高中数学模块综合评价新人教A版选修4-4(2021年整理)

2018-2019学年高中数学模块综合评价新人教A版选修4-4
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模块综合评价
(时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．点M的直角坐标是（－1，错误!），则点M的极坐标为( ）
A.错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!（k∈Z)
解析：点M的极径是2，点M在第二象限，故点M的极坐标是错误!.
答案：C
2．极坐标方程cos θ＝错误!（ρ∈R)表示的曲线是（）
A．两条相交直线B．两条射线
C．一条直线D．一条射线
解析：由cos θ＝错误!，解得θ＝错误!或θ＝错误!π,又ρ∈R，故为两条过极点的直线．
答案：A
3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝错误!对称的曲线的方程是( )
A．ρsin θ＋1＝0 B．ρcos θ＋1＝0
C．ρsin θ＝2 D．ρcos θ＝2
解析：因为M（ρ，θ）关于直线θ＝错误!的对称点是N错误!，从而所求曲线方程为ρcos 错误!＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.
答案：A
4．直线错误!（t为参数）和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（) A．(3，－3）B．（－错误!，3）
C．（错误!，－3）D．（3，－错误!）
解析：将x＝1＋错误!，y＝－3错误!＋错误!t代入圆方程，
得错误!错误!＋错误!错误!＝16，
所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝错误!＝4，
所以x＝1＋错误!×4＝3，y＝－3错误!＋错误!×4＝－错误!，
故AB中点M的坐标为（3，－错误!）．
答案：D
5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为（）A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
解析：ρ(ρcos θ－1）＝0，ρ＝错误!＝0或ρcos θ＝x＝1.答案：C
6．直线错误!（t为参数）被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( ）
A.12
5
B。

错误!错误!
C.错误!错误!D。

错误!错误!
解析:把错误!化为标准形式为错误!将其代入x2＋y2＝9,整理得t′2＋错误!t′－4＝0，由根与系数的关系得t′1＋t′2＝－错误!,t′1t′2＝－4.
故|t′1－t′2|＝错误!＝错误!＝错误!·错误!，所以弦长为错误!错误!。

答案：B
7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10,则圆心M到直线错误!（t为参数）的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意易知圆的圆心M（1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝错误!＝2。

答案：B
8．点M错误!关于直线θ＝错误!(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A.错误!
B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析：点M错误!的直角坐标为错误!＝错误!，直线θ＝错误!(ρ∈R)，即直线y＝x,点错误!关于直线y＝x的对称点为错误!，再化为极坐标为错误!。

答案：A
9．极坐标方程（ρ－1）(θ－π）＝0(ρ≥0)和参数方程错误!(θ为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、射线和圆B．圆、射线和双曲线
C．两直线和椭圆D．圆和抛物线
解析：因为（ρ－1）（θ－π)＝0,所以ρ＝1或θ＝π（ρ≥0），ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0）表示一条射线，参数方程错误!(θ为参数）化为普通方程为错误!－x2＝1，表示双曲线．
答案：B
10．已知直线l的参数方程为错误!（t为参数），椭圆C的参数方程为错误!（θ为参数)，且它们总有公共点．则a的取值范围是（）
A。

错误!∪（0，＋∞）
B．(1,＋∞)
C。

错误!
D.错误!
解析：由已知得错误!
则4（at－1)2＋（a2t－1)2＝4,
即a2(a2＋4)t2－2a（a＋4）t＋1＝0，
Δ＝4a2(a＋4）2－4a2（a2＋4）＝16a2（2a＋3)．
直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，
即a≥－错误!。

答案：C
11．已知直线l过点P(－2，0）,且倾斜角为150,以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝15.若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA｜·｜PB｜的值为( ）
A．5 B．7
C．15 D．20
解析：易知直线l的参数方程为错误!(t为参数),把曲线C的极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝15化为直角坐标方程是x2＋y2－2x＝15。

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋33t－7＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－7，
故｜PA｜·｜PB｜＝｜t1|·｜t2|＝｜t1t2|＝7.
答案:B
12．过椭圆C:错误!（θ为参数)的右焦点F作直线l交C于M，N两点,｜MF|＝m，|NF｜
＝n，则错误!＋错误!的值为( )
A.错误!
B.错误!
C.8
3
D．不能确定
解析:曲线C为椭圆x2
4
＋错误!＝1,右焦点为F(1，0),设l:错误!（t为参数），代入椭圆方程
得(3＋sin2θ）t2＋6t cos θ－9＝0，设M、N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－错误!，t1＋t2＝－错误!,
所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
答案：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知直线l：错误!(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C交于A，B两点，则｜PA｜·｜PB｜的值为________．
解析：将直线l:错误!（t为参数）代入曲线C：
ρ＝2sin θ的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(错误!＋1）t＋1＝0,设直线l 与曲线C的交点A，B的对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝1，即｜PA｜·|PB｜＝｜t1t2|＝1。

