怎么计算运算速度

运算的时间当量
1、一些行为实验已经揭示出数字和空间有紧密的联系。

对数字和空间相互关系最经典的实验之一是Deheane 等关于空间- 数字反应编码联合效应的实验( spatial - numericalassociation of response codes effect 简称SNARC) 。

在实验中,要求被试判断奇偶数字,而忽视数字本身的大小,结果发现不管是奇数还是偶数,对于较小的数字总是左手比右手反应快,较大的数字则是右手比左手反应快。

Deheane 对此的解释是:人们在心理上倾向于把数字表征为一条从左到右的“心理数字线”,因此出现了左手反应对应于小数和右手反应对应于大数的这种对应关系。

2、经过大量练习后，被试可以从长时记忆系统中直接快速地提取答案。

这种情况下，被试不需要在语音环路中储存和保持加数、被加数和答案的信息。

简单乘法运算知识（如，“九九乘法表”）是通过反复背诵获得的，因此它们的信息表征形式或加工可能会具有更多的语言特征。

3、对运算策略和工作记忆关系的研究表明，应用不同的运算策略（如计数，分解或提取）可能需要不同的语音环路资源。

5、Fürst和Hitch以两个三位数的加法的生成任务为实验材料，来研究语音环路在多位数加法运算中的作用。

在实验中，Fürst和Hitch 对加法任务的视觉呈现时间进行了操作，即将呈现时间分为两种：短时间呈现（4000ms）和无呈现时间限制（即信息保持到被试按键做出反应后消失）。

对错误率进行分析的结果表明：语音任务干扰短时
间呈现的多位数加法任务，但对无呈现时间限制的多位数加法任务不产生影响。

Fürst和Hitch还发现，在语音任务条件下，进位次数的增加使得被试出现了更多的错误。

Rammelaere降低复述速度的严格要求（如连续而大声复述）后，语音任务仍然延迟了多位数加法的反应时间和增加了运算的错误率。

值得注意的是，Rammelaere首次在实验中对进位次数和进位数值两个变量进行了区分，结果发现：进位数值和语音环路的负荷交互影响多位数加法的运算，但进位次数和语音环路负荷并不交互影响多位数加法运算。

从上述研究表明，语音环路参与多位数加法运算，而且也参与多位数加法运算的进位操作，如用于保持进位数值。

Noë和Désert 等的研究为语音环路参与多位数加法运算提供了更为直接的实验证据，他们发现被加数和加数中数字的音素特征越相似，多位数加法（呈现时间为1500ms）的时间越长，错误率也越高。

6、De Rammelaere区分这两个变量后，发现：进位次数与语音环路负荷不存在显著的交互作用，与中央执行系统的负荷存在显著的交互作用。

相反，进位值与语音环路负荷存在显著的交互作用，与中央执行系统负荷不存在显著的交互作用。

这些结果说明，进位次数的增加直接增加了中央执行系统的负荷，而进位值的增加则更直接地增加了语音环路的负荷。

7、一种观点认为，与不进位的算术运算（如，“23+34”）相比较，进位的算术问题（如“29+34”）要执行较多的运算步骤。

如，将提取“9+4=13”加到十位数“2+3”上，而不是其他位置上。

由于进位问题增
加了需要中央执行系统协调的步骤数，所以进位次数越多就需要中央执行系统进行更多的协调。

尽管我们尚不完全清楚RLG任务的中央执行成分，但是进位需要利用中央执行系统资源是可以肯定的。

我们以一个算式到运算的结果中，出现数码的个数来判定运算的速度，数码出现越多，则表示运算的时间越长。

运算的心理过程：编码（表征）－运算（提取）——反应（输出结果）。

因此运算的时间分成三个部分，即编码时间，运算时间，反应时间。

8、真正从认知心理学角度探讨心算的研究可追溯到1972年Groen和Parkman⋯的研究，Groen和Parkman及其后继者在试图解释心算的加工机理方面发现了心算活动的两种加工方式：直接从长时记忆中提取算术知识与算术运算。

