广东省汕头市潮南区 九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. x−2=0
B. x2−2x−3
C. x2−4x−1=0
D. xy+1=0
2.以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.用配方法解方程x2-2x-1=0，原方程应变形为（ ）
A. (x−1)2=2
B. (x+1)2=2
C. (x−1)2=1
D. (x+1)2=1
4.已知关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m>1
B. m<1
C. m≥1
D. m≤1
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺
时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，
点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′=33°，则
∠B的大小是（ ）
A. 33∘
B. 45∘
C. 57∘
D. 78∘
6.二次函数y=-（x-2）2+5图象的顶点坐标是（ ）
A. (−2,5)
B. (2,5)
C. (−2,−5)
D. (2,−5)
7.已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2
的坐标是（ ）
A. (−3,−2)
B. (2,−3)
C. (−2,−3)
D. (−2,3)
8.已知三角形的两边长是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值
范围是（）
A. 1<L<5
B. 2<L<6
C. 5<L<9
D. 6<L<10
9.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）
A. x1=0，x2=6
B. x1=1，x2=7
C. x1=1，x2=−7
D. x1=−1，x2=7
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列
结论中不正确的是（ ）
A. c<0
B. y的最小值为负值
C. 当x>1时，y随x的增大而减小
D. x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.一元二次方程x2-1=3的根为______．
12.抛物线y=x2-2x+k与x轴没有交点，则k的取值范围是______．
13.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
14.若点P（m+1，8-2m）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是
______．
15.已知抛物线y=ax2-3x+c（a≠0）经过点（-2，4），则4a+c-1=______．
16.把边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正
方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的
周长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.解方程：（x-1）2+2x（x-1）=0．
四、解答题（本大题共8小题，共60.0分）
18.如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要
求画图：
（1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB2C2．
19.若抛物线的顶点为（1，-92），且经过点（-2，0），求该抛物线的解析式．
20.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力
度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2013年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．求每年市政府投资的增长率？
21.已知关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC 为等腰三角形时，求m的值．
22.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商
品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
23.用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．
（1）在第n个图中，白棋共有______枚，黑棋共有______枚；
（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；
（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由．
24.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB______EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
25.如图1，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线y=-x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；
（3）如图2，点P是抛物线y=-x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的13时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A、x-2=0是一元一次方程，不合题意；
B、x2-2x-3是二次三项式，不合题意；
C、x2-4x-1=0，是一元二次方程，符合题意；
D、xy+1=0是二元二次方程，不合题意，
故选：C．
根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可．
本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后与原图重合．
3.【答案】A
【解析】
解：x2-2x=1，
x2+4x+1=2，
（x-1）2=2．
故选：A．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程作边利用完全公式表示即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，
再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4.【答案】C
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，
∴△=b2-4ac=22-4×1×[-（m-2）]≥0，
解得m≥1，
故选：C．
根据关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，可知△≥0，从而可以求
得m的取值范围．
本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．5.【答案】D
【解析】
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′
∴AC=AC'，∠CAC'=90°，∠AB'C'=∠B
∴∠ACC'=45°
∵∠AB'C'=∠ACC'+∠CC'B'
∴∠AB'C'=45°+33°=78°
∴∠B=78°
故选：D．
由题意可得AC=AC'，∠CAC'=90°，∠AB'C'=∠B，可得∠ACC'=45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠AB'C'=∠B=∠ACC'+∠CC'B'=78°．
本题考查了旋转的性质．等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：y=-（x-2）2+5图象的顶点坐标是（2，5）．
故选：B．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），
∴点P的坐标是（2，-3）．
∴点P关于原点的对称点P2的坐标是（-2，3）．故选D．
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．
考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系．
8.【答案】D
【解析】
解：∵x2-5x+6=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，
∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，
∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．
故选：D．
先利用因式分解法解方程x2-5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．
本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．
9.【答案】D
【解析】
解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴-=3，解得m=-6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2-6x-7=0，即（x+1）（x-7）=0，解得x1=-1，x2=7．故选：D．
先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】
解：A、∵二次函数图象与y轴负半轴相交，
∴c＜0，故本选项结论正确；
B、∵二次函数图象顶点在x轴下方，
∴y的最小值为负值，故本选项结论正确；
C、由图可知，当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项结论错误；
D、∵二次函数与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一交点为（3，0），
∴x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根，故本选项结论正确．
故选：C．