答案：1
14．已知圆的渐开线的参数方程错误!（φ为参数），当φ＝错误!时，对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：当φ＝错误!时，代入渐开线的参数方程,
得错误!
x＝错误!＋错误!，y＝错误!－错误!,所以当φ＝错误!时,对应的曲线上的点的坐标为错误!。

答案:错误!
15．若直线l的极坐标方程为ρcos错误!＝3错误!,曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
解析：直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max＝错误!＋1＝3错误!＋1.
答案:3错误!＋1
16．在直角坐标系Oxy中，椭圆C的参数方程为错误!（θ为参数，a>b>0）．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos错误!＝错误!，若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的
右焦点、短轴端点，则a＝________。

解析：椭圆C的普通方程为错误!＋错误!＝1（a>b>0），直线l的直角坐标方程为x－错误!y －3＝0,令x＝0，则y＝－1，令y＝0，则x＝3，所以c＝错误!，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a＝2。

答案：2
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!(t为参数)，曲线C的参数方程为错误!(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为错误!(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t,得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0。

同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组错误!
解得公共点的坐标为（2,2)，错误!.
18．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4错误!ρcos错误!＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2）圆上所有点(x，y)中,xy的最大值和最小值．
解:（1)原方程可化为
ρ2－4错误!ρ错误!＋6＝0,
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0。

①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ,y＝ρsin θ,
所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
即(x－2）2＋（y－2)2＝2，即为所求圆的普通方程．
设错误!
所以参数方程为错误!（θ为参数)．
(2）由(1)可知xy＝(2＋错误!cos θ）(2＋错误!sin θ)＝
4＋22(cos θ＋sin θ）＋2cos θsin θ＝
3＋22(cos θ＋sin θ）＋（cos θ＋sin θ)2.
设t＝cos θ＋sin θ，
则t＝错误!sin错误!，t∈[－错误!，错误!］．
所以xy＝3＋2错误!t＋t2＝（t＋错误!)2＋1。

当t＝－错误!时，xy有最小值1;当t＝错误!时，xy有最大值9。

19．(本小题满分12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是错误!（t为参数）．（1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2）当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求｜AB｜的值．
解：(1)由ρ＝2cos θ,
得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即（x－1)2＋y2＝1,
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1）2＋y2＝1.
由错误!得x＝错误!y＋m，
即x－错误!y－m＝0,
所以直线l的普通方程为x－3y－m＝0.
（2）设圆心到直线l的距离为d，
由（1）可知直线l：x－3y－2＝0,
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为（1，0），半径1，
则圆心到直线l的距离为d＝错误!＝错误!。

所以|AB｜＝2 错误!＝错误!.
因此|AB|的值为错误!.
20．（本小题满分12分)已知圆C1的参数方程为错误!（φ为参数),以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为ρ＝4sin错误!。

2
（1）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）圆C1，C2是否相交？若相交,请求出公共弦长;若不相交，请说明理由．
解:（1）由错误!（φ为参数)，得圆C1的普通方程为x2＋y2＝4。

由ρ＝4sin错误!,
得ρ2＝4ρ错误!，
即x2＋y2＝2y＋2错误!x，整理得圆C2的直角坐标方程为(x－错误!）2＋(y－1)2＝4。

(2）由于圆C1表示圆心为原点，半径为2的圆,圆C2表示圆心为（错误!，1)，半径为2的圆，又圆C2的圆心（错误!，1）在圆C1上可知,圆C1,C2相交，由几何性质易知，两圆的公共弦
长为2 3.
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2错误!cos错误!，直线l的参数方程为错误!（t为参数），直线l 与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（1)求圆心的极坐标；
(2）求△PAB面积的最大值．
解：（1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即（x－1)2＋(y＋1)2＝2.
所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为错误!.
（2）直线l的普通方程为22x－y－1＝0,
圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!，
所以｜AB|＝22－8
9
＝错误!，
点P到直线AB距离的最大值为错误!＋错误!＝错误!，故最大面积S max＝错误!×错误!×错误!＝错误!.
22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x＝a cos t，，y＝1＋a sin t(t为参数，a〉0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ＝4cos θ。

（1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解:(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1）2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0。

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
错误!
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2,得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0,解得a＝－1（舍去）或a＝1。

当a＝1时，极点也为C1,C2的公共点，且在C3上．所以a＝1。