2019年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)

2019年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）
、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
C . 6
（5分）把函数 尸乩口、的图象上各点的横坐标缩短为原来的
的值为（
C . 4
股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形 图，设AB : BC = 1: 3，若向弦图内随机抛掷 5000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正 方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
1. （5分）设 ,则z 的虚部是（
2. 3.
（5分）已知集合 A .(- 1 , 1)U C . (- 1 , 1)U
（5分）已知向量 51
M =
.- |
'l+x
(1,
2]
C •- 2i
■■ VI
=( )
B .(- 1, D . (- 1 , 2)
2]
(2, 1), b =( 1, k ),占丄(23-b ),则 k =(
)
再将图象向右平移
(x ) 5.
(x ) (x ) (x ) 7T
T
IT 在^
上单调递增
6 6
的图象关于〕 ----- 对称 个单位长度得到函数 g （x ）,则下列说法正确的是（ 的最小正周期为 4 n 的图象关于y 轴对称
（5分）已知x , y 满足约束条件，若
r
7-2< 0 ； x-y41^0 f 若-2y s+y-in^O ,
的最大值为 4,则实数m
--（纵坐标不变），
（5分）赵爽是三国时代的数学家、
天文学家，他为《周髀算经》一书作序时,
介绍了 “勾 （阴影）.如
① 命题 p: . - ■-., -■:■. >- ■-1-■ I
Csins+2）dz 的值为 0；
③若f （x ）= x 2- ax+1为偶函数，则曲线 y = f （x ）在点（1, =2x .
④已知随机变量E 〜N （1, 1）,若P （- 1 v 则P （ 3）= 0.9772.其中真命题的个数是（
C .
（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值为（
*
5=0, UI
=(
D
7. A . 134 B . 67 C . 200 D . 250
（5分）给出下列四个命题: f （1））处的切线方程是 y
=0.9544,
9
. C .
■V s （5分）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b ,
c
,
c = 2 ', bsinA =
10. （5分）某几何体的三视图如图所示（俯视图中的虚线为半圆），则该几何体的体积为
（5分）函数（X ）=—=寸- 1 T-r ： |
_
上不单调的一个充分不必要条件是
（
）
A •託
B .
2 2
12. （ 5分）F 1, F 2是双曲线C:
1 01 b 〉。

）的左、右焦点，直线I 为双曲线
长b 为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为（
C . 2
的直线与椭圆交于 A , B 两点，P 是AB 的中点，0为坐标原点，若直线 0P 的
斜率为丁，则a 的值是
AB = 10, AC = 6, O ABC 所在平面上一点，且满足
"—厂. i.，一厂「二则血如的值为
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生要根据要求作答.
（一）必考
c .
8-JU 8-2K
兀
| 3 , 11.
C 的一条渐近线，F 1关于直线I 的对称点为
，且点F!
在以F 2为圆心、以半虚轴
二、填空题: 本大题共 4小题，每小题5分，共20分.
13.
（5分）
已知 sin a +COS a=
14
.
（5分）
（2x+y ） （x -2y ） 5展开式中x 3y 3的系数为 ____
15. （5分） 已知椭圆
2 2
的左、右焦点分别为
F 1, F 2,过左焦点F 1作斜
B.
!
率为-2 16. （5分）在厶ABC 中，A
题：共60分.
17. （12分）设S n为数列｛a n｝的前n项和，已知a1 = 3,对任意n€N，都有2S n- a n= na n.
（1）求数列｛a n｝的通项公式;
（2 ）令b ------- ，求数列｛b n｝的前n项和T n.
*皤2
18. （12分）如图，平面ABCD丄平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE = 1 ,
F为CE上的点，且BF丄平面ACE.
（1）求证：AE丄平面BCE ;
（2）线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为二?
若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
19. （12分）已知抛物线C: y2= 2px （p>0）的焦点为F, P为抛物线上一点,
O为坐标原点，△ OFP的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3 n.
（1 ）求抛物线C的方程；
（2）设直线I交C于A, B两点，M是AB的中点，若|AB|= 12,求点M到y轴的距离的最小值，并求此时I的方程.
