【数学】浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二下学期期中联考试试题

浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二下学期
期中联考试数学试题
一、选择题：本大题共18个小题,每小题4分,共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.cos120︒=（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．
D 2.已知向量(1,2)a =，(2,)b m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1
B ．1-
C ．4
D ．4-
3.已知{1234}A =，，，，{}|2,B x x n n ==∈N ，则A B =（ ）
A ．{}1,2
B ．{}1,2,3,4
C ．{}
2,4
D ．{}|2,x x n n =∈N
4.22log 10log 5-=（ ） A ．0
B ．1
C ．2log 5
D ．2
5.已知2
()1f x x x =+-，则'(1)f =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.已知函数1
()2
f x x =-，则()f x 的定义域是（ ） A ．[1,2)-
B ．[1,)-+∞
C ．(2,)+∞
D ．[1,2)
(2,)-+∞
7.已知点(1,2)P ，直线l ：25y x =-，则点P 到l 的距离为（ ）
A
B ．5
C ．3
D ．1
8.已知(2,1)A ，直线l ：10x y -+=，则点A 在直线l 的（ ） A ．左上方
B ．左下方
C ．右上方
D ．右下方
9.已知函数()2sin cos f x x x =，则()f x 的周期是（ ） A ．
π2
B ．π
C ．2π
D ．4π
10.一个正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图的面积为（ ）
A
B
C ．
D ．4
11.已知直线l ，a 与平面α，且//l α，则在平面α内不存在a 与l （ ） A ．平行
B ．垂直
C ．成45︒角
D ．相交
12.已知圆C ：2
2
2440x y x y +-+-=，则过点(2,1)P 且与圆C 相切的直线方程是（ ） A ．1y =
B ．34100x y +-=
C ．3420x y --=
D ．1y =或34100x y +-=
13.已知p ：1a >，q ：21
321
1
()()22
a a +-<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
14.已知椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 在椭
圆C 上，且1230PF F ∠=︒，2190PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率是（ ）
A ．
6
B ．
3
C ．
2
D 15.已知数列{}n a 的前n 项为n T ，且13
n n n a -=，若n T M <，*
n ∈N 恒成立，则M 的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．
83
D ．
94
16.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点，记直线
1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则1θ，2θ的大小关系是（ ）
A ．12θθ=
B ．12θθ>
C ．12θθ<
D ．不能确定
17.函数()f x 按照下述方式定义，当2x ≤时，2
()2f x x x =-+；当2x >时，
1()(3)2f x f x =
-，方程1
()5
f x =的所有实数根之和是（ ） A ．8
B ．12
C ．18
D ．24
18.已知定义在+
R 上的函数()f x ，()'()0f x x f x -⋅<，若0a b <<，则一定有（ ） A ．()()af a bf b <
B ．()()af b bf a <
C ．()()af a bf b >
D ．()()af b bf a >
二、填空题：每空3分，满分15分.
19.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，35a =，则
5a = ，10S = ．
20.已知等轴双曲线C 经过点(2,1)P ，则双曲线C 的标准方程是 ．
21.已知{}min ,a b 表示a 与b 的较小值，函数{}()min |32|,|3|f x x x =--，则函数()f x 的增区间是 ．
22.已知0x >，0y >，且2
223x y m m +≤++对m ∈R 恒成立，则21
x y
+的最小值是 ．
三、解答题：本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.已知函数()sin f x x x =+，ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的三条边a ，b ，
c ，有()f A =2b =，2
ABC S ∆=
． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求a 的值．
24.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC 交BD 于点O ，E 是1DD 的中点．
（1）求证：//OE 平面11A CD ； （2）求直线AC 与平面11A CD 所成的角．
25.已知抛物线C ：2
x ay =（0a >）的焦点为(0,1)F ，过F 点的直线l 交抛物线C 于A ，
B 两点，且点(1,2)D -．
（1）求a 的值；
（2）求AD BD ⋅的最大值．
【参考答案】
一、选择题
1-5:ADCBC 6-10:DADBA 11-15：DDABD 16-18：CDB
二、填空题
19.9，100 20.2
2
3x y -= 21.3
(,2)2
和(3,)+∞ 22.4 三、解答题
23.解：（1
）π()sin 2sin()3
f x x x x =+=+，
令πππ2π2π,232k x k k -
+≤+≤+∈Z ，得5ππ
2π2π,66
k x k k -+≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调增区间为5ππ
(2π,2π),66k k k -++∈Z .
（2）由（1
）得π()2sin()π,3f A A A =+=<<π
3
A ∴=，
又由12,sin 2ABC b S bc A ∆==
=得 3c =， 由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-
得27,a a ==
．
24.解：（1）以D 为原点建系，设棱长为2.
111(1,1,0),(2,0,0),(0,0,1),(2,0,2),(0,2,2),(0,0,2)O A E A C D ，(1,1,1)OE =--，
平面11A CD 的法向量(0,1,1)n =，
0OE n =，//OE ∴平面11A CD .
（2）设直线AC 与平面11A CD 所成的角为θ，则(2,2,0)AC =-，
1
sin cos ,2
AC n AC n AC n
θ=<>=
=
，π6θ=，
所以直线AC 与平面11A CD 所成的角为π6
． 25.解：（1）由抛物线的定义得
14
a
=，4a ∴=. （2）由（1）得抛物线C ：2
4x y =，
设过F 点的直线l 的方程为11221,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则
由241
x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得2440x ky --=，
努力的你，未来可期!
12124,4x x k x x +==-，
1122(1,2),(1,2)AD x y BD x y =---=---
11221212121222(1,2)(1,2)1()42()13
8428()42
AD BD x y x y x x x x y y y y k k k ∴=------=++++-++=-+-=---
所以当1
4
k =时，AD BD 的最大值为32-．
11221,1y kx y kx =+=+。