翼教版八年级数学下册微专题教材P154数学活动——中点四边形测试题

微专题：教材P154数学活动——中点四边形
1．(2017·秦皇岛青龙县期末)阅读下面材料：
数学课上，老师让同学们解答课本中的习题：如图①，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点，猜想四边形EFGH的形状并证明自己的猜想．
小丽在思考问题时，有如下思路：连接AC.
结合小丽的思路作答：
(1)若只改变图①中的四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小丽思考问题方法，解决以下问题：
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明．
②当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形？直接写出结论．
2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，易知中点四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD的对角线__________时，四边形EFGH是矩形；
(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)．
参考答案与解析
1．解：(1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC .∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴
EF ∥AC ，EF ＝12AC ，同理：GH ∥AC ，GH ＝12
AC ，∴EF ∥GH ，EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形． ①结论：当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，由(1)得四边形EFGH 是平行四边形．∵
E ，
F 是AB ，BC 的中点，∴EF ＝12AC ，同理：EH ＝12
BD ，∵AC ＝BD ，∴EF ＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形．
②结论：当AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 是正方形．
2.解：(1)相互垂直
(2) 四边形EFGH 是菱形．证明如下：如图，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋
∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BP ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，
∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12
BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．
(3)四边形EFGH 是正方形． 解析：设AC 与BD 交于点O ，AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴菱形EFGH 是正方形．
易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围
——类比各形式，突破给定范围求最值
◆类型一 没有限定自变量的取值范围求最值
1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为________．
2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法12】( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－1
3．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．
◆类型二 限定自变量的取值范围求最值
4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】(
) A ．0，－4 B ．0，－3 C ．－3，－4 D ．0，0
5．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )
A ．有最小值34，但无最大值
B ．有最小值34，有最大值1
C ．有最小值1，有最大值194
D ．无最小值，也无最大值
6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )
A ．1，－29
B ．3，－29
C ．3，1
D ．1，－3
7．已知0≤x ≤1
2，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．
◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围
8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )
A ．－1≤y ≤5
B ．－5≤y ≤5
C ．－3≤y ≤5
D ．－2≤y ≤1
9．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )
A ．y ≥3
B ．y ≤3
C ．y ＞3
D ．y ＜3
10．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值
C
A ．y ＜0
B ．0＜y ＜m
C ．y ＞m
D ．y ＝m
11．二次函数y ＝2x 2－6x ＋1，当0≤x ≤5时，y 的取值范围是______________．
◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
12．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为( )
A ．－2
B ．1
C ．2
D ．9
13．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
14．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
15．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.
16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.
参考答案与解析
1．5 2.C
3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13
. 4．A 5.C
6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.
7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y
随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－22＋2＝－2.5. 8．C
9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.
10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12
，所以a －1＜0.当x ＜12
时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32
.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.
12．A
13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2
＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－42
4a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.
14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1
≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.
综上所述，a≤5.故选D.
15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a
4
.∵a≥4，∴x＝
3a
4
≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，
y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.
16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a
2×1
＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。