大体而言，对于一简单的心算，如9+6、3×5等，我们可以很快脱口而出，这就是从长时记忆中直接提取答案，对于长期接触计算的人而言，这种心算究其实质仅仅只是一种记忆提取，谈不上是思维活动；但对于434+87、26×38这样的心算，如果我们并没有记住它的现成答案，那只能通过一定的运算程序进行计算才能得到答案。

这个运算程序的完成过程就是一个思维过程。

9、1956年，美国的心理学家乔治·米勒发表了一篇具有里程碑意义的论文《神奇的数字：7±2：我们信息加工能力的局限》，这篇文章掀起了对现代心理学发展至关重要的“认知革命”。

米勒提出，对大多数人来讲，短时记忆的限度就是7±2，一旦超出这个限度，我们就很难一下子把东西记住。

10、Dehaene等ll 曾从另一角度探讨了心算不同加工方式的脑活动差异，他们具体比较了精算(exact arithmetic)和估算(approximatearithmetic)两种情况下的脑加工模式。

所谓精算是指，先呈现一道算术题(如4+5)，然后给出两个备选答案，备选答案中有一个正确答案(9)和错误答案(如7)，被试必须选择这个正确答案；所谓估算，也是先呈现一道算术题(如4+5)再给出两个备选答案，所不同的是，备选答案中不给出正确答案，其中一个与正确答案十分接近(如8)，另一个相隔较远(如3)，被试应选择与正确答案最接近的那个答案(即8)。

首先，fMRI研究发现这两种心算过程的脑激活模式有所不同。

在精算活动中，左半球前额叶下部、前扣带回以及左右脑角回等脑区存在明显激活(其中以左半球前额叶下部激活最突出)，这些脑区都是与语言功能有关的脑区；而在估算活动中，大脑左右两半球顶叶的顶内沟、中央前沟、左脑额上回、右脑楔叶、小脑左侧等脑区存在明显激活(其中以左右两侧的顶内沟激活最突出)，这些脑区均与视觉空间信息加工有关，而与语言功能关系不大。

采用脑事件相关电位技术(ERP)进一步发现，精算和估算的脑活动差别在题目出现后的300毫秒之前已经出现。

由于这种差异出现在备选答案呈现之前(备选答案在题目出现400毫秒后呈现)，可以肯定上述脑活动差异是由两种不同的心算加工方式引起，而不是由于题目呈现之后再呈现备选答案时被试选择答案时所引起的。

11、心算天才者表现得与众不同确实与一些特定的脑区活动有关，这些特定的脑区活动能够将费时费力的以短时记忆为中介的加工方式
转化为直接高效的情景记忆编码和提取，自动运用合适的计算算法，同时监控这一计算过程。

这一系列过程与如上所述的右脑特定脑区有关。

从心理活动方式来看，也表明存在长时工作记忆(1ong—term working memory)方式，心算天才通过这一方式直接以情景记忆的编码和提取策略准确高效地完成了一般人难以企及的复杂心算题目。

因为数字表征与数字的长度有关，一般的7位数以内的数字编码为一个时间单位，反应的结果也是7位数以内为一个时间单位。

因为这两个环节都与工作记忆有关系。

如果我们只讨论7位数以内的运算，可以规令，总位数为7位以内则，，编码与反应的时间为0，如果总位数大位7位小位14位即，编码时间即与反应的时间当量总和为1。

总位数超过14位小位18位，则编码时间与反应时间当量即为2，总位数超过18位小位22位位数相加减，即编码时间与反应时间当量即为3，
我们现在假令一位数加0，减0，时间当量为0乘以任意位数，0除以任意位数，时间当量也为0。

