天津市五区县高考数学二模试卷文科含答案解析

2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕
一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．i 是虚数单位，复数 =〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、
丙、丁四个社区做分层抽样调查． 假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员
96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为
12，21，25，43，那么这四个
社区驾驶员的总人数
N 为〔
〕
A ．
101B ．808
C ．1212
D ． 2021
3．命题p ：? x∈R，sin2x≤1，那么
〔
〕
A ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0≥1
B ．￢p ：?x∈R，sin2x≥1
C ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0＞1
D ．￢p ：?x∈R，sin2x ＞1
4．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔
〕
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
F P
F 为圆心，以 | F 1F2| 5．双曲线C 的左右焦点为F1，
2，双曲线右支上任意一点，假设以 1
为半径的圆与以P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么C 的离心率为〔
〕
A ．
B ．2
C ．4
D ．
6．如图，圆O 的直径AB
长度为10，CD 是点C 处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=
〔
〕
A ．
B ．
C ．
D ．
7
f x 〕 =
sin2x
+
cos2x 的图象关于点〔 ab 〕成中心对称图形，假设 a
．函数 〔
+ ， ∈
〔﹣ 0 〕那么ab= 〔 〕
， +
A ．π
B ．
C ．
D ．0
8
fx
=
gx
=ax 3a0
0 ，假设函
数 〕
﹣ x1∈[，
．函数〔
〕
〔 +〔＞〕，假设对?
1
x 2∈[0， ]，使得f 〔x 1〕=g 〔x 2〕成立，那么实数 a 的取值范围是〔
〕
]，总?
第1页〔共19页〕
A．〔﹣∞，6]B．[6，+∞〕C．〔﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞〕
二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..
2
xa=0无实根的概率901a x的一元二次方程x﹣+
．从区间[，]上随机取一个实数，那么关于
为_______．
10．一个几何体的三视图〔单位：m〕如下图，那么此几何体的外表积为_______m2
11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，那么输出的S的值是
_______．
12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是_______．
13O
是△ABC的外接圆的圆心，假
设
AC=3
，?
=2，那
么
AB=_______
．
．
14f x
〕=，假设函
数
y=f x
〕﹣
ax1a
．函数〔〔+恰有两个零点，那么实数的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6小题，总分
值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：
食物类型甲乙丙
维生素C〔单位/kg〕300500300
维生素D〔单位/kg〕700100300
本钱〔元/kg〕543
某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．
第2页〔共19页〕
〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为 xkg ，ykg ，100﹣x ﹣ykg 〔x ≥0，y ≥0〕，试列出
x ，y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域； 〔2〕用x ，y 表示这100kg 混合食物的本钱z ，求出z 的最小值．
16
ABC
的三个内角
A
， B ， C
所对的边分别为
abc
ac
sinAcsinC
﹣
．△
，，
，且〔﹣〕
+
bsinB=0．
〔1〕求B 的值；
2 〕求 sinAsinC 的最大值及此时 A ， C 的值．
〔 +
17．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥
AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；
2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．
18．椭圆 C ： +
=1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆
C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点． 1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；
2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、 BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．
（ 19．函数 f 〔x 〕=ax 2
﹣lnx 〔a ∈R 〕
1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．
20 a n }与{b }满足：①a b 1=b 0 ② k 2 ﹣+b ﹣ ≥0 ，那么a
， ， 当 ≥ 时，假
设 ．数列{ ＜ ＞
﹣1，b k = ；假设a k ﹣1+b k ﹣1＜0，那么
a k = ，
b k =b k ﹣1．
〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；
〔Ⅱ〕设 S a b 2﹣
ab a S a b 表示〕；
n =〔 b 1﹣1〕+〔 2〕++〔 n ﹣n 〕，求 n 〔用 ，
第3页〔共19页〕
〔Ⅲ〕假设存在n ∈N *
