2020届华大新高考联盟押题模拟考试(二十)理科数学

2020届华大新高考联盟押题模拟考试（二十）
理科数学
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，则A B =I （ ）
A. ()2-∞，
B. ()1-∞，
C. (21)-，
D. (1
2)-， 【答案】D
【解析】
【分析】 先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交,
【详解】本题主要考查集合运算和一元二次不等式的解法．
因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，
2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，
所以{|12}B x x A -<<⋂=．
故选：D
【点睛】本题考查解二次不等式，考查集合的交集。

属于基础题.
2.复平面内表示复数1212i
z i -+＝的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为2
12i (12i)3
4
i 12i (12i)(12i)55z --
===--++-， 所以复数1212i
z i -=+所对应的复平面内的点为3
4,55Z ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，位于第三象限．
故选：C .
【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．
3.设两个单位向量a b r r ，的夹角为23π，则34a b +=r r
（ ）
A. 1 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】 由222349+24+16a b a a b b +=⋅r r r r r r ，然后用数量积的定义，将a b r r ，的模长和夹角代入即可求解. 【详解】2222349+24+16=9+24cos 16133
a b a a b b π+=⋅+=r r r r r r ，
即34a b +=r r 故选：B
【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.
4.设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若//a α，//b α，则//a b ；
②若//a α，//a β，则//αβ；
③若a α⊥，b α⊥，则//a b ；
④若a α⊥，a β⊥，则//αβ．
其中正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可．
【详解】对于①，若a ∥α，b ∥α，则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误；
对于②，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故②错误；
对于③，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故③正确；
对于④，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立；
故选：B ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）
A. 这14天中有7天空气质量优良
B. 这14天中空气质量指数的中位数是103
C. 从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D. 连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
【解析】
【分析】
根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A 正确； 这14天中空气质量指数的中位数是86121103.52
+=，故选项B 不正确； 从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项C 正确；
连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，故选项D 正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题.
6.已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）
A. 甲不是海南人
B. 湖南人比甲年龄小
C. 湖南人比河南人年龄大
D. 海南人年龄最小
【答案】D
【解析】
【分析】
通过分析，排除即可．
【详解】由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；
由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人；
故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄；
所以ABC 错，D 对．
故选：D ．
【点睛】本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．
7.已知数列{}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，若201a =，则2020a =（ ）
A. 101
B. 1
C. 20
D. 2020 【答案】A
【解析】
由m n m n a a a +=+，得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而得到答案.
【详解】由m n m n a a a +=+，令1m = 得11n n a a a +-=，
所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，
从而1n a na =．因为201a =，所以1120a =
，2020101a =． 故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题. 8.函数()3
sin 3
x f x x =+的图像大致是（ ） A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出()3sin 3x f x x 骣琪-=-+琪桫
，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解．
【详解】因()3sin 3x f x x =+，()33sin sin 33x x f x x x 骣-琪-=-=-+琪桫
， 所以函数()f x 是奇函数，排除B ，
因为函数的解析式为()3
sin 3
x f x x =+， 所以()
2cos f x x x ¢=+， ∴()2sin f x x x ¢¢轾=-臌
∴()2cos 0f x x ¢轾¢¢轾=->犏臌臌
, ∴()2sin f x x x ¢¢轾=-臌
在[)0,+∞递增 又()
0sin00f ¢¢轾=-=臌， 所以()
2sin 0f x x x ¢¢轾=-?臌在[)0,+∞恒成立 所以()2cos f x x x ¢=+在[)0,+∞递增，又()
200cos010f ¢=+=> 所以()0f x '>在[)0,+∞恒成立
所以()f x 在[)0,+∞为增函数，排除A 、C ，
综上所述，故选D ．
【点睛】本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题．
9.已知1F ，2F 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，P 是C 上一点，满足212PF F F ⊥，Q 是线段1PF 上一点，且1
2FQ QP =u u u r u u u r ，120F P F Q ⋅=u u u r u u u u r ，则C 的离心率为（ ）
1 C. 2- D. 6【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件在12PF F ∆，可得1F P =，则2F P =，由椭圆的定义有122F P F P a +=+=，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率.