20. （12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已
连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名.某快递公司收取费
的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过 1 kg （不足1kg，按1kg计算）需再收4元.
该公司将最近承揽（接收并发送）的100件包裹的质量及件数统计如下（表1）:
表1:
包裹重量（单位：kg）（0, 1] （1 , 2] （2, 3] （3, 4] （4, 5]
包裹件数43 30 15 8 4 公司对近50天每天承揽包裹的件数（在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据）
件数范围及天数，列表如表（表2）:
表2 :
件数范围0〜99100〜199200〜299300〜399400〜
500天数5102555
每天承揽包裹50150250350450
的件数
(1)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100〜299之间的概率；
(2［①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：
②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，
其余用作其他费用•目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元•公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人？
2 —x
21 • (12 分)已知函数f (x) = ( ax —2x+a) e (a 駅)•
(1 )当a> 0时，求f (x)的单调区间；
(2)若存在a€ (-8, 0］,使得f (x)> bln (x+1 )在x q o, +^)上恒成立，求实数b的取值范围.
选考题：共10分•请考生在第22 , 23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-4 :坐标系与参数方程选讲］
I广r=j O CL
22. ( 10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为°(a为参数)，以坐
［y=14sina
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系( p> 0, 0< 0< 2 n),点A为曲线C1 上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|?|OB|= 6，点B的轨迹为C2.
(1 )求C1, C2的极坐标方程；
(2)设点C的极坐标为(2, 0),求厶ABC面积的最小值.
［选修4-5:不等式选讲］
23. 已知函数f (x)= |x—5|+|x- 1|.
(1 )求f (x)的最小值m;
(2 )若正实数a, b满足J .i；" m.
2019年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
则z 的虚部是-2.
故选：D .
•••— 1v x < 2 ,••• M = {x|- 1v x < 2}, ■/ ?R N = { X |X M 1 且 X M 3 且 X M 5}, M n( ?R N )= {x|- 1 v x w 2 且 x M 1} •
故选：C •
C . 6
1. （5分）设 S_1
,则z 的虚部是（
51
C •- 2i
【考点】
A5 :复数的运算.
【分
析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】 解: 2.
（5分）已知集合M = 尹》时二{1, 3, 5},
14-1
■'.VI
=( )
A •(- 1 , 1)U( 1, 2)
B •(- 1, 2)
C •(- 1 , 1)U( 1 , 2]
D •(- 1 , 2]
【考点】 1H :交、并、补集的混合运算.
【分析】 解分式不等式化简集合 M ，再由交集的运算求出
M n(?RN )•
【解答】
解：•••
,「•( x -2) (x+1) < 0,且 x+1 丰 0,
3. (5 分)已知向量 a =( 2, 1), b=( 1, k ), 已丄（2目-b ）,贝y k =（
-■ " -I : 1",进行数【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】可求出2a-b=（S, 2-k），根据a_l_（2a-b）即可得出
量积的坐标运算即可求出k的值.
【解答】解：扃壬⑶2-k)； ••• r.丨：p 「；
故选：D .
4. ( 5分)把函数 尸或口(x4芈)的图象上各点的横坐标缩短为原来的
【考点】HJ :函数y = Asin ( w x+ $)的图象变换. 【分析】根据三角函数的图象变换，求出 g (x )的解析式，结合三角函数的单调性，对
称性以及周期性分另U 进行判断即可.
TT
y=sin (3H-^)的图象上各点的横坐标缩短为原来的
3
I'Tr
—个单位长度得到函数
g (x ),即 g (x )= sin[2 (x —芈)
丄兀
4 4
U (纵坐标不变)，
再将图象向右平移
(x ) (x ) 三个单位长度得到函数 g (x ),则下列说法正确的是(
4
在
上单调递增
6 6
的图象关于〕—- 对称 (x ) 的最小正周期为 4 n (x ) 的图象关于y 轴对称
寺(纵坐标不变)，
【解答】解：函数
得至U y = sin (
不对称，故B 错误,
D . g (x )不是偶函数，关于 y 轴不对称，故 D 错误,
故选：A .
r 7-2<0t
5. （ 5分）已知x , y 满足约束条件，若 r-y+lR 若：z=3x-Zy 的最大值为4,则实数m 計厂叩》01
的值为（
） A . 2 B . 3 C . 4 D . 8
【考点】7C :简单线性规划.