，对任意正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k ﹣1＞b k ，求n 的最大值〔用a ，b
表示〕．
第4页〔共19页〕
2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．i是虚数单位，复数=〔〕
A．B．C．D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把分子利用虚数单位i的运算性质化简，然后分子分母同时乘以分母的共轭复数化简得答案．
【解答】解：，
应选：D．
2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、
丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员
96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，那么这四个
社区驾驶员的总人数N为〔〕
A．101 B．808C．1212D．2021
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．
【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12
∴每个个体被抽到的概率为=
样本容量为12+21+25+43=101
∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808
应选B．
3．命题p：?x∈R，sin2x≤1，那么〔〕
A．￢p：?x0∈R，sin2x0≥1B．￢p：?x∈R，sin2x≥1
C．￢p：?x0∈R，sin2x0＞1D．￢p：?x∈R，sin2x＞1
【考点】命题的否认．
【分析】根据全称命题的否认是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，那么命题的否认
为：：?x0∈R，sin2x0＞1，
应选：C．
第5页〔共19页〕
4．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔 〕
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
【考点】对数值大小的比拟．
【分析】由条件利用对数函数和指数函数的单调性能比拟 a ，b ，c 的大小关系．
【解答】解：∵﹣1=
＜a=log2＜log1=0，
∴b=log 0.3=
a 2
＜，
0＜＜0
=1， b ＜a ＜c ． 应选：D ．
5．双曲线 F P
F
为圆心，以
|F 1F 2|
C 的左右焦点为F 1， 2，双曲线右支上任意一点，假设以 1
为半径的圆与以 P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么
C 的离心率为〔
〕
A ．
B ．2
C ．4
D ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据两圆相切的等价条件，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：设两圆相切时的切点为 A ， |F 1F 2|=c ，∴PA=c ，
|PF 1|﹣|PF 2|=|PA|+|AF 1|﹣|PF 2|=|AF 1|=2a ，∵|AF 1|=c ， c=2a ，
即离心率 e= =2， 应选：B ．
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6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=
〔〕
A．B．C．D．
【考点】弦切角．
【分析】利用弦切角定理可得∠DCA=∠CBA，分别求出其余弦值，即可解得CD的值．
【解答】解：∵AB为圆O的直径，
∴BC⊥AC，cos∠CBA==，
又AD⊥CD，cos∠DCA===，
∵由可得：∠DCA=∠CBA，
∴cos∠DCA=cos∠CBA，可得：=，进而解得：CD=．
应选：D．
7．函数f〔x〕= sin2x+cos2x+的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，假设a∈
〔﹣，0〕那么a+b=〔〕
A．πB．C．D．0
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】利用两角和的正弦化简，由相位落在x轴上求得x值，可得a，b的值，那么答案可
求．
【解答】解：∵f〔x〕=sin2x+cos2x+=．
由，得x=．
∵a∈〔﹣，0〕，取k=0，得x=．
又f〔x〕的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，
∴，
那么a+b=0．
应选：D．
第7页〔共19页〕
8．函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=ax﹣+3〔a＞0〕，假设对?x1∈[0，
1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，那么实数a的取值范围是〔〕
A ．〔﹣∞6
]
B6∞
〕
C∞4D4∞，．[，+．〔﹣，﹣]．[﹣，+〕
【考点】全称命题．
【分析】函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈.
时，f〔x〕=，利用导数研究函数的单调性可得：f〔x〕∈．可得?x1∈[0，
1]，f〔x1〕∈[01gx
〕
=ax3a0
〕在[
]上单调递增，由于对，]．由于函数〔﹣+〔＞，
?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得〔fx1〕=g〔x2〕成立，可得[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，即可得出．
【解答】解：函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈．
时，f〔x〕=，f′〔x〕==＞0，∴函数f〔x〕
在上单调递增，∴ f〔x〕∈．
?x1∈[0，1]，∴f〔x1〕∈[0，1]．
gx
〕=ax
﹣
3a0
〕在[
]上单调递增，
由于函数〔+〔＞，
假设对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，
∴[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，
∴，解得a≥6．
应选：B．
二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..