【详解】因为在12PF F ∆中，212PF F F ⊥，12PF QF ⊥， 所以2211124FQ F P F F c ==，又1123
FQ F P =，
所以221243
F P c =，从而1F P =，进而2F P =．
所以122F P F P a +==，
椭圆C 的离心率为c e a ==． 故选：A
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率，属于中档题.
10.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是偶函数，则（ ）
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 是奇函数
C. (3)f x +是偶函数
D. ()(2)f x f x =+
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由偶函数及图象平移的性质求得f （x ）的周期，然后利用所求结论直接判断即可．
【详解】f （x +1）与f （x ﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f （x ）的图象关于x ＝1，x ＝﹣1对称，
可得f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣4+x ），即有f （x +4）＝f （x ），
∴函数的周期T ＝4，
∴f （﹣x +3）＝f （﹣x ﹣1）＝f （x +3），则f （x +3）为偶函数，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题． 11.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）
A. 2640种
B. 4800种
C. 1560种
D. 7200种 【答案】C
【解析】
【分析】
分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部, 第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部.
【详解】将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部.
分两类考虑：
第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部，
此类分配方案种数为3464480C A =；
第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部， 此类分配方案种数为22114642142222
1080C C C C A A A =． 故不同的分配方案共有1560种．
故选：C
【点睛】本题主要考查排列组合,考查分组分配问题，考查部分平均分组问题，属于中档题.
12.已知函数()sin sin2f x x x =⋅，下列结论中错误的是（ ）
A. ()y f x =的图像关于点(,0)2π
对称 B. ()y f x =的图像关于直线x π=对称
C. ()f x
D. ()f x 是周期函数
【答案】C
【解析】
【分析】 根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可．
【详解】对于A ，因为f （π﹣x ）+f （x ）＝sin （π﹣x ）sin （2π﹣2x ）+sinxsin 2x ＝0，所以A 正确； 对于B ，f （2π﹣x ）＝sin （2π﹣x ）sin （4π﹣2x ）＝sinxsin 2x ＝f （x ），所以()y f x =的图像关于直线x π=对称，所以B 正确；
对于C ，f （x ）＝sinx •sin 2x ＝2sin 2xcosx ＝2（1﹣cos 2x ）cosx ＝2cosx ﹣2cos 3x ，令t ＝cosx ，则t ∈[﹣1，1]，f
（x ）＝g （t ）＝2t ﹣2t 3，令g ′（t ）＝2﹣6t 2＝0，得，t 3
=±，
g ⎛= ⎝⎭，g =⎝⎭
(1)0g -=，(1)0g =，所以()g t ，从而()f x 的
，故C 错误； 对于D ，因为(2)sin(2)sin(24)sin sin2()f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=，即f （2π+x ）＝f （x ），故2π为函数f （x ）的一个周期，故D 正确；
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．
【答案】
【解析】
Q 棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，
则球
的
直径等于正方体的对角线长，即2R =R =
则该球的体积343V R π== 14.已知1F ，2F 分别为双曲线:C 22
221x y a b
－＝()00a b >>，的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，若线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，则C 的两条渐近线方程为__________．
【答案】y ＝±
2x 【解析】
【分析】
求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF 1⊥PF 2，由三角形的中位线定理可得PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，运用点到直线的距离公式可得F 1（﹣c ，0）到OQ 的距离，结合双曲线的定义可得b ＝2a ，进而双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线()22
22100x y C a b a b
-=：＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ， 点P 是以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限内的交点，可得PF 1⊥PF 2，
线段PF 1的中点Q 在C 的渐近线，可得OQ ∥PF 2，
且PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，
可得F 1（﹣c ，0）到OQ
=b ，
即有|PF 1|＝2b ，|PF 2|＝2|OQ |＝2a ， 由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，
即b ＝2a ，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±
2x ． 故答案为：y ＝±
2x ． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题．
15.若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________． 【答案】
11ln 222- 【解析】
【分析】
分别设出直线y kx b =+与曲线2x y e
-=和曲线1x y e =-的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.