【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据 z = 3x - 2y 的最大值为4,
得出直线x+y - m = 0，过直线 3x -2y = 4和直线x - 2= 0的交点 A ，从而求得 m 的值.
p-2< 0
【解答】解：画出不等式组0表示的平面区域，
,x+y-m^O
如图所示，
根据z = 3x - 2y 的最大值为4，
得出直线 x+y - m = 0，过直线 3x - 2y = 4和直线x - 2= 0
的交点A （2，1 ），
计算 m = 2+1 = 3.
]=sin
兀 ),
再将图象向右平移 ■J T + J L 2 5
A .当 x €
时，2x — B .(— )=si n( 2 7 & 7V ~2 )，此时g (x )为增函数，故 A 正确, )=—1工0，即g(x)的图象关于:——. &
C . g (x )的最小正周期为
=n 故C 错误，
)=sin (2x — (2x =sin( x 2
—
6. （5分）赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾
股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）.如图，设AB : BC= 1: 3，若向弦图内随机抛掷5000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）
【考点】CF :几何概型.
易得大正方形的边长为 5a ,由正方形面积公式运算可得解.
【解答】解：设小正方形的边长为 a ,
则四个全等的直角三角形的两直角边长分别为： 3a , 4a ,
则大正方形的边长为 5a ,
2 2
则S 小正方形=a , S 大正方形=25a ,
设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为 n ,
由几何概型中的面积型可得： n = 5小正方吃
5000 =
$大正方形
解得n = 200, 故选：C .
C . 3
【考点】2K :命题的真假判断与应用.
【分析】①根据全称命题的否定是特称命题进行判断
② 根据积分的定义和公式进行计算
③ 根据偶函数的定义先求出 a = 0,然后结合导数的几何意义进行求解判断
④ 根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可
【解答】解：①命题p 的「p ： ?x > 2, x 2- K 0;故①错误， B . 67 C . 200
D . 250 【分析】由几何概型中的面积型可得: 11
$小正方形
5000
轶正方形 ，又设小正方形的边长为
a ,
②J "卩(sinH+2) tlx =(2x - cosx) | 兀歼=2 n- cos n - (- 2 n - cos (- n)) = 2 n+1 -
(-2n+1 )= 4n;故②错误；
③若f( x)= x2- ax+1 为偶函数，则f (- x)= f (x),
即x2+ax+1 = x2- ax+1，即ax=- ax,贝V a =- a，即 a = 0,
则 f (x)= "+1，则 f (1)= 2, f'( x)= 2x,则f'( 1)= 2,
则曲线y= f (x)在点(1, f (1))处的切线方程是y-2 = 2 (x- 1),即y= 2x,故③正确.
④已知随机变量E〜N (1, 1),若P (- 1 V0 3)= 0.9544,
则P (驴3)= P ( EW- 1 )=丄(1 - P (- 1v M 3))=丄(1 - 0.9544)= 0.0228,
2 2
则P ( EV3)= 1 - P (驴3)= 1 - 0.228= 0.9772，故④正确，
故正确的命题是③④，共两个，
故选：B.
t
& ( 5分)执行如图所示的程序框图，输出的值为( )
* 三
/辂卜阳?
输出S = 1, 故选：A . 9. ( 5分)在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , C .. 一； 【考点】HR :余弦定理. TT 【分析】由正弦定理得 bsinA = asinB ，与bsinA = acos ( B+J —),由此能求出 B .由余弦 & 定理即可解得b 的值.
