2007年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷

2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷
（本卷满分120分，考试时间：3月18日8:30——10:30）
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确的答案的字母代号填写括号内．
1.若m 为实数，则代数式m +m 的值一定是（ ）．
A 、正数
B 、0
C 、负数
D 、非负数
2．如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a 、b 、c 三种物体的重量，下列判断正确的是（ ）．
A 、c >a
B 、a <b
C 、a <c
D 、b <c
3.如图2，点C 是∠P AQ 的平分线上一点，点B 、B ′分别在边AP 、AQ 上，如果再添加一个条件，即可推出AB =AB′,那么该条件不可以是（ ）．
A 、BB′⊥AC
B 、CB =CB ′
C 、∠ACB =∠ACB ′
D 、∠ABC =∠AB ′C
4．图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形
的两条直角边长分别为a 、b ，则（a +b ）2的值是（ ）．
A 、13
B 、19
C 、25
D 、169
5．已知m 是方程01x -x 2
=+2006的一个根，则代数式 3+1++22m 20062005m -m 的值等于（ ）． A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、.2008
6．将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一记号，每4cm 也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）．
A 、37
B 、36
C 、35
D 、34
7．某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于（ ）．
A 、9人
B 、10人
C 、11人
D 、12人
8．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ ）块．
A 、9
B 、10
C 、11
D 、
12
图 2
图
1 图3
9．如图5，将△ABC 沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A ′，若∠C =120 ，∠A =26 ,则∠A ′DB 的度数是（ ）． A 、120 B 、112 C 、110 D 、108
10.方程222x x x
-=的正根的个数是（ ）． A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
11．若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]3233740.70..=-=-=，，等，则
[]3p +-=_________ 12．在直径为4cm 的⊙O 中，长度为32cm 的弦BC 所对的圆周角的度数
为 .
13．如图6，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或
同时闭合开关A 、B 、C 都可以使小灯泡放光，那么随机闭
合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为 ．
14．如图7，在△ABC 中，AB =5,AC =3,D 为BC 的
中点，AD =2，则tan ∠BAD = __________.
15．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，
如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸
方式，开始一个人干，以后每隔t （整数）小时增加一个人干，
每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人 装卸的时间是第一个人的4
1，则按改变的方式装卸， 自始至终共需时间 小时.
16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x （分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（O→A→B→C ）与虚线（OD ）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x 的取值范围是 ．
17.已知a ＜3，b ＞3，且1a b k +=-，
ab =3,则k 的最小整数值是_____________．
18.若30350x y z x y z ++=+-=，
， 且x 、y 、z 均为非负数，则542M x y z =++
的最大值为________.
三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)
19.已知在△ABC 中，∠ACB =90 ，AC =BC =4,现将一块边长足够大的直角三角
板的直角顶点置于AB 的中点O ，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点O 按顺时针方向旋转一个角度 0(α＜α＜90
），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：
（１）线段BH 与CK 具有怎样的数量关系？四边形CHOK 的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（２）连接HK ，设ＢH ＝x ,
①当△CKH 的面积为3
2时，求出x 的值； ②试问△OKH 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x 的值，若不存在，
请说明理由．
20.某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割水稻，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：
(1)设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 关于x 的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由。

2007年全国初中数学竞赛初赛（海南赛区）
参考答案
一、选择题：
1、D ；
2、A ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
6、B ；
7、C ；
8、A ；
9、B ；10、A ．
1.提示：若m ≥0，则|m |+m =2m ≥0；若m <0，则|m |+m =－m +m =0，故选D ；
2.提示：由左天平知a ＞b ，由右天平知b ＞c ，∴a ＞c 故选A ；
3.提示：由已知条件和选项B 不能保证△ACB ≌△ACB ′，从而无法推出AB =AB ′，故选B ；
4.提示：依题意知（a －b ）2=1，∴a 2－2ab + b 2=1，又∵a 2+ b 2=13，∴2ab =12，∴（a +b ）2=a +2ab +
b 2=13+12=25，故选C ；
5.由已知条件得m 2－2006m +1=0，∴m 2－2005m = m －1，m 2+1= 2006m ，于是原式=m －1+20062006m +3=－1+1m +3= 2+1m m m -+3=2006m m m -+3=3005+3=2008，故选D ；
6.提示：每隔3cm 剪一刀共剪72÷3－1=24－1=23（刀），每隔4cm 剪一刀， 共剪72÷4－1=17（刀），所以应共剪23+17=40（刀），但其中重复位置的刀数为： 72÷12－1=5（刀），因此互不重复的刀数为40－5=35（刀），所以72cm 长的绳子 按要求被剪的段数为35+1=36（段），故选B ，
7.提示：因为每份菜单价为别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），共9种菜，所有符合要求的购菜方案为：1+9，2+8，3+7，4+6，1+2+7，1+3+6，1+4+5，2+3+5，1+2+3+4，共9种，又共有92人就餐，∴92÷9=10…余2，故选C ；
8.提示：从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体，
各位置上小正方体的个数如图所示，故选A ；
9.提示：分别延长BD ，CE 相交，则交点即为点A ，由三角形
中位线的性质知DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B =180°－∠C －∠A
=180°－120°－26°=34°，又由轴对称的性质知∠A ′DE =∠ADE =34°， ∴∠A ′DB =180°－2×34°, ∴∠A ′DB =180°－2×34°=112°,故选B ；
10.提示，分别画出函数2
2y x x =-和2y
x
=（x ＞0）图象 （如图所示），因为函数22y x x =-和2y x
=的图象在第一 象限内无交点，因此，方知222x x x
-=无正数根，故选A ． 另解：令2x －x 2=0，解得x 1=0，x 2=2，易知方程222x x x -=的 正数解x 的值的范围应是0<x <2，而此时2x －x 2=－（x －1）2+1≤1，
2x ＞1，因此，原方程无正数解。