【详解】设直线y kx b =+与曲线2x y e
-=切于点1211(,)x P x e -， 与曲线e 1x y =-切于点222(,1)x P x e -， 则有2112
2
221(e 1)x x x x e k e e x x ----===-， 从而122x x -=，12k =，212
x e =，2ln 2x =-． 所以切线方程21111(ln 2)1ln 22222
x y x e x =++-=+-， 所以11ln 222
b =-． 故答案为：11ln 222-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题．
16.设等比数列{}n a 满足32a =，10256a =，则数列2{4}n n a 的前n 项和为__________．
【答案】21(23)2
6n n n +-+-
【解析】
【分析】 先求出等比数列{}n a 的通项公式为121222
n n n a --=⋅=，然后分析求和. 【详解】依题意，有23191012256a a q a a q ⎧==⎨==⎩，，解得11,22.
a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=． 设数列2{4}n n a 的前n 项和为n T
则2122212222n n T n =⋅+⋅++L ，(1)
222321212222n n T n +=⋅+⋅++L ．(2)
用(1)-(2)，得12211232(21)22n n n T n n --=⋅+⋅++--L ，(3)
2312221232(21)22n n n T n n ++-=⋅+⋅++--L ．(4)
用(3)-(4)，得122121*********(221)2(23)26n n n n n T n n n n n +++=⋅+⋅++⋅-+-+=-+-L ．
故答案为：21(23)26n n n +-+-
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法．考查错位相减法求数列的和.属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答
(一)必考题：共60分
17.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 4a B =，sin 3b A =．
(1)求a ；
(2)若ABC ∆的面积为9，求ABC ∆的周长．
【答案】（1）5；（2
）11+【解析】
【分析】
(1)由cos 4a B =，sin 3b A =，两式相除，再用正弦定理得答案.
(2)由（1）可求出3sin 5B =，进一步可求出边c ，然后用余弦定理可计算出边b ，得出答案. 【详解】(1)
ABC ∆中，cos 4a B =，sin 3b A =． 由正弦定理得sin sin sin 3tan cos sin cos 4
b A B A B a B A B ===． 又cos 4a B =，所以cos 0B >，所以cos 45
B =． 所以5a =．
(2)由(1)知，cos 45B =
，所以3sin 5
B =． 因为AB
C ∆的面积1sin 92ABC S ac B ∆==，所以6c =． 由余弦定理得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =．
所以ABC ∆的周长为1113a b c ++=+．
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题．
18.《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==，60ABC ∠=︒．
(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵；
(2)求二面角1A A C B --的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（215. 【解析】
【分析】 (1)根据条件由正弦定理可求30ACB ︒∠=，从而可证明90BAC ︒∠=，可得证.（2）建立空间坐标系，用
向量法求解二面角的余弦值即可.
【详解】(1)在ABC ∆中，1AB =，3AC =，60ABC ︒∠=， 由正弦定理得
sin sin AC AB ABC ACB =∠∠ ,即312sin 2
3ACB ∠== , 因在ABC V 中，AB AC <则ABC ACB ∠>∠,
30ACB ︒∠=，所以90BAC ︒∠=，
即BA AC ⊥．又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.
所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵．
(2)以点A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,3,0)C ，1(0,0,3)A ．
于是(1,0,0)AB =u u u r ，1
(0,3,3)AC =-u u u r ，(1,3,0)BC =-u u u r ． 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =r
， 则由10,0,n AC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 得330,30.
y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以可取(3,1,1)n =r
．
又可取(1,0,0)m AB ==u r u u u r
为平面1AA C 的一个法向量，
所以cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉==r r r r r r ．
所以二面角1A A C B --的余弦值为5
． 【点睛】本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化．本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.
19.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1
0)F ，的距离减去它到y 轴距离的差都是1． (1)求曲线C 的方程；
(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程．
【答案】（1）24(0)y x x =>；（2）1y x =-+或1y x =-.
【解析】
【分析】
(1)1(0)x x -=>化简得答案.
(2)有抛物线过交点的弦长公式有12||+2=8x x AB =+，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12x x +代入12||+2=8x x AB =+，可计算出k ，得到直线方程.
【详解】(1)设点(,)P x y 是曲线C 上任意一点，
那么点(,)P x y 1(0)x x =>．
化简得曲线C 的方程为2
4(0)y x x =>．
(2)由题意得，直线l 的方程为(1)y k x =-，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 由2(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 因为216160k ∆=+>，故212224k x x k
++=，
所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k
x +=+=+++=． 由题设知22448k k
+=，解得1k =-或1k =． 因此直线l 的方程为1y x =-+或1y x =-．
【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
20.已知函数sin2()(n )l 1f x x x =-+，sin )2(g x x x =-．
(1)求证：()g x 在区间(0,]4π
上无零点；
(2)求证：()f x 有且仅有2个零点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出()2cos21g x x '=-，再求出函数()g x 的单调区间，从而分析其图像与x 轴无交点即可.