*si nB , /• tanB =
又 B € (0, n),
A . 1
B . :■: 【考点】EF :程序框图. c. 【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可. 【解答】 解: 第一次循环， k = 1, S = cos0= 1, k = 1+1 = 2, k > 6 不成立, 第二次循环, k = 2, S = 1+co^^ = 1+遞_ ,k = 2+1 = 3, k > 6 不成立; 2 I 第三次循环, k = 3, S = 1 + 6 爭+2 = 1+旦丄=』+ 亜, 第四次循环, 第五次循环, 3 TV ~2 丄=_+ .-丄 k = 3+1 = 4, k > 6 不成立; 2 , k = 4+1 = 5, k >6 不成立 =1+ ' ,
k = 5+1
= 6,
立; 第六次循环, k = 6, S = 1+丄 2 b , c , a = 3, c = 2. :, bsinA = 【解答】解：在△ ABC 中，由正弦定理得: 1 b sinA ~sinB 又 bsinA = acos ( B+- IT T ). /• asinB = acos ( B+- ),即 sinB = cos ( B+-- 6 )=cosBco — 6 兀
6
2
k = 4, +CO S k = 5, 1, k = 6+1 = =1 2 +cos — ，得 bsinA = asinB , cosB -
•••在△ ABC 中，a = 3, c = 2 二,
由余弦定理得b =｛家+ c 恥匚□胡=］決
12-2乂 3X 2頁X 写=応-
故选：C .
10. ( 5分)某几何体的三视图如图所示(俯视图中的虚线为半圆)
【分析】根据三视图知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆锥, 结合图中数据计算该几何体的体积即可.
【解答】 解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，中间挖去一个半圆 结合图中数据，计算该几何体的体积为:
故选：C .
11.
( 5 分)函数 f (x)=*0x 2-2益+1口!［在(1* 3)上不单调的一个充分不必要条件是 (
)
A .託
B • 冷,寺)
C .託十，寺)
D .託(yi 2°)
【考点】6B :利用导数研究函数的单调性.
【分析】先求导函数，再根据函数 f (x )在(1, 3)上不单调，得g (1) g (3)v 0且 △ > 0,从而可求a 的取值范围.
2
【解答】解：由题意，f '( x )= ax - 2a+- =, 1 X 2X 2X 2 - 1 X 1 n ?12?2 - 兀
2 3 3
V = V 四棱锥—V 半圆锥= ，则该几何体的体积为 2 【考点】口
：由三视图求面积、体积. C .
8-JU "T" 锥,
•••函数f (乂)在(1 , 3)上不单调,
分子应满足在(1 , 3)有实根，
设 g (x )= ax 2 - 2ax+1,
a = 0时，显然不成立，
其子集是A ,
故选：A .
2 2
12. ( 5分)F 1, F 2是双曲线C: 1 01 b 〉。

)的左、右焦点，直线I 为双曲线 C 的一条渐近线，F 1关于直线I 的对称点为F J ，且点F 在以F 2为圆心、以半虚轴 长b 为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为(
) A . 1 B . !， C . 2 D .一；
【考点】KC :双曲线的性质.
【分析】设F 1 (- c , 0), F 2 (c , 0), F 1' (m , n ),直线I ： yx ,运用中点坐标公式 和两直线垂直的条件：斜率之积 为-1,可得对称点的坐标，以及两点的距离公式，化 简整理，结合离心率公式可得所求值.
方法二、运用中位线定理和勾股定理，以及离心率公式，可得所求值.
【解答】解：设 F 1 (- c , 0), F 2 (c , 0), F 1' (m , n ),直线 I :
x ,
F 1关于直线I 的对称点为 0 时，
只需 r A>0 吕(1)蓉⑶
故 a € (-8
U [1 , +8
可得
m=
n=- 由题意可得|F2F1'| = =b ,
解得m=
另解：设F i 关于直线bx - ay = 0对称点为FT ,设M 为渐近线与F i F i '的交点, 连接F i 'F 2，可得由0M F 1F 2F 1'的中位线, 可得 |0M|=2|F 2F 1'|=丄b ,
即有诗=c2,
可得 5
(c 2- a 2)= 4c 2,
由同角三角函数基本关系求出 Sin acos a,再由两角差的正弦函数公式化简求值 即可.
结合 a 2+b 2= c 2,
化为 2 2
b 2= 4a 2,
可得 e =
L == ■ ：= . !'.
