初一数学实数典型例题
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在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
=-3
5、估算思想
估算思想是一种重要的数学思维方法，估算思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的，在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时，常用到估算的方法进行解决。
2、实数与数轴
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．观察下图（图1中是用单位圆找到 的位置；图2中用边长为1的正方向找到 的位置）：
图1图2
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
解：由m≠x≠y，∴x—m≠0，y—m≠0
又被开方数x—m≥0，m—y≥0即y—m≤0
即有x—m＞0，y—m＜0
而被开方数 ∴ ∴m＝0
将m=0代入等式，得 ∴x＝－y＞0
∴ ＝ ＝ ＝
【题型5】实数大小比较
（一）差值比较法
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。
分析：－2、 将数轴分为三部分，应讨论化简
解答：依题意作图如4所示，
①当a＜－2时，|a+2|－|2a－3|=－a－2+2a－3=a－5
②当－2≤a≤ 时，|a+2|－|2a－3|=a+2－（3－2a）=3a－1
③当a＞ 时，|a+2|－|2a－3|=a+2－（2a－3）=－a+5。
点评：将使绝对值里为0的数(零点)标在数轴上，可将实数分为几部分，然后进行讨论。
教学内容
实数--典型例题讲解
【知识点1】平方根和立方根
1、什么是平方根______________________________
2、什么是立方根______________________________
3、正数、负数、0分别有几个平方根______________________________
a＞b；当 =1时，a=b。来比较a与b的大小。
【例2】比较 与 的大小。
解：∵ ÷ = ＜1∴ ＜
（三）倒数法
倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当 ＞ 时，a＜b。来比较a与b的大小。
【例3】比较 － 与 － 的大小。
解：∵ = + ， = +
又∵ + ＜ +
①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；
②整数和分数统称为有理数，整数可以看作分母是1的分数，从这个意义来说，有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式
无理数的常见形式：
①开方（开立方）开不尽的数，如
②圆周率π以及一些含有π的数，如2π，π-3……
③具有特定结构的数，如0.1010010001……
例13阅读下面语句：
① 的 次方（k是整数）的立方根是 ．
②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．
③如果 ，那么a的立方根的符号与a的符号相同．
④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．
⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．
在上面语句中，正确的有（）
A．1句B．2句C．3句D．4句
4、正数、负数、0分别有几个立方根______________________________
例1求下列各数的平方根．
（1）9（2） （3）0.81
例2求下列各数的平方根和算术平方根．
（1）0.0064（2） （3） （4）
例3求下列各式中的x：
（1） （2） ．
例4已知 ，且x是正数，求代数式 的值．
又点B、点C关于点A对称∴|AC|=|AB|= －1
这时|OC|=|OA|－|AC|=1－（ －1）=2－
即点C所表示的点为2－ ，故选C。
点评：本题借用数轴和点的对称性求出C点坐标。
【例2】某种零件的合格品规格为（φ ）mm，其中有一个不合格零件与合格品的要求相差0.02mm，这个不合格零件的直径其最大的可能值与最小的可能值的差是mm。（分析：本题已知中不合格品的取值范围不明确，若构作数轴图3，选用原点O表示直径为50mm的合格品，A、B分别表示合格品波动的上、下限，则C、D分别表示不合格品波动的上、下限，易得答案）
授课主题
实数--典型例题讲解
教学目的
1、掌握实数的概念及分类；
2、掌握实数与数轴的关系及相关数形结合题；
3、理解并掌握平方根有意义、无意义的条件；
4、掌握实数的大小比较。
教学重点
1、掌握实数与数轴的关系及相关数形结合题；
2、掌握实数的大小比较。
授课日期及时段
2015.04.12 08:00—10:00
3、实数的相反数、绝对值、倒数
（1）相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
（2）绝对值
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离.
