
______、______等)为止，这
种证明方法叫做分析法．
框图表示
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(P
表示________、已有的______、______、
______等，Q表示____________)
Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3
→…→
得到一个明显
成立的条件
(Q表
示所要证明的结论)
特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法
一、选择题
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．等价条件
2．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )
A．S≥2P B．P<S<2P
C．S>P D．P≤S<2P
3．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f (x )＝0的根的情况为( ) A ．至多有一个实根 B ．至少有一个实根 C ．有且只有一个实根 D ．无实根
4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 5
5，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c
5．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n ，n ∈N *
，则f (n )、g (n )、φ(n )
的大小关系为( )
A ．f (n )<g (n )<φ(n )
B ．f (n )<φ(n )<g (n )
C ．g (n )<φ(n )<f (n )
D ．g (n )<f (n )<φ(n )
6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )
A ．a 2
<b 2
＋c 2
B ．a 2
＝b 2
＋c 2
C ．a 2
>b 2
＋c 2
D ．a 2
≤b 2
＋c 2
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．
8．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9
b
＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围
是____________．
9．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为_____________________ ___________________________________________________． 三、解答题
10．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3
＋b 3
>a 2
b ＋ab 2
.
11．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，
求证：
1
a＋b
＋
1
b＋c
＝
3
a＋b＋c
.
能力提升12.
如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)
13．已知函数f(x)＝1＋x2，若a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.
分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．
答案
知识梳理
综合法分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系
列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明
方法叫做综合法
从要证明的结论出发，逐步寻
求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析
法.
框图表示
P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3
→…→Q n ⇒Q (P 表示已知条
件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)
Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3
→…→
得到一个明显
成立的条件
(Q 表
示所要证明的结论) 特点
顺推证法或由因导果法
逆推证法或执果索因法
作业设计 1．A
2．D [∵S －P ＝a 2
＋b 2
＋c 2
－ab －bc －ca ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2
]≥0， ∴S ≥P .
2P ＝2ab ＋2bc ＋2ca
＝(ab ＋bc )＋(ab ＋ca )＋(bc ＋ca )
＝b (a ＋c )＋a (b ＋c )＋c (b ＋a )>b 2
＋a 2
＋c 2
， 即2P >S .]
3．A [由于函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 因此图象与x 轴的交点最多就是一个．] 4．C [利用函数单调性．
设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x
x
2
， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；
x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．
又a ＝ln 44
，∴b >a >c .]
5．B [f (n )、g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．
f (n )＝
1
n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1
>12n ，
∴f (n )<φ(n )<g (n )．]
6．C [由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
<0，
得b 2
＋c 2
<a 2
.] 7．a ≠b
解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )
＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2
(a ＋b )．
∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 8．(0,16]
解析 u ≤(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋9b 恒成立，
而(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b
≥10＋6＝16，
当且仅当b a
＝9a b
且1a ＋9
b
＝1时，上式取“＝”．
此时a ＝4，b ＝12. ∴0<u ≤16. 9．a <b
解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2
＝11＋46，b 2
＝11＋47，明显6<7，故a <b . 10．证明 方法一 分析法 要证a 3
＋b 3
>a 2
b ＋ab 2
成立．
只需证(a ＋b )(a 2
－ab ＋b 2
)>ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b >0，
只需证a 2
－ab ＋b 2>ab 成立， 只需证a 2
－2ab ＋b 2
>0成立， 即需证(a －b )2
>0成立．
而依题设a ≠b ，则(a －b )2
>0显然成立． 由此命题得证． 方法二 综合法
a ≠
b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0
⇒a 2
－2ab ＋b 2
>0⇒a 2
－ab ＋b 2
>ab .
注意到a ，b ∈R ＋
，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2
－ab ＋b 2
)>ab (a ＋b )．
∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2
.
11．证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c
b ＋c
＝3， 即证
c
a ＋
b ＋
a
b ＋c
＝1，
即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab
ab ＋b 2＋ac ＋bc
＝1，
而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π
3，
∴b 2
＝a 2
＋c 2
－ac ，
∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc
＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c
. 12．AC ⊥BD
解析 从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四 边形ABCD 为正方形．
13．证明 原不等式即|1＋a 2
－1＋b 2
|<|a －b |， 要证此不等式成立，
即证1＋a 2
＋1＋b 2
－21＋a 2
·1＋b 2
<a 2
＋b 2
－2ab .
即1＋ab <1＋a 2
·1＋b 2
. 当1＋ab <0时不等式恒成立， 当1＋ab ≥0时，
即要证1＋a 2b 2
＋2ab <(1＋a 2
)(1＋b 2
)， 即2ab <a 2
＋b 2，由a ≠b 知此式成立， 而上述各步都可逆， 因此命题得证．。