一个数，乘以1或除以1的时间当量也为0，两个相等的数相减或相除时间当量也为0，因为这些结果都不须运算，可以从脑中直提取。

实际上这个过程大脑并没有运算，而是记忆而己。

两个一位数相加我们定义时间当量为1。

多位数相加，如果无进位，时间为最少的位数个数乘以一个时间单位。

1356+321，则我们可以运算时间为算出时间为3个单位。

编码时间为1个时间单位，反应即为5/7个时间单位。

总耗时为4+5/7个时间单位。

根据认知心理学的运算，在多位数加法运算过程中，个位、十位、百位上的数字相加的运算程序（记忆）将首先被启动，因此执行进位时首先需要打断已经启动的运算程序（记忆），即抑制已经启动程序（记忆），程序回忆的时间可以认为是1。

由于运算程序具有很强的启动优势，所以在运算过程中会经常出现忽略进位的错误。

因此如果有进位，则除位数相同的首位与首位有进位以外，其余每一个进位便增加2时间单位。

程序暂停－进位－程序再启动。

例如：968+264，时间当量为3+4＝7个时间单位。

首位除外。

因为每个算式的的编码与结果的反应时间都是一样的，因此我们只讨论运算过程中，运算的时间过程。

加法运算的原理：36+78＝114，运算的时间为2+2＝4个时间单位。

如果36+78＝42—+78或36+82—＝114运算时间即只有3。

我们把36+78＝42—+78或36+82—，时间当量为1。

因为全过程，包括了编码，与反应，因此实际增加的时间比为，7/6，即提高一倍多。

转化为负补数形式，每个数连续的负号，只记运算一次。

如对于698463+568389＝1266852
运算的时间当量为，6+8＝14
如把算式写成：698463+63—2—41—1—＝1266852
即运算的时间当量为，6即运算速度提高了14/6倍。

实际增加时间比为，（14+3）/（6+3）＝17/9即速度即度提高了一倍。

两数相减如不须退位，运算时间当量以减数的位数乘一个时间单位。

如983-12＝971，运算过程没有退位，因此运算的时间当量为2。

如543-87＝456，因为在运算的过程中有两个退位，退位与进位一样，每一个退位会增加2个时间单位。

因此运算的时间当量为，2+4＝6全过程。

如果543-87＝54—4—＝456则运算的时间当量为2。

即运算速度提高了6/2＝3倍。

实际运算过程即提高了3+6＝9，2+3＝5，9/5即提高1.8倍。

12、心算涉及一系列的认知加工环节。

一般认为心算的加工环节主要包括三个部分：编码（表征）、运算（或提取）和反应（给出答案）心算的输入、编码、提取等阶段并不是相互独立的依次进行
13、实验记录了同一任务在两种输入条件下反应时，并计算出二者的差异。

结果显示乘法任务中，言语反应时是阿拉伯数字反应时的2.5 倍，两者相差335ms。

相比之下，比较任务中言语数字的反应时仅比阿拉伯数字长140ms。

这样，言语乘法中近200ms 的反应时是不能用编码阶段的耗时差异来解释的，研究认为数字输入方式的不同不仅影响心算的编码阶段，而且还影响随后的心理操作。

14、简单心算问题的解决主要是从长时记忆中直接提取出答案，主要激活顶内沟以及语言环路相关的角回等脑区，而对于复杂的心算问题，则需要工作记忆的参与，主要激活左脑的额叶下部以及右脑负责视空间表征的区域。

15、于减法和乘法运算拥有不同表征方式：乘法主要运用听觉的言语表征方式，因此受到语音环路次级任务的影响，而减法主要依赖视空间表征和与心理数字线相关的近似数量表征，因而视空间次级任
务对其的影响比较大。