（3）倒数
实数a(a≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．
【例2】已知： 是 的算术数平方根， 是 立方根，求 的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知
联立<1><2>解方程组，得：
代入已知条件得： ，所以
故M＋N的平方根是± 。
【题型3】巧用算术平方根的最小值求值
我们已经知道 ,即a=0时其值最小,换句话说 的最小值是零.
【例1】已知：y= ,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求 的非算术平方根.（即负的平方根）
例5如果 ，求 的值．
例6选择题：下列命题
（1） （2）
（3） 的平方根是 ；（4） 的算术平方根是 ；
（5） 是 的平方根；（6）0的平方根是0，0没有算术平方根；
（7） 的算术平方根是 .真命的个数是（）.
（A）1（B）2（C）3（D）4
例7如果一个数的平方根是 与 ，那么这个数是多少？
例8求下列各式的值
【例5】比较 与 的大小
解：∵3＜ ＜4∴ －3＜1∴ ＜
（六）移动因式法（穿墙术）
移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a 的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
【例6】比较2 与3 的大小
解：∵2 = = ，3 = = 。
又∵28＞27，∴2 ＞3 。
【题型1】巧用被开方数的非负性求值
【例1】（2009年荆门市中考题）若 ，则 的值为（）
A．－1 B．1 C．2 D．3
分析：因为x-1≥0，1-x≥0，所以x≥1，x≤1，即x＝1.而由 ，有1+y＝0，
所以y＝-1，x－y＝1-（1）＝2.
【例2】已知 求 的值.
分析： 故 .进而可得 .故 = .
例14设 ，则 ， ， 分别等于（）
A． B． C． D．
例15有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个
数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0．
其中错误的是
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
例16下列语句正确的是（）
【例】估计
A.在2和3之间B.在3和4之间C.在4和5之间D.在5和6之间
6、确定根号型无理数的正数部分和小数部分
因为无理数是无限不循环小数，所以其小数部分难以确定具体的数值，只能用整数部分来表示。解答这类问题的关键在于先估算正数部分，只要整数部分估算出来，小数部分随之确定。一个小数减去整数部分，剩下的就是小数部分。
（七）取特值验证法
比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。
【例7】当 时， ， ， 的大小顺序是______________。
解：（特殊值法）取 = ，则： = ， =2。
∵ ＜ ＜2，∴ ＜ ＜ 。
【例8】（常德市）设a＝20，b＝(－3)2，c＝ ，d＝ ，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
【题型6】用数形结合思想解实数中的问题
【例1】如图2，数轴上表示1、 的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）（也可用中点坐标公式 ）
A、 －1 B、1－ C、2－ D、 －2
分析：通过A、B两点所表示的数求出C点坐标
解答：我们知道实数和数轴上的点一一对应，由图2知，|OA|=1，|OB|= ，从而|AB|=|OB|－|OA|= －1
（1） （2） （3） （4）
例9如图，这是一个体积为1728cm3的正方体，它的棱长是多少cm？
例10求下列各数的立方根：
（1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5）
例1求下列各式中的 ：
（1） （2） ；
（3） ；（4） ．
例12圆柱形水池的深是1.4m，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）．
解答：依题意作数轴如图3，选用原点O表示直径为50mm的合格品，A、B分别表示合格品波动的上、下限，则C、D分别表示不合格品波动的上、下限，则|CD|=|0.06－（－0.05）=0.11（mm）。
点评：有些实际问题不好解决时，借用数轴可出奇制胜。
【例3】化简：|a+2|－|2a－3|（零点分段讨论法）
当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。
【例1】（1）比较 与 的大小。（2）比较1－ 与1－ 的大小。
解∵ － ＝ ＜0，∴ ＜ 。
解∵（1－ ）－（1－ ）= ＞0，∴1－ ＞1－ 。
（二）商值比较法
商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当 ＜1时，a＜b；当 ＞1时，
分析：y= ,要y最小，就是要 和 最小，
而 ≥0， ≥0，显然是 =0和 =0，可得a=2,b=－1.