根据二次函数与坐标轴的交点，最值问题以及增减性和对称性结合图形对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的最值问题，增减性，对
称性，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】x1=2，x2=-2
【解析】
解：移项得x2=4，
开方得x=±2，
即x1=2，x2=-2．
故答案为x1=2，x2=-2．
移项后，利用直接开开方解答即可．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c
（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12.【答案】k＞1
【解析】
解：∵抛物线y=x2-2x+k与x轴没有交点，
∴△=（-2）2-4×1×k＜0，
解得，k＞1，
故答案为：k＞1．
根据抛物线y=x2-2x+k与x轴没有交点，可以得到△＜0，从而可以得到k的取
值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确△＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
13.【答案】3
【解析】
解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
14.【答案】-1＜m＜4
【解析】
解：点P（m+1，8-2m）关于原点的对称点Q的坐标为（-m-1，-8+2m），
由题意得，，
解得，-1＜m＜4，
故答案为：-1＜m＜4．
根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第三象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．
本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）是解题的关键．
15.【答案】-3
【解析】
解：把点（-2，4）代入y=ax2-3x+c，得
4a+6+c=4，
∴4a+c=-2，
∴4a+c-1=-3，
故答案为-3．
将点（-2，4）代入y=ax2-3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c-1
的值．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将点代入解析式即可．
16.【答案】22
【解析】
解：连接B′C，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，
∴B′C=-1，
在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=-1，
在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（-1）=2-，
∴OD=1-OC=-1
∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+-1+-1=2．
故答案为：2．
当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法．连接B′C构造等腰Rt△OB′C是解题的关键．
17.【答案】解：因式分解得，（x-1）（x-1+2x）=0，
（x-1）（3x-1）=0，
于是得，x-1=0，或3x-1=0，
x1=1，x2=13．
【解析】
提取公因式（x-1），然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18.【答案】解：（1）所画图形如下所示，△A1B1C1即为所求；
（2）所画图形如下所示，△AB2C2即为所求．
【解析】
（1）根据△ABC的各顶点关于原点的中心对称，得出A2、B2、C2的坐标，连接各点，即可得△A1B1C1；
（2）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的中心对称问题和平移的性质，
考查了利用直角坐标系解决问题的能力，关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数．
19.【答案】解：∵二次函数的图象的顶点为（1，-92），∴可设函数解析式为：y=a
（x-1）2-92，
∵函数图象经过点（-2，0），
∴a（-2-1）2-92=1，
∴a=12，
∴二次函数的解析式为：y=12（x-1）2-92．
【解析】
由题意二次函数的图象的顶点为（1，-），可设二次函数为：y=a（x-1）2-，且
函数过点（-2，0）代入函数的解析式求出a值，从而求出二次函数的解析式．
本用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20.【答案】解：设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x-1.75=0，（3分）
解之，得：x=−3±9+4×1.752，
即x1=0.5，x2=-3.5（舍去）．
答：每年市政府投资的增长率为50%．
【解析】
首先设每年市政府投资的增长率为x．根据到2013年底三年共累计投资9.5
亿元人民币建设廉租房，列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是
增长率．
21.【答案】解：（1）∵△=[-（2m+1）]2-4m（m+1）=1＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；
设AB=x1=8，则有：
82-8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m2-15m+56=0，
解得：m1=7，m2=8．
则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．
【解析】
（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，设AB=x1=8，
得出82-8（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
22.【答案】解：（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）根据（1）得：
y=-10x2+110x+2100，
y=-10（x-5.5）2+2402.5，
∵a=-10＜0，
∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
【解析】
（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．
（2）根据（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y=-10（x-5.5）2+2402.5，当
x=5.5时y有最大值，从而得出答案．
本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根
据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23.【答案】12n（n+1） 3n+6
【解析】
解：（1）由题意得：白棋为：n（n+1），黑棋为3n+6；
故答案为：n（n+1），3n+6；
（2）n（n+1）=600，解得：n=24（已舍去负值）
故：第24个图形中，白棋共有300枚；
（3）n（n+1）=600，
解得：n=为无理数，所以，白棋的个数不能与黑棋的个数相等．
依据题意求出白棋和黑棋的表达式即可求解．
本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．部分考生总结规律为第n个图中琪的数目的表达式．
24.【答案】=
【解析】
解：（1）∵DE∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为：=，
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
得
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）如图，
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，
在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．
25.【答案】解：（1）将点A和点B的坐标代入y=-x2+bx+c得：−4+2b+c=0c=2，解得：b=1，c=2．
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2．
令y=0，则0=-x2+x+2，解得：x=2或x=-1．
∴点C的坐标为（-1，0）．
（2）设点P的坐标为（t，-t2+t+2），则PE=t，PD=-t2+t+2，
∴四边形ODPE的周长=2（-t2+t+2+t）=-2（t-1）2+6，
∴当P点坐标为（1，2）时，
∴四边形ODPE周长最大值为6．
（3）∵A（2，0），B（0，2），
∴AB的解析式为y=-x+2．
∵P点的横坐标为t，
∴P点纵坐标为-t2+t+2．
又∵PN⊥x轴，
∴M点的坐标为（t，-t+2），
∴PM=-t2+t+2-（-t+2）=-t2+2t．
∴S△ABP=S△PMB+S△PMA=12PM•ON+12PM•AN=12PM•OA=-t2+2t．
又∵S△ABC=12AC•OB=12×3×2=3，
∴-t2+2t=3×13，解得：t1=t2=1．
∴当t=1时，△ABP的面积等于△ABC的面积的13．
【解析】
（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程可求得点C的坐标；
（2）设点P的坐标为（t，-t2+t+2），用含t的式子表示出PE、PD的长度，然后可
得到四边形ODPE的周长与t的函数关系式，最后利用配方法可求得点P的横坐标，以及四边形ODPE周长的最大值；
（3）先求得直线AB的解析式，设P点的坐标为（t，-t2+t+2），则点M的坐标为（t，-t+2），由S△ABP=S△PMB+S△PMA可得到△ABP的面积与t的函数关系式，然后，再根据，△ABP的面积等于△ABC的面积的列方程求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了代入系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值、三角形的面积公式、解一元二次方程，得到PM的长度与点M的横坐标之间的关系是解题的关键．。