由F i 到
直线叱1_ =b ,
c
a
【考
点】 GF ：三角函数的恒等变换及化简求值. 【分析】
【解
答】 解：由 Sin a +COS a= '，得 i ：：. 1 ' ■ ： ： ~ 1 : Z11 :二二■一, 即c 2= 5a 2,可得
率为-2的直线与椭圆交于 A , B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线 斜率为-『，则a 的值是 2 【考点】K4 :椭圆的性质.
【分析】利用点差法得a 2= 2b 2，进一步求得a .
【解答】解：设 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2), P (x 0, y 0),
2 2 a b
2 2 c 2 y 2 ■V 古i a b
. 2 .
•.•( sin a - cos a) = 1 - 2sin a cos a=
■sin( □ = 1 x 2： 1
2 3 3
14. （5分）（2x+y ） （x - 2y ） 5展开式中x 3y 3的系数为 -120
【考点】DA :二项式定理.
【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y ） 5按照二项式定理展开，由多项式乘法的 性质分析可得答案.
【解答】解：根据题意，(x - 2y ) 5= x 5- 10x 4y+40x 3y 2 - 80x 2y 3+80xy 4- 32y 5, 则(2x+y ) (x+2y ) 5 展开式中 x 3y 3 的系数为 2X( - 80) +1 X 40=- 160+40 =- 120,
故答案为：-120.
15. （ 5分）已知椭圆 2 2
2"+；, =1（邑A 计2）的左、右焦点分别为
F 1, F 2,过左焦点 F 1作斜
OP 的
，两式相减得:
口），
sin
故答案为:
a = 2. 故答案为：2. TT 16. （ 5分）在厶ABC 中，A = ,AB = 10, AC = 6, O 为厶ABC 所在平面上一点，且满足
両上丽卜]^可，T^AO-mAB+nAC ，则
m+3n
的值为身— 【考点】9E :向量数乘和线性运算. 【分析】由外心是中垂线的交点及投影的概念得：则 「c
k
£
畐碍iox 汗丄=30,所以卩乂 100+兀250,所以
2 [30时口％36二1£
由平面向量的数量积公式
得:
得解.
【解答】解：由得: || 讪=|| '，|=|i 「|,则点 O >△ ABC 的外心,
=30
所以
mX 100+30250
■'ll'
'
■:-，
所以
所以m+3n = 故答案为: 三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生要根据要求作答. （一）必考 题：共60分. 17. （12分）设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 1 = 3,对任意n€N *，都有2S n -a n = na n .
（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；
（2） 令》
---- ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .
【考点】8E :数列的求和；8H :数列递推式.
【分析】（1 ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用法求出数列的和. 【解答】解：（1）已知a i = 3,对任意n €N ，都有2S n -a n = na n ①， 当 n >2 时，2Si -1 - a n -1=( n — 1) a n -1 ②，
所以：
a
n-1 n-1 a
n-2，
解得：a n = 3n （首项符合通项），
故：a n = 3n .
18. （12分）如图，平面 ABCD 丄平面ABE ，四边形 ABCD 是边长为2的正方形，AE = 1 ,
F 为CE 上的点，且BF 丄平面ACE . （1）求证：AE 丄平面BCE ;
n
a
r-l
n-1
①-②得:
3n+l
），
(2)由于 an = 3n ,
(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为？
若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
【考点】LW :直线与平面垂直；MJ :二面角的平面角及求法.
【分析】(1)推导出BF丄AE, BC丄AB,从而CB丄平面ABE，进而CB丄AE,由此能证明AE 丄平面BCE .
(2)推导出AE丄BE,以A为原点，建立空间直角坐标系 A - xyz，利用向量法推导出线
段AD上存在一点M，当AM =存；.：时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为二丄【解答】证明：(1 )T BF丄平面ACE , AE?平面ACE,「. BF丄AE,
•••四边形ABCD是正方形，••• BC丄AB,
平面ABCD丄平面ABE，平面ABCD门平面ABE = AB,
• CB丄平面ABE,
•/ AE?平面ABE, • CB 丄AE,
•/ BF n BC = B,.・. AE丄平面BCE .