解答：∵ ≥0， ≥0，y= ，∴ =0和 =0时，y最小.由 =0和 =0，可得a=2,b=－1.
所以 的非算术平方根是
【题型4】含有相反数的被开方数根式的化简与求值
【例1】设等式 在实数范围内成立。其中，m、x、y是互不相等的三个实数，求代数式 的值。
【例】 的相反数是________．－ 的相反数是______．0的相反数是______．
＝_______. ＝_______. |0|＝________. 的倒数是______.
4、实数的运算
实数的混合运算顺序与有理数的混合运顺序一样，先乘方、开方（开立方），再乘除，最后加减，有括号的，先算括号里面的，同级运算按照从左到右的顺序进行。
【例3】若 求 的立方根.
分析：认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x≥0,得x≤2;x－2≥0,得x≥2;进一步可得x=2.可求出y=－6.
解答：∵ ,∴ x=2;当x=2时,y=－6. .所以 的立方根为 .
【例4】若y= ，试求（4x－2y）2010的值.
ห้องสมุดไป่ตู้【题型2】巧用正数的两平方根
【例1】已知：一个正数的平方根是2a－1与2－a，求a的平方的相反数的立方根.
A． 的立方根是2 B．-3是27的负立方根C． 的立方根是 D． 的立方根是
例17下列语句对不对？为什么？
（1）0.027的立方根是0.3．（2） 不可能是负数．
（3）如果a是b的立方根，那么 ．（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．
【知识点2】实数的相关概念
1、实数的组成
无理数的判断方法：
A.c＜a＜d＜bB.b＜d＜a＜cC.a＜c＜d＜bD.b＜c＜a＜d
分析：可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解：因a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝ ＝－ ，d＝ ＝2，－ ＜1＜2＜9，故c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
【题型7】无限循环小数可以化为分数
小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看：
∴ － ＞ －
（四）平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由 ＞ 得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
【例4】比较 与 的大小
解： ， =8+2 。
又∵8+2 ＜8+2 ∴ ＜ 。
（五）估算法
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
=-3
5、估算思想
估算思想是一种重要的数学思维方法，估算思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的，在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时，常用到估算的方法进行解决。
2、实数与数轴
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．观察下图（图1中是用单位圆找到 的位置；图2中用边长为1的正方向找到 的位置）：
图1图2
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
解：由m≠x≠y，∴x—m≠0，y—m≠0
又被开方数x—m≥0，m—y≥0即y—m≤0
即有x—m＞0，y—m＜0
而被开方数 ∴ ∴m＝0
将m=0代入等式，得 ∴x＝－y＞0
∴ ＝ ＝ ＝
【题型5】实数大小比较
（一）差值比较法
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。
分析：－2、 将数轴分为三部分，应讨论化简
解答：依题意作图如4所示，
①当a＜－2时，|a+2|－|2a－3|=－a－2+2a－3=a－5
②当－2≤a≤ 时，|a+2|－|2a－3|=a+2－（3－2a）=3a－1
③当a＞ 时，|a+2|－|2a－3|=a+2－（2a－3）=－a+5。
点评：将使绝对值里为0的数(零点)标在数轴上，可将实数分为几部分，然后进行讨论。
教学内容
实数--典型例题讲解
【知识点1】平方根和立方根
1、什么是平方根______________________________
2、什么是立方根______________________________
3、正数、负数、0分别有几个平方根______________________________
a＞b；当 =1时，a=b。来比较a与b的大小。
【例2】比较 与 的大小。
解：∵ ÷ = ＜1∴ ＜
（三）倒数法
倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当 ＞ 时，a＜b。来比较a与b的大小。
【例3】比较 － 与 － 的大小。
解：∵ = + ， = +
又∵ + ＜ +
①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；
②整数和分数统称为有理数，整数可以看作分母是1的分数，从这个意义来说，有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式
无理数的常见形式：
①开方（开立方）开不尽的数，如
②圆周率π以及一些含有π的数，如2π，π-3……
③具有特定结构的数，如0.1010010001……
例13阅读下面语句：
① 的 次方（k是整数）的立方根是 ．
②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．
③如果 ，那么a的立方根的符号与a的符号相同．
④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．
⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．
在上面语句中，正确的有（）
A．1句B．2句C．3句D．4句
4、正数、负数、0分别有几个立方根______________________________
例1求下列各数的平方根．
（1）9（2） （3）0.81
例2求下列各数的平方根和算术平方根．
（1）0.0064（2） （3） （4）
例3求下列各式中的x：
（1） （2） ．
例4已知 ，且x是正数，求代数式 的值．
又点B、点C关于点A对称∴|AC|=|AB|= －1
这时|OC|=|OA|－|AC|=1－（ －1）=2－
即点C所表示的点为2－ ，故选C。
点评：本题借用数轴和点的对称性求出C点坐标。
【例2】某种零件的合格品规格为（φ ）mm，其中有一个不合格零件与合格品的要求相差0.02mm，这个不合格零件的直径其最大的可能值与最小的可能值的差是mm。（分析：本题已知中不合格品的取值范围不明确，若构作数轴图3，选用原点O表示直径为50mm的合格品，A、B分别表示合格品波动的上、下限，则C、D分别表示不合格品波动的上、下限，易得答案）
授课主题
实数--典型例题讲解
教学目的
1、掌握实数的概念及分类；
2、掌握实数与数轴的关系及相关数形结合题；
3、理解并掌握平方根有意义、无意义的条件；
4、掌握实数的大小比较。
教学重点
1、掌握实数与数轴的关系及相关数形结合题；
2、掌握实数的大小比较。
授课日期及时段
2015.04.12 08:00—10:00
3、实数的相反数、绝对值、倒数
（1）相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
（2）绝对值
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离.
（3）倒数
实数a(a≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．
【例2】已知： 是 的算术数平方根， 是 立方根，求 的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知
联立<1><2>解方程组，得：
代入已知条件得： ，所以
故M＋N的平方根是± 。
【题型3】巧用算术平方根的最小值求值
我们已经知道 ,即a=0时其值最小,换句话说 的最小值是零.
【例1】已知：y= ,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求 的非算术平方根.（即负的平方根）
例5如果 ，求 的值．
例6选择题：下列命题
（1） （2）
（3） 的平方根是 ；（4） 的算术平方根是 ；
（5） 是 的平方根；（6）0的平方根是0，0没有算术平方根；
（7） 的算术平方根是 .真命的个数是（）.
（A）1（B）2（C）3（D）4
例7如果一个数的平方根是 与 ，那么这个数是多少？
例8求下列各式的值
【例5】比较 与 的大小
解：∵3＜ ＜4∴ －3＜1∴ ＜
（六）移动因式法（穿墙术）
移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a 的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
【例6】比较2 与3 的大小
解：∵2 = = ，3 = = 。
又∵28＞27，∴2 ＞3 。
【题型1】巧用被开方数的非负性求值
【例1】（2009年荆门市中考题）若 ，则 的值为（）
A．－1 B．1 C．2 D．3
分析：因为x-1≥0，1-x≥0，所以x≥1，x≤1，即x＝1.而由 ，有1+y＝0，
所以y＝-1，x－y＝1-（1）＝2.
【例2】已知 求 的值.
分析： 故 .进而可得 .故 = .