二、填空题：
11.10；12.60°或120°；13.12；14.34
；15.16；16.24＜x ＜38；17.－；18.130．
11.－10，提示：+3〔－π〕=2+3（－4）=2－12=10；
12.60°或120°，提示：作⊙O径AB，连结AC，则在△ABC中，AB=4，BC
∠C=90°，∴∠A=60°，设BC所对的圆周角为∠P.当∠P的顶点P在BAC上时，∠P=∠A=60°，当∠P的顶点P在劣弧BC上时，∠P+∠A=180°，∴∠P=120°；
13.1
2
，提示：画出树状图求解，答案为
1
2
；
14.3
4
，提示：延长AD到E，使DE=AD=2，连结BE，则△BDE≌△CDA，
∴BE=AC=3，又AE=4，AB=5，显然△AEB为Rt△，∠E=90°，∴tan∠BAD=BE
AD
=
3
4
；
15.16，提示：设自始至终需x小时，由于每个工人的装卸速度相同，且工作时间是等
差递减的，因此，这些工人的装卸时间的平均数为1
2
·（x+
1
4
x）；于是得：
方程1
2
·（x+
1
4
x）=10．
16.24<x<38，提示：分别求线段AB、BC与线段OD的交点的横坐标．
17.6. 提示：∵a＜3，b＞3，∴a－3＜0，b－3＞0,∴(a－3)(b－3)＜0，
∴ab－3(a+b)+9＜0，又∵a+b=k－1，ab=3，代入上述不等式，得3－3(k－1)+9＜0，解得k>5．
18.130，提示：由
30
350
x y z
x y z
++=
⎧
⎨
+-=
⎩
用x来表示y、z，得y=40－2x，z=x－10，
又由y≥0，z≥0，得
402x
x
-≥0
⎧
⎨
-10≥0
⎩
解得10≤x≤20，又把y=40－2x，z=x－10代入M=5x+4y+2z
得，M=－x+140，显然M是关于x的一次函数，且M随x增大而减小，所以当x=10时，M 的最大值为130．
三、解答题：
19.（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC 面积的一半.
理由如下：连结OC∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB；
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，
∴∠COK=∠BOH=α,∴△COK≌△BOH，
∴BH=CK，S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=1
2
S△ABC=4.
（2）①由（1）知CK=BH=x，∵BC=4，∴CH=4－x，根据题意，得1
2
CH·CK=
3
2
，即(4
－x）x=3，解这个方程得x1=1，x2=3，此两根满足条件：0＜x＜4所以当△CKH的面积为3 2
时，x的取值是1或3；
②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：
S=4－S△CKH=4－1
2
x（4－x）=
1
2
（x2－4x）+4=
1
2
（x2－2）+2
当x=2时，函数S有最小值2，
∵x=2时，满足条件0＜x＜4，
∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2.
20.（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为
（30－x）台，派往A、B地区的甲型收割机分别为（30－x）台和（x－10）台.
∴y=1600x+1200（30－x）+1800（30－x）+1600（x－10）=200x+74000（10≤x≤30）（2）由题意，得200x+74000≥79600,解得x≥28，
∵10≤x≤30，x是正整数
∴x=28、29、30
∴有3种不同分派方案：
①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；
②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；
（3）∵y=200x+74000中y随x的增大而增大，
∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元.。