解：(2)线段AD上存在一点M，当AM =：；时，
使平面ABE与平面MCE
理由如下：
•••AE 丄平面BCE, BE?平面BCE ,• AE 丄BE,
在Rt△ AEB 中，AB = 2, AE = 1 ,•/ ABE= 30°,/ BAE = 60°,
以A为原点，建立空间直角坐标系 A - xyz,
设AM = h，贝U 0< h w 2,
2),
0), B (0, 2 , 0), C (0 , 2 , •/ AE= 1, / BAE = 60°,「. M (0, 0, h),
••碍爭寺,—h)，园(字号—2),
设平面MCE的一个法向量n=( x, y, z),
，取z= 2,得；=(旦(2+3h), h-2, 2),
3
平面ABE的一个法向量|=( 0, 0, 1),
由题意得:
^(2+3h)2+(h-2)M 怜
解得h= 「或h =-_-;(舍)，
•••线段AD上存在一点M,当AM =二时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为土.
4
2
19. (12分)已知抛物线C: y = 2px ( p>0)的焦点为F, P为抛物线上一点，0为坐标原点，△ OFP
的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3 n.
(1 )求抛物线C的方程；
(2)设直线l交C于A, B两点，M是AB的中点，若|AB|= 12,求点M到y轴的距离的最小值，
并求此时I的方程.
【考点】KN :直线与抛物线的综合.
【分析】(1)先求出△ OFP的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出p的值，从而得出抛物线C的方程；
(2)法一：设直线I 的方程为y = kx+b,设点 A (x1, y1)、B (x2, y2),设点M (x0, y0),
2),
2
将直线I 的方程与抛物线 C 的方程联立，列出韦达定理，并计算出 |ABI 的表达式，根据条
件|AB|= 12得出k 与b 所满足的关系式，并求出点
M 的坐标，结合关系式并利用基本不
等式可求出点 M 到y 轴距离的最小值，利用等号成立的条件得出 k 与b 的值，从而求出
直线I 的方程;
法二：设直线I 的方程为x = my+n ,设点A (x i , y i )、B (x 2, y 2),将直线I 的方程与抛 物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算
|AB|，并利用条件|AB|= 12,得出
m 与n 所满足的关系式，然后求出点M 的坐标，可得出点M 到y 轴距离的表达式，将关 系式代入并结合基本不等式可得出点
M 到y 轴距离的最小值，并由等号成立的条件得出
m 与n 的值，从而得出直线I 的方程.
【解答】解：(1 )•••△ OFP 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，•••△ OFP 的外接圆圆心到 准线的距离等于圆的半径, •••圆周长为3n,所以，圆的半径为 一， 又•••圆心在 OF 的垂直平分线上，二号,
因此，抛物线的方程为 y 3 = 4x ;
(2)法一：①当I 的斜率不存在时，••• |AB|= 12,「.4x = G 2，得x = 9, •••点M 到y 轴的距离为9,此时，直线I 的方程为x = 9;
②当I 的斜率存在且 20时，设I 的方程为y = kx+b ,设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2), M (x 0, y o ),
2 2
2
，得 k x +2 (kb - 2) x+b = 0, •△=- 16kb+16 >0,
• 一丨一・；-V.
1
4-2kb
b 2
由韦达定理得
y=kx+b
2
ly 二4丈
-:，即」
.
l+k 2
当且仅当-^-+1=3，即2±爭_时，等号成立，将丘二土耳^代入威冷,
这两种情况均满足△= 16- 16kb > 0,合乎题意!
则点片（芷I + X 2 , 勺」22），点 M 至U y 轴的距离为 衍十七
2
△= 16m +16n >0,由韦达定理得 y i +y 2= 4m , y i y 2=- 4n .
l^hVl+io 2p ly 1-y 2 I =由+朋716叩勺16口二12,可得,
= ■ • * …_L ,
If m 2
当且仅当.—• I ；,即m 2 = 2，即当厂二"J#时，等号成立， 1-blD 2
2
此时 ，△= 16m +i6n >0成立，合乎题意！
1+m
因此，点M 到y 轴的距离的最小值为 5,此时，直线I 的方程为C 20. （12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，
2018年中国快递量世界第一，已
连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名.某快递公司收取费 的标准是：不超过1kg 的包裹收费8元；超过1kg 的包裹，在8元的基础上，每超过 1 kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收4元.