这一结论得到的神经成像研究的证实。

与减法相比，乘法运算主要激活了左脑外侧裂周围的语言区。

神经心理学的研究也显示，左脑外侧裂周围脑区受损的被试的乘法和除法能力也严重不足，却相对保留了加法和减法运算。

16、复杂的乘法心算活动也存在视觉空间表征，而不单独依赖言语表征。

因此在比较各种运算方式之间的神经基础时，应该将提取和运算分开，即将简单的可以直接提取出答案的问题与复杂的运算分开，否则将无法区分运算类型和运算方式之间的差异。

17、因为减法的掌握是在加法的基础上获得的，因此，加法和减法并不存在各自独立的加工区域，而是在一些共同神经基础之上有所不同。

18、各种运算方式的神经基础并不完全分离，而是以一些脑区为共同基础，不同运算方式又涉及不同的神经网络。

19、所谓精算（exact arithmetic）是指给出算术问题的准确答案，而估算（approximate arithmetic）则只需要给出近似的答案或从备选答案中选出最接近正确答案的选项。

相对于前者，后者只需进行粗略的计算即可。

精算主要依赖言语表征，而估算则较少依赖言语表征
20、采用脑事件相关电位技术分析发现，精算和估算的脑活动差别在题目出现后的300ms之前已经出现。

由于这种差异出现在备选答案呈现之前（备选答案在题目出现400ms后呈现），可以肯定上述脑活动差异是由两种不同的心算加工方式引起，而不是由于题目呈现之后再呈现备选答案时被试选择答案时所引起的。

因此，精算活动依
赖于特定的言语表征，主要在左半球前额叶下部脑区完成；估算活动依赖于数的视觉空间表征，主要在左右顶叶的顶内沟完成。

21、珠算能手能立即将数字串转化为心理算盘，进行形象加工，这样他们就可以根据内部的算盘形象直接进入探测位置，反应时也大大缩短，而普通被试只能通过言语编码，进而进行系列加工，反应时也就会随探测位置的增加而增加。

因此，经过珠算技能训练的人具有与普通人不同的数字加工模式，前者更多利用了是空间的信息表征方式。

22、珠算能手与一般心算天才既有相似的地方，也分别具有各自的特点。

两者都很少依赖容量有限的短时记忆，而是运用特定的视觉表象从长时记忆中对数字信息进行编码和提取。

所不同的是，珠心算者的特定表象来自“心理算盘”，而一般的心算天才则从丰富的情节记忆中建构适合自己的特定视觉表象来帮助运算，两者都明显依赖大脑右半球。

23、对于数字进行表达和推理的能力是人类头脑中遗传结构的一部分。

人类拥有特异性的智力装置机制，而且这一机制也是由自然选择所进化而来的，与其它种属动物所共有
24、解决算术问题需要几种不同的认知成分：首先，算术知识（如5×2，或是6＋3）是被储存在长时记忆中并从那儿直接提取出来的[12]。

其次，程序性知识指导多位数运算的算法和步骤[13]。

第三，概念性知识是理解算术运算操作和规则的基础。

25、在初等数学领域，认知神经科学家假定至少存在两种数字表征方式：一种是以语言为基础的模式，用来储存精确数学知识（如乘法表）；一种是不依赖于语言系统的模式，它呈现数字的大小，用于数量运算和近似估计。

26、Groen与Parkman[16]提出了问题大小效应和一致性效应。

问题的大小效应是指解决问题所用时间和错误率都随着问题所涉及数目的增大而增加。

一致性问题是指具有两个相同的操作数的运算，如2＋2或是3×3。

一致性效应是指相对于同类运算，一致性问题解决速度较快。

Gallistel和Gelman[17]给出了关于一致性效应的基于编码的解释。

他们认为，问题的操作数必须和头脑内部的一条数字线进行匹配，而对于一致性问题，因为两个操作数具有同样的心理数量表征，匹配只需要进行一次，他们将一致性效应归因于对于操作数的心理表征的激活。

后来，Blankenberger[18]据实验提出了修正，将一致性效应归因于早期的视觉加工。

27、国际在线消息：日前，在德国著名算术家亚当·里斯工作和居住过的安纳贝格-布赫霍尔茨，举行了第一届世界心算大赛。

英国人罗伯特·方丹获得了“世界心算冠军”的称号。

据德国《明星周刊》2004年10月31日报道，你能用1分30秒心算出两个4位数相乘的结果吗？如果你能在规定时间内得出正确的结果，那你就满足了参加世界心算比赛的最低要求。

