2017年高考天津文科数学试题及答案(解析版),推荐文档

循 环： N N 2 ，满足 N 3 ；此时跳出循环体，输出 N 3 ，故选 C． 3
x2 y2 1(a 0,b 0)
（） 【2017 年天津，文 5，5 分】已知双曲线a2 b2
的左焦点为 F ，点 A 在
双曲线的渐近线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为（ ）
年天津，文
9，5
分】已知
a
R
，
i
a 为虚数单位，若
2
i i
为实数，则
a
的值为
．
【答案】 2
【解析】解法一：
ai 2i
(a i)(2 i) (2 i)(2 i)
2a 1 (a 2)i 为实数，所以
5
a
20，
a
2
．
解法二：
a 2
i i
为实数
a i与2i
成比例，比例为 1 ，所以 a 2 ．
（1） 用 x, y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2） 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
7x 6 y 60
解：（1）分别用
x,
y
表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数
x x
y 2
y
6
．
x, y N
（2）设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z 60x 25 y ．考虑 z 60x 25 y，将它变形为
8
8
若函数图象如图表 1 所示， 3T 11 5 ，解得T ，不满足最小正周期大于 2，
488
所以函数图象如图表 2 所示， T 11 5 ，解得T 3， 2 ，又因为 f (5) 2 ，
所以 2 5
48 8 ，所以 ，故选 A．
3
8
38
2
12
x 2, x 1（）Fra bibliotek【2017 年天津，文 8，5 分】已知函 数
x
点 斜式： y a (a 1)(x 1) ， l 在 y 轴上的截距为： x 0, y 1 ，所以答案为 1．
（） 【2017 年天津，文 11，5 分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为
18，则这个球的体积为 ． 9
【答案】 2
【解析】球的表面积公式 S 6a2 18 ，所以棱长 a 3 ，计算得： 2R 3a 3 ， R 3 ， V 4R3 9 ．
FAC 120 ， 所以AFH 60 ，在直角三角形 OAF 中， OF 1，所以 OA 3 ，所以圆的圆心
(1, 3) ，
半径等于 1，所以圆 C : (x 1)2 ( y 3)2 1 ．
（13）【2017 年天津，文
13，5 分】若
a,b R
， ab 0 ，则
a4 4b4
1 的最小值为
f
(x)
x
2,x 1
，设
a R ，若关于
x 的不
x
等式 f (x) x a 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） 2
（A） [2, 2]
（B） [2 3, 2]
（C） [2, 2 3] （D） [2 3, 2 3]
【答案】A 【解析】函数 f (x) 的图象如下图（左），若关于 x 的不等式 f (x) x a 在 R 上恒
5 ．
AP 5
（2） 因为 AD 平面 PDC ，所以 AD PD ，又因为 AD ∥ BC ，所以 PD BC ，
PD PB ，
P C
且 PB BC B ，所以 PD 平面 PBC ．
33
3
3
33
11
三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（） 【2017 年天津，文 15，13 分】在ABC 中，内 A, B, C所对的边分别为 a, b, c ．已知 a sin A 4sin B ，
ac 角5(a2 b2 c2 ) ．
（1） 求 cos A 的值； （2） 求 sin(2B A) 的值．
．
ab
【答案】4
【解析】 a4 4b4 1 4a2b2 1 4ab 4 （ ab 0 ），当且仅当“ a4 4b4 ”、“ 4a2b2 1 ”同时成立时，等号成立，
ab
ab
ab
1
3
解之得： a 2 4 , b
（14）【2017 年天津，文 14，5
24 ． 分 】 在 ABC
y 12 x z ，这是斜率为 12 ，随 z 变化的一族平行直线． z 为直线在 y 轴上的截距，
5 25
5
25
当 z 取得最大值时， z 的值最大．又因为 x, y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 25
z 60x 25 y经 过可行域上的点
M 时，截距 z 最大，即
7x 6 y 60
2
（） 【2017 年天津，文 10，5 分】已知 a R ，设函数 f (x) ax ln x 的图象在点(1, f (1)) 处的切线为 l ，则
l 在 y 轴上的截距为
．
【答案】1 【解析】函数 f (x) 的导函数 f '(x) a 1 ，所以 f (1) a, f '(1) a 1 ，切点(1, a) ，斜率为 a 1 ，所以代入切线
中，
A
60
，
AB
3，
AC
2
， 若 BD
2DC ，
AE AC AB
(R) ，且 ADAE 4 ，则 的值为
．
【答案】 3
11
【解析】 AB AC 3 2cos 60
0
3, AD
1
AB
2
AC ，则
33
ADAE (1 AB 2 AC)(AC AB) 3 2 4 1 9 2 3 4 3 ．
支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
4 （A）
5
3 （B）
5
2 （C） 5
1 （D）
5
【答案】C
【解析】“从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：5 C 2 ，而事件“取出的 2 支彩笔中含有红色
彩笔”包含基本事件个数：
C14
；
P
4 10
2 ，故选 5
C．
（） 【2017 年天津，文 4，5 分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的 N 的
值为 19，则输出的 N 的值为（ ）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】C