综上所述，点 M 到y 轴距离的最小值为
5,此时，直线
法二：由题意可知直线 I 的斜率不为零，设 I : x = my+n ,设点 A (x i , y i )、
B (x 2, y 2),
z-my+n
，整理得 y 2 - 4my - 4n = 0.
则直线I 的方程为
该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1):
表1:
包裹重量(单位：kg) ( 0，1] ( 1，2] (2，3] ( 3，4] (4，5]
包裹件数43 30 15 8 4
公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)
件数范围及天数，列表如表(表2)：
表2 :
件数范围0〜99100〜199200〜299300〜399400〜
500天数5102555
每天承揽包裹50150250350450
的件数
(1)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100〜299之间的概率；
(2)①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：
②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，
其余用作其他费用•目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工
资80元•公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的
数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人？【考点】B7 :分布和频率分布表；BB :众数、中位数、平均数；CB :古典概型及其概
率计算公式.
【分析】(1)样本中包裹件数在100〜299之间的天数为35,未来3天中，包裹件数在
100〜299之间的天数X服从二项分布，即X〜B ( 3,鲁)，由此能求出结果.
(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表格，故样本中每件快递收取的费用的平均值.
②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12元，若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如表格. 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400
件，公司每日揽件数情况如表格•可得公司平均每日利润的期望值.
【解答】解：(1)由题意得近50天每天承揽包裹的件数在100〜299之间的天数为35，
•••每天揽件数在100〜299之间的概率为亜=Z,
50 10
未来3天中，包裹件数在100〜299之间的天数X服从二项分布X〜B （3，丄），
10
•未来3天内恰有1天揽件数在100〜299之间的概率：
P =f 7）（ 3）2= 1別小0八10丿1000 ■
（2）①估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值为：
,=^^[43 X 8+30X （8+4）+15 X （8+4 X 2）+8 X （8+4X 3）+4 X （8+4X 4）] = 12 （元）. 100
②根据题意及①，揽件数每增加1,公司快递收入增加12元，
若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数范
围0〜99100〜199200〜299300〜399400 〜
500
包裹件数（近50150250350450似处理）
实际揽件数50150250350450频率0.10.20.50.10.1 EY50 X 0.1 + 150 X 0.2+250 X 0.5+350 X 0.1+450 X 0.1=240
故公司平均每日利润的期望值为
240 X 12X
二
3
-5X 80= 560（元）；
若裁员1人，则每大可揽件的上限为200件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数范0〜99100〜199200〜299300〜399
400 〜500
围
包裹件数（近50150250350450似处理）
实际揽件数50150250350400频率0.10.20.50.10.1
EY 50 X 0.1 + 150 X 0.2+250 X 0.5+350 X 0.1+400 X 0.1 = 185
故公司平均每日利润的期望值为185X 12X计-4X 80= 420 （元）
因420V 560，故公司不应将前台工作人员裁员1人.
2 —x
21. (12 分)已知函数f (x) = ( ax —2x+a) e (a 駅).
(1 )当a> 0时，求f (x)的单调区间；
(2)若存在a€ (-g, 0],使得f (x)> bln (x+1 )在x q o, +^)上恒成立，求实数b的取值范围.
【考点】6B :利用导数研究函数的单调性；6E:禾U用导数研究函数的最值.
【分析】(1 )求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)通过讨论b的范围结合函数的单调性确定b的范围即可.