第8页〔共19页〕
2
xa=0 无实根的概率
9
1
a
x 的一元二次方程
x
﹣+
．从区间[ ，]上随机取一个实数
，那么关
于
为 ．
【考点】几何概型．
【分析】根据关于 x 的一元二次方程
x 2
﹣x+a=0无实根，得到△
=1﹣4a ＜0，解得：a ＞
，
从而求出符合条件的事件的概率．
x 2
xa=0
【解答】解：假设关于 x
的一元二次方程 无实根，
﹣+
那么△=1﹣4a ＜0，解得：a ＞，
“
0 1
]上随机取一个实数 a
x
的一元二次方程
x 2
xa=0
〞
设事件从区间[
， ，那么关于
﹣+ 无实根为
事件A ，
那么P 〔A 〕=
= ，
故答案为：
．
10．一个几何体的三视图〔单位：
m 〕如下图，那么此几何体的外表积为
12π+12m 2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和三角形的面积公式求出此几何体的外表积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，
且底面圆的半径 r=3m 、圆锥的高是
4m ，那么母线l= =5〔m 〕，
∴此几何体的外表积
S=
=
=12π+12〔m
2
〕，
故答案为： 12π12
．
+
11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的
N 的值是10，那么输出的 S 的值是
．
第9页〔共19页〕
【考点】程序框图．
【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得
N=10，S=0，k=1
执行循环体，S=，
满足条件k≤10，执行循环体，k=2，S=+，
满足条件k≤10，执行循环体，k=3，S=++，
满足条件k≤10，执行循环体，k=11，S=++++，
不满足条件k
≤
10
，退出循环，输出
S=
+
=1
++〔﹣〕+〔﹣
〕++〔﹣〕+〔﹣〕=．
故答案为：．
12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是〔﹣∞，〕．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得|m|＜|1﹣m|，由此求得m的范围．
【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，∴f〔x〕的图象关于y轴对称．
∵f x
〕在[
，+
∞
〕上单调递减，∴
f
〔
x
〕在〔﹣
∞0
上单调递增，〔，]
假设f〔m〕＞
f〔1﹣m〕，那么|m|＜|1﹣m|，∴m＜，故答案为：．
第10页〔共19页〕
13．O是△ABC的外接圆的圆心，假设AC=3，? =2，那么AB=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】把=代入? =2，再转化为与的等式求解．
【解答】解：如图，
? =，
∵AC=3，
∴，那么，
∴AB=．
故答案为：．
14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，那么实数a
的取值范围是a≤0或1≤a＜2．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】作出函数f〔x〕=的图象，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，
即函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，利用图象，即可得出结论．
【解答】解：函数f〔x〕=，图象如下图，
函数y=f x
〕﹣
ax1y=f x
〕与
y=ax
﹣
1
恰有两个交点，〔+恰有两个零点，即函数〔
由图可得a≤0时，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，
1，1〕代入y=ax﹣1得a=2，∴1≤a＜2．函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，综上所述，a≤0或1≤a＜2．
故答案为：a≤0或1≤a＜2．
第11页〔共19页〕
三、解答题：本大题共6小题，总分
值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：
食物类型甲乙丙
维生素C〔单位/kg〕300500300
维生素D〔单位/kg〕700100300
本钱〔元/kg〕543
某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含
35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．
〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg〔x≥0，y≥0〕，试列出
x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；
〔2〕用x，y表示这100kg混合食物的本钱z，求出z的最小值．
【考点】简单线性规划．
【分析】〔1〕根据条件建立不等式关系，即可作出对应的平面区域．
2〕根据线性规划的应用进行平移求解即可．【解答】解：〔I〕因为x≥0，y≥0，
那么，
化简为，
结合100﹣x﹣y≥0，
可列出x，y满足的数学关系式为，
在xOy平面中，画出相应的平面区域如下图；
II〕这100kg混合食物的本钱z=5x+4y+3=2x+y+300，平面区域是一个三角形区域，顶点为A〔，25〕，B〔50，50〕，C〔75，25〕，
目标函数z=2x+y+300在经过点A〔，25〕时，z取得最小值400元．
第12页〔共19页〕
16
ABC
的三个内角 A
， B ， C 所对的边分别为 a bc ac
sinAcsinC
﹣
．△
，，
，且〔﹣〕 +
bsinB=0．
〔1 〕求B 的值； 2 〕求 sinA sinC 的最大值及此时 A ， C 的值．
〔 +
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】〔1〕根据正弦定理化简的式子， 再由余弦定理求出cosB ，由内角的范围求出
B ；
〔2〕由〔I 〕和内角和定理求出
C ，代入sinA+sinC 后利用两角和与差的正弦公式化简，利
用正弦函数的性质求出式子
sinA +sinC 的最大值，以及此时 A ，C 的值．
1
a c 〕 sinAcsinC ﹣ bsinB=0 ，
【解答】解：〔〕由得，〔﹣
+
根据正弦定理得〔 ac ac 2 ﹣ b 2
﹣
〕+
=0，
化简得b 2=a 2+c 2
﹣ac
由余弦定理得 b 2=a 2+c 2
﹣2accosB ，
所以cosB= ，
由0＜B ＜π得B=
〔II 〕由〔I 〕得：
C=π﹣A ﹣B=
，
sinA sinC=sinA
sin
〕
+
+〔
=
=
当
时，
所以当A= 时，且C= ，sinA+sinC 取得最大值
．
（ 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；
2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．
第13页〔共19页〕
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．
【分析】〔Ⅰ〕由PA⊥BC，PA⊥AC，得到PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥AB．
〔Ⅱ〕过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角，由此能求出直线BD与平面PACD所成角的正弦值．
〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BC﹣A 的平面角的正切值．【解答】〔本小题总分值13分〕
证明：〔Ⅰ〕因为PA⊥BC，∠PAC=90°，
即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，所以PA⊥平面ABC，
而AB?底面ABC，所以PA⊥AB．
解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，平面PACD⊥平面ABC，过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；
取AC的中点E，连接BE，DE，那么DE∥PA；
在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，
所以BE==，，
所以
因为DE∥PA，所以DE⊥平面ABC，BD==2，
在直角三角形△BDM中，，
即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为．
〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，
那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，
在△EBC中，，
那么BC==，
，，
，
即二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值为．
第14页〔共19页〕
18．椭圆 C ： + =1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为
4，以椭圆
C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点．
1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；
2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、
BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】〔1〕运用椭圆的定义和
a ，
b ，
c 的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程；
〔2〕设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，求得M ，代入椭圆方程，求得 P 的坐
标，求出直线BP 的方程，可得
N 的坐标，设Q 〔x Q ，y 0〕，求得向量QM ，QN 的坐标，运
用向量数量积计算即可得证．
【解答】解：〔1〕由椭圆定义可得
2a=4，又b=c 且b 2+c 2=a 2
，
解得a=2，b=c= ，即椭圆 C 的标准方程为 ，
那么圆O 的方程为 x 2+y 2
=2；
2〕证明：设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，令x=0可得M 〔0，2k 〕．
将
和 y=k
x2k 0
〔+〕〔 ≠〕联立可得
（ 2k 2+1〕x 2+8k 2x +8k 2﹣4=0，
第15页〔共19页〕
那么 ，
， ，
故 ，
直线BP 的斜率为 ，
直线BP ： ，
令x=0可得 ．
设Q 〔x Q ，y 0〕，那么
，
由
， ，
可得 ，
所以 ，即∠MQN 是定值90°．
19．函数 f 〔x 〕=ax 2
﹣lnx 〔a ∈R 〕
1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f ′〔1〕，f 〔1〕，求出切线方程即可；
〔2〕求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性确定出 a 的具体范围即可． 【解答】解：〔1〕a=1时，f 〔x 〕=x 2﹣lnx ，f ′〔x 〕=2x ﹣ ， 因为f'〔1〕=1，f 〔1〕=1， 所以切点为〔1，1〕， 切线方程为 y=x ．
〔2〕由得 f ′〔x 〕=2ax ﹣ ．
① 假设 f ′x 〕≤ 0 在〔 0 1 2a
〔 ，]上恒成立，那么 ≤恒成立，
所以2a ≤ =1，即a ≤
．
即a ≤时，f 〔x 〕在〔0，1]单调递减，〔f 〔x 〕〕min =f 〔1〕=a ，与|f 〔x 〕|≥1恒成立矛盾．
②
当 a
时，令 f ′x 〕 =2ax ﹣
=0 ，得 x=
01
]，
＞ 〔
∈〔，
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所以当x∈〔0，〕时，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减；
当x
∈〔
1
]时，
f′x
〕＞
0f x
〕单调递增．，〔，〔
所以〔f〔x〕〕min=f〔〕=〔1+ln2a〕，
由|f〔x〕|≥1得，〔1+ln2a〕≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞〕．
20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，假设a k﹣1+b k﹣1≥0，那么a k=a k
﹣1，b k=
；假设a k﹣1+b k﹣1＜0，那么
a k=，
b k=b k﹣1．
〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；
S a b2﹣a b a S a b表示〕；〔Ⅱ〕设n=〔b1﹣1〕+〔2〕++〔n﹣n〕，求n〔用，
〔Ⅲ〕假设存
在n∈N *
，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b﹣＞b，求n的最大值〔用
k1k
a，b表示〕．
【考点】数列的应用．
【分析】〔Ⅰ〕由题意可直接写出答案；
〔Ⅱ〕分情况计算b﹣a，得{b﹣a}是以b﹣a=b a
为首项，为公比的等比数列，从
k k k k11﹣
而可得S n；
〔Ⅲ〕由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a=a
，解之即可．
k，结合〔Ⅱ〕知
【解答】解：〔Ⅰ〕a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；
〔Ⅱ〕∵=，
=，
∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，
即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，
所以S a ba b a=
；n=〔b1﹣1〕+〔2﹣2〕++〔n﹣n〕
〔Ⅲ〕∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，
a k﹣1+
b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，
即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，
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由〔Ⅱ〕知b﹣a=
，∴b=a
+，
k k k
所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．
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2021年9月8日
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