【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为 N 19 ，第一次循环：
N N 1 18 ，不满足 N 3 ；第二次循环： N N 6 ，不满足 N 3 ；第三次 3
（7）【2017 年天津，文 7，5 分】设函数 f (x) 2sin(x),xR ，其中 0, ，若
f
5 ()
2,
f
11 ()
0
，且
f
(x)
的最小正周期大于
2，则（
）
8
8
（A） 2 , （B）2,11 （C） 1 , 11 （D） 1 , 7
3 12
3
12
3
24
3 24
【答案】A
【解析】函数 f (x) 2sin(x),xR ， f (5) 2, f (11) 0 ，振幅为 2，所以如图所示：
2
成
立，则不妨设 g(x) x a ，“ f (x) x a 在 R 上恒成立”表示 y f (x) 图
2
2
象与 y g(x) 图象应如下图（右）所示找到两个临界位置:
① f (x) 与
g(x) 相
切时， x 1 ， f '(x) 1 2 1 ，解得 x 2 ， y 3 ，代入 g(2) 3 ，解得
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2017 年天津，文 1，5 分】设集合 A 1,2,6， B 2, 4， C 1,2,3,4，则 (A B) C （ ）
（A） 2
（B） 1,2, 4
（C） 1,2,3,4
（D） 1,2,3,4,6
【答案】B
【解析】 A B 1,2, 4,6，(A B) C {1,2, 4,6} {1,2,3,4} {1,2, 4} ，故选 B．
（2）【2017 年天津，文 2，5 分】设 x R ，则“ 2 x 0 ”是“ x 1 1 ”的（ ）
c 2
b
，解之得： a 1, b 3, c 2 ，故选 D．
a
3
（）
【2017
年天津，文
6，5
分】已知奇函数
f
(x)
在
R
上是增函数，若
a
f
(log
1 )
，b
f
(log
4.1)
，
25
2
c f (20.8 ) ， 则 a,b, c 的大小关系为（ ）
1
（A） a b c
（B） b a c
5
5
5
5
cos 2B 2cos2 B 1 3 ， sin(2B A) sin 2B cos A cos 2B sin A 4 ( 5 ) 3 2 5 10 5 2 5
5
5 5 55
25
5
．
（） 【2017 年天津，文 16，13 分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已 知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，
且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用 x, y 表示每周计划播出的甲、乙两套电
视
剧的次数．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 2 x 0 解得： x 2 ； x 1 1解得： 0 x 2 ， x 2 0 x 2 ，故选 B．
（） 【2017 年天津，文 3，5 分】有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这 5
z 最大．解方程组
，得点
M 的坐标为6, 3．
25
x 2 y 0
所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多．
（） 【2017 年天津，文 17，13 分】如图，在四棱 P ABCD 中， AD 平面 PDC ，
锥
CD 4 ， PD 2 ．
AD ∥ BC ， PD PB ， AD 1， BC 3 ，
x2 2
0
0
2 a 3 ， a 2, a 4 （舍）；② g(x) 过 点 (0, 2) ，代入 g(0) 2 ， a 2 ，解得 a 2, a 2 （舍）， 2
故a 的取值范围在2 与 2 之间，故选 A．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
（）
【2017
（C） c b a
（D） c a b
【答案】C
【解析】因为
f (x)
在 R 上是奇函数，所以有
f (x)
f (x)
，即
a
f
1 (log )
25
f (log2 5) ；又因为 f (x)
在
R上
是增函数，且
20.8
21
log
4
2
log
4.1
2
log
5 2
，所以 c b a ，故选 C．
解：（1）
a sin
A
4b sin
B
可化为
2
a
2
4b
，解得：
a
2b
，余弦定理：
cos
A
b2
c2
a2
ac
5 ．
2bc
2 5bc
5
3
（2）根据 cos A 5 ，解得 sin A 2 5 ，所以 sin B 5 ， cos B 2 5 ， sin 2B 2sin B cos B 4 ，
5
2
3
2
（） 【2017 年天津，文 12】设抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，已知点 C l 上，以 C 为圆
在心
的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ，若 FAC 120 ，则圆的方程为
．
【答案】 (x 1)2 ( y 3)2 1
【解析】抛物线 y2 4x 的焦点为 F (1, 0) ，准线为 l : x 1 ，所以可设 C(1,b) ， OA b ，
（1） 求异面直线 AP 与 BC 所成的角的余弦值；
（2） 求证： PD 平面 PBC ；
（3） 求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
解：（1）因为 AD ∥BC ，所以PAD 等于异面直线 AP 与 BC 所成的角， AD 平面
PDC ，
所以 PDA 90 ， PA
5 ， cosPAD AD
（A） x2 y2 1 4 12
【答案】D
（B） x2 y2 1 12 4
（C） x2 y2 1 3
（D） x 2 y2 1 3
【解析】因为OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点）所以 OF 2 ， AOF 60 ，所
以
直线 OA 方程为 y 3x ，所以渐近线方程 y b x 其中一条为 y 3x ，所以， a