10月30日，来自11个国家的17名心算大师参加了这次比赛。

在规定的10分钟内，选手们必须算出10个十位数的加法运算、两个八位数间的乘法
运算和1个六位数的开平方运算。

除此之外，选手们还要面对两个附加题和1个日历计算题。

经过激烈的角逐，英国人罗伯特·方丹获得了冠军，第二名和第三名分别被印度人拉曼兰·沙和荷兰人凡·柯尼希费尔德获得。

运算绝对速率
一个算式普通运算次数与运用速算方法的运算次数的比，即为速算运算的绝对速率。

这个比值说明了速算方法速度是普通运算速度的倍数。

这个倍数减1即是提高的倍数。

或者说是相对速率。

绝对速率或相对速率越大则说明说明速算运算的速度越快，同时也说明这个方法越好。

这也是评估一种运算方法优劣的标准。

58+63=11·11=121（3次）
62—+63=12·1=121（2次）
即相对的速度3/2=1.5 1.5-1=0.5即速度提高了50%
396+875
=404—+875=1271（2次）
=396+92—5—=1271（3次）
=11·16·11=1271（5次）
绝对速率为5/2=2.5，（2.5-1.5）*100%==150%相对速率即为150%
运算次数，乘1，除以1，加0，减0，减以0为几位算几次。

乘0，除以0不管几位，算1次。

其余两数码，乘，加，减算1次。

进位，退位加1次。

乘首位进位算0次。

对于除法次数的计算即是除法运算过程中，适及试商的乘的次数须加倍，加1，进位，退位，减的运算次数的总和。

如3695/35=105……20。

4+7+3=14次
739/7=105 (4)
4*5=20
次数计算，14次。

1、对于，10以内的加减，乘，流程是，2步，即从编码到长时记忆然后可以答案。

2、而对于两位数相加，如果没有进位，则流程是，编码到长时记忆，对位相加程序处理，两位即从长时记忆库中提取两次，然后由程序处理系统输入到工作记忆系统。

再到最后的答案。

共5步。

无进位，则到于两个n位数相加，每增加一位增加则增加一次从长时记忆中提取结果。

即是n-1+4即为，n+3步，n大于或等于2。

3、对于有首位有进位的两位数相加，则流程是，编码到长时记忆，到程序处理，再到工作记忆，再返回长时记忆，然后进行第二位的相加（长时记忆，到程序处理）再到工作记忆，最后到答案。

即共经历了8步，才到答案。

第一个进位使得步骤增加3，因此两个n位数相加，如果除最高两位进位外，如果有m次进位，则其步骤增加 3m,即共有n+3+3m步。

基中m小于或等n-1。

这个n位，是只可以对齐的位数，如果是一个工位数加位数，则取少位数为标准。

另外一个数加零，步骤数为1。

数学运算技能或能力既是人类日常生活中所必需的生活基本技能或能力，也是进一步学习抽象数学知识的基础。

数学运算通常需要较多的工作记忆资源[1,2]，但是数学运算和工作记忆的研究长期处于一种分离状态。

现代心理学的研究开始打破这种界限，尝试将数学运算和工作记忆联系起来进行研究。

1 研究起源及其方法
工作记忆系统为复杂任务（如言语理解、学习和推理）提供临时的存储空间和加工的信息来源。

目前，尽管心理学家提出了很多的工作记忆模型[3]，但是Baddeley和Hitch（1974）提出的三成分工作记忆模型在数学运算研究领域得到了广泛的应用[4]。

该系统由三个成分组成：语音环路（the phonological loop）、视觉空间模板（the visual spatial sketchpad）和中央执行系统（the central executive system）*。