【解答】解：(1) f (x)的定义域是R,
—V
f'( x)=—e (x—1) (ax —a —2),
(1) a = 0 时，f'( x)= 2e x(x—1),
令f'( x)> 0,解得：x> 1,
令f'( x)v 0,解得：x v 1,
故f (乂)在(-g, 1)递减，在(1, +g)递增；
(ii) a> 0 时，1+二> 1,令f'( x)> 0,解得：1 v x v 1+二,
令f'( x)v 0,解得：x v 1 或x> 1 + -,
a
故f (乂)在(-g, 1)递减，在(1, 1+Z)递增，在(1+丄,+g)递减；
(2) f (x)> bln ( x+1 )在x€[0, + g)上恒成立，
当x = 0 时，f ( 0)> bln (0+1),
故a>0 成立，又a€ ( —g, 0],故a= 0,
(i)当b> 0 时，？x€ (0, +g) , bln (x+1 )> 0, xe—x> 0,
此时，bln (x+1) = 2xe x> 0,不合题意，
(ii)当b v 0 时，令h (x)= bln (x+1) +2xe—x, x€[0, + g),
1 H. i _ Q 2
则h '( x )= DE，其中(x+1) e x> 0, ?x€[0, + g),
(x+1) J
令p (x)= be x+2 —2x2, x €[0, +g),
•/ b v 0,「. p (x)在[0 , + g)递减，
①当b< — 2 时，p (x)w p (0)= b+2 w 0,
故对任意x€[0, + g) , h'( x)w 0,
贝U h (x)在[0 , + g)递减，
故对任意x€[0, + a), h (x)w h (0)= 0,
即不等式bln (x+1) +2xe「x w 0在［0, +a)上恒成立，满足题意；
②当-2v b v 0 时，由p (0)= b+2>0, p (1 )= be v 0及p (x)在［0, + 递减，
故存在唯一x o€ (0, 1),使得p (x O)= 0 且x€ ( 0, x O)时，p (x0)> 0, 从而x€ (0, X0)时，h'( x)> 0,故h (x)在区间(0, x0)递增，
则x € (0, X0)时，h (x)> h (0) = 0,
即bln (x+1)) +2xe「x>0,不符合题意,
综上，b <- 2.
选考题：共10分•请考生在第22 , 23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第一题
计分.［选修4-4 :坐标系与参数方程选讲］
I广r=j O CL
22. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为°(a为参数)，以坐
14 sind
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系( p> 0, 0< 0V 2 n),点A为曲线C1
上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|?|OB|= 6，点B的轨迹为C2.
(1 )求C1, C2的极坐标方程；
(2)设点C的极坐标为(2, 0),求厶ABC面积的最小值.
【考点】Q4 :简单曲线的极坐标方程；QH :参数方程化成普通方程.
【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.
(2)利用(1)的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果.
【解答】解：(1)曲线C1的参数方程为| S_C0SQ(a为参数)，
Ly=l+sind
转换为直角坐标方程为：x2+ ( y - 1) 2= 1 .
转换为极坐标方程为：P= 2sin B.
设点B的极坐标方程为(p, 0),
点A的极坐标为(p0, 00),
贝|OB|= p , |OA|= p0 ,
由于：满足|OA|?|OB|= 6 ,
贝卩：-〒一上二二，
整理得：psin 0= 3.
(2 )点C的极坐标为(2 , 0),
贝y：|OC|= 3 ,
所以：_ — .■/ I 二—丨二小-:J717.二
当sin 0= 1时，S A ABC 的最小值为1.
［选修4-5:不等式选讲］
23. 已知函数 f (x )= |x — 5|+|x — 1|.
(1 )求f (x )的最小值m ;
【考点】7F :基本不等式及其应用； R5 :绝对值不等式的解法. 【分析】(1)根据绝对值不等式|a+b|>|a - b|便可得出|x - 5|+|x - 1|>4,从而得出 的最小值为4,即得到t = 4;
(2 )禾9用柯西不等式即可证明.
【解答】(1 )解 f ( x )= |x - 5|+|x - 1|> | (x - 5)-( x - 1 )|= 4;
••• f (x )的最小值m 为4;
7. ( 5分)给出下列四个命题：
① 命题 P ： | /.'■ . . T ■- .
. I 【：-:,, V _- I I
② J Csins+2)dr 的值为 0；
③
若f (x ) = x 2 - ax+1为偶函数，则曲线 y = f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是 y =2x .
④ 已知随机变量 E 〜N (1, 1),若P (- 1 V0 3)= 0.9544,
则P ( EV 3)= 0.9772.其中真命题的个数是( ) (2)证明：T a >0, b >0, •( —:-
+~-)[1 b 2 a 2 2+ (；：打)2］ =6> 4.
(2)若正实数a , b 满足 求证*
f (x )
> m .。