(2)显然0x =是函数()f x 的零点,再分析()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上和在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点,在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有一个零点，从而得证.
【详解】(1)sin )2(g x x x =-，()2cos21g x x '=-． 当0,6x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 而(0)0g =，04g π⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 所以当0,4x π⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
时，()0>g x ， 所以()g x 在区间0,4π⎛
⎤ ⎥⎝⎦
上无零点． (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞．
①当(1,0)x ∈-时，sin 20x <，ln(1)0x +<，
所以()sin 2ln(1)0f x x x =++<，从而()f x 在(1,0)-上无零点．
②当0x =时，()0f x =，从而0x =是()f x 的一个零点． ③当0,4x π⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()0>g x ，所以sin2x x >，又ln(1)x x +…
， 所以()sin 2ln(1)0f x x x =-+>，从而()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦
上无零点． ④当3,44x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，()sin 2ln(1)f x x x =-+，1()2cos201f x x x '=-<+， 所以()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减． 而04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，304f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而()f x 在3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
上有唯一零点． ⑤当3,4x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，ln(1)1x +>，所以()0f x <，从而()f x 在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上无零点． 综上，()f x 有且仅有2个零点．
【点睛】本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题．
21.一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．
(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；
(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，
，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．
【答案】（1）01P =，112P =，234P =，211122
n n n P P P --=+；（2）证明见解析；（3）10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】
【分析】
(1) 在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求
出2P .棋子跳到第(299)n n 剟站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子
先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.
(2) 由(1)知，211122
n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证. (3) 该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解.
【详解】(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为
12，所以112
P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12
；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=． 棋子跳到第(299)n n 剟
站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112
n P -． 故211122
n n n P P P --=+． (2)由(1)知，211122
n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--． 又因为1012
P P -=-， 所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=L 是首项为12-，公比为12
-的等比数列． (3)由(2)知，11111222n n
n n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+L
9998
1111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭
10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭
． 所以玩该游戏获胜的概率为
10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式．考查累加法求和，属于难题.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2
2
1121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．
(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；
(2)求C 上的点到l 距离的最大值．
【答案】（1）C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．l
的直角坐标方程为40x ++=（2）3
【解析】
【分析】
（1）把曲线C 的参数方程平方相加可得普通方程，把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入
ρcosθ+4＝0，可得直线l 的直角坐标方程；
（2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．
【详解】（1）由2
221121t x t t
y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数），因为221111t t --<+…，且22222222()14111t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， 所以C 的普通方程为22
1(1)x y x +=≠-．
由
ρcosθ+4＝0，得
x +4＝0．
即直线l 的直角坐标方程为得
x +4＝0；
（2）由(1)可设C 的参数方程为cos ,sin x y αα
=⎧⎨=⎩(α为参数，παπ-<<)． 则P 到直线得
x +4＝0的距离为：
C 上的点到l
的距离为2cos 4|cos 4|322
πααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=． 当3π
α=时，2cos 43πα⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
取得最大值6，故C 上的点到l 距离的最大值为3． 【点睛】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．
选修4-5：不等式选讲
23.已知a ，b 为正数，且满足1a b +=．
(1)求证：11(1)(1)9a b
+
+…； (2)求证：1125()()4a b a b ++…． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）把a +b ＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab 的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．
【详解】已知a ，b 为正数，且满足a +b ＝1，
（1）（11a +
）（11b +）＝111a b a b ab ++++=122a b ++， （22a b
+）（a +b ）≥
2＝8， 故11119a b ⎛
⎫⎛⎫+
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）∵a +b ＝1，a ＞0，b ＞0，
∴根据基本不等式1＝a +b
0＜ab 14
≤，
（a
1
a
+）（b
1
b
+）
222222
111
a b a b a b
a b ab
+++++
=⋅=≥ab
1
2
ab
++，
令t＝ab∈（0，1
4
]，y＝t
1
t
+递减，
所以
117
4
44
min
y=+=，
故（a
1
a
+）（b
1
b
+）≥2
1725
44
+=．
【点睛】考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．
21。