其中，语音环路和视空间模板分别存储和保持语言信息和视觉空间信息。

中央执行系统类似于一个注意控制系统，它与集中注意、计划、行为控制、提取有着密切的关系[5~7]。

由于工作记忆和短时记忆的历史渊源，所以有关工作记忆和数学运算关系的研究起源可以追溯到更早的短时记忆研究。

1959年，Peterson和Peterson通过插入三位数的倒计数任务来阻止被试的复述短时记忆项目[8]，其本质上符合工作记忆的信息存储和加工的同时性特点。

这一研究方法后来逐步发展为工作记忆作用研究的双任务
（dual-task）范式，并在有关工作记忆与数学运算关系的研究中被广泛采用。

双任务范式是要求被试完成一项主任务（如证实算术加式是否成立）的同时完成另一项负荷于工作记忆子系统的次级任务（secondary task），如语音任务（articulatory suppression）和保持特定的记忆项目。

其基本实验逻辑是：如果含有工作记忆成分的次级任务干扰了主任务的完成，那么就可以推断主任务和次级任务需要利用共同的工作记忆成分。

否则，就可以推断主任务的认知过程不需要该工作记忆成分的参与[9]。

双任务范式可通过实验来确定不同的工作记忆成分在认知技能中的作用，但是次级任务所含工作记忆成分的单一性将影响到实验推断的正确性。

2 简单算术运算和工作记忆
简单算术运算是指参与运算的数介于2和9之间的基本运算。

有关研究主要解决语音环路、视空间模板和中央执行系统是否参与简单算术运算，以及如何参与的问题。

2.1 语音环路和简单算术运算
最早对语音环路是否参与简单算术运算进行研究可以追溯到Lemaire和Abdi等所做的工作[9]。

此后的二十多年来，研究者一直尝试确定语音环路是否用于储存和保持简单算术运算的信息。

算术认知模型研究表明，不同的算术运算（如，加、减、乘、除四则运算）可能会激活不同的表征形式和神经通路[10]，因此，将一种运算上得到的实验结果简单地推广到其他类型的运算上。

虽然对简单算术运算进行的实验报告在增加，但是至今为止还没有见到对工作记忆和四种
基本运算的关系进行系统的研究。

为此，我们将以基本算术运算类型作为线索来回顾已有的文献。

双任务范式的研究中，通常以语音任务作为语音环路负荷的次级任务。

早期的实验研究对语音复述速度的要求非常严格，如，Lemaire 和Abdi等要求被试以两秒钟一个单词的速度复述“the”。

结果表明：语音任务影响真等式的证实，但并不影响假等式的证实[9]。

对复述速度做出非常严格的要求可能导致语音任务中含有中央执行成分，如控制或保持一个恒定的发音速度。

为此，De Rammelaere和Stuyven 等在实验中只要求被试大声且快速地复述“de”（荷兰语），降低复述速度的要求消除了语音任务在真等式上产生的干扰效应[11]。

在后续的研究中，研究者延续了这种言语复述速度的要求，这样做可以较好地保证了语音任务所含复述成分的单一性。

De Rammelaere等人进一步证实了语音任务并不影响简单加法运算。

实际上，经过大量练习后，被试可以从长时记忆系统中直接快速地提取答案。

这种情况下，被试不需要在语音环路中储存和保持加数、被加数和答案的信息。

[12,13] 除简单加法运算外，研究者还对简单乘法、减法运算进行了研究，但是对于语音环路是否参与这两种算术运算，研究尚未得到一致的结论。

如，Seitz和Schumann-Hengsterler应用白噪音任务和语音任务两项次级任务来分别增加语音环路的负荷，要求被试完成简单乘法的证实任务（verification task）。

结果表明：两种语音环路负荷的次级任务并不干扰简单乘法运算[14]。

但是，Lee和Kang发现，复述非词的字母串（如，kfgtrm, kfgtrm）显著干扰乘法运算[15]。

两。