例14设 ，则 ， ， 分别等于（）
A． B． C． D．
例15有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个
数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0．
其中错误的是
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
例16下列语句正确的是（）
【例】估计
A.在2和3之间B.在3和4之间C.在4和5之间D.在5和6之间
6、确定根号型无理数的正数部分和小数部分
因为无理数是无限不循环小数，所以其小数部分难以确定具体的数值，只能用整数部分来表示。解答这类问题的关键在于先估算正数部分，只要整数部分估算出来，小数部分随之确定。一个小数减去整数部分，剩下的就是小数部分。
（七）取特值验证法
比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。
【例7】当 时， ， ， 的大小顺序是______________。
解：（特殊值法）取 = ，则： = ， =2。
∵ ＜ ＜2，∴ ＜ ＜ 。
【例8】（常德市）设a＝20，b＝(－3)2，c＝ ，d＝ ，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
【题型6】用数形结合思想解实数中的问题
【例1】如图2，数轴上表示1、 的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）（也可用中点坐标公式 ）
A、 －1 B、1－ C、2－ D、 －2
分析：通过A、B两点所表示的数求出C点坐标
解答：我们知道实数和数轴上的点一一对应，由图2知，|OA|=1，|OB|= ，从而|AB|=|OB|－|OA|= －1
（1） （2） （3） （4）
例9如图，这是一个体积为1728cm3的正方体，它的棱长是多少cm？
例10求下列各数的立方根：
（1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5）
例1求下列各式中的 ：
（1） （2） ；
（3） ；（4） ．
例12圆柱形水池的深是1.4m，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）．
解答：依题意作数轴如图3，选用原点O表示直径为50mm的合格品，A、B分别表示合格品波动的上、下限，则C、D分别表示不合格品波动的上、下限，则|CD|=|0.06－（－0.05）=0.11（mm）。
点评：有些实际问题不好解决时，借用数轴可出奇制胜。
【例3】化简：|a+2|－|2a－3|（零点分段讨论法）
当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。
【例1】（1）比较 与 的大小。（2）比较1－ 与1－ 的大小。
解∵ － ＝ ＜0，∴ ＜ 。
解∵（1－ ）－（1－ ）= ＞0，∴1－ ＞1－ 。
（二）商值比较法
商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当 ＜1时，a＜b；当 ＞1时，
分析：y= ,要y最小，就是要 和 最小，
而 ≥0， ≥0，显然是 =0和 =0，可得a=2,b=－1.
解答：∵ ≥0， ≥0，y= ，∴ =0和 =0时，y最小.由 =0和 =0，可得a=2,b=－1.
所以 的非算术平方根是
【题型4】含有相反数的被开方数根式的化简与求值
【例1】设等式 在实数范围内成立。其中，m、x、y是互不相等的三个实数，求代数式 的值。
【例】 的相反数是________．－ 的相反数是______．0的相反数是______．
＝_______. ＝_______. |0|＝________. 的倒数是______.
4、实数的运算
实数的混合运算顺序与有理数的混合运顺序一样，先乘方、开方（开立方），再乘除，最后加减，有括号的，先算括号里面的，同级运算按照从左到右的顺序进行。
【例3】若 求 的立方根.
分析：认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x≥0,得x≤2;x－2≥0,得x≥2;进一步可得x=2.可求出y=－6.
解答：∵ ,∴ x=2;当x=2时,y=－6. .所以 的立方根为 .
【例4】若y= ，试求（4x－2y）2010的值.
ห้องสมุดไป่ตู้【题型2】巧用正数的两平方根
【例1】已知：一个正数的平方根是2a－1与2－a，求a的平方的相反数的立方根.
A． 的立方根是2 B．-3是27的负立方根C． 的立方根是 D． 的立方根是
例17下列语句对不对？为什么？
（1）0.027的立方根是0.3．（2） 不可能是负数．
（3）如果a是b的立方根，那么 ．（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．
【知识点2】实数的相关概念
1、实数的组成
无理数的判断方法：
A.c＜a＜d＜bB.b＜d＜a＜cC.a＜c＜d＜bD.b＜c＜a＜d
分析：可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解：因a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝ ＝－ ，d＝ ＝2，－ ＜1＜2＜9，故c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
【题型7】无限循环小数可以化为分数
小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看：
∴ － ＞ －
（四）平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由 ＞ 得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
【例4】比较 与 的大小
解： ， =8+2 。
又∵8+2 ＜8+2 ∴ ＜ 。
（五）估算法
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。