浙江大学经济学院博士生博弈论课程习题及答案

纳什均衡
1．在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡
表1.1
首先，找出S2的劣战略。

对于S2，M策略严格劣于R策略，所以M为严格劣策略。

删除后M再找出S1的劣战略，显然对于S1而言，M策略和D策略严格劣于U策略，所以M和D为严格劣策略。

删除M与D后找占优均衡为（U,L）即，（4，3）。

2．求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡
表1.2
首先看S1选择X策略。

如果S2同样选择X策略，那么S3一定选择Y策略；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择X策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果S2选择Y策略，那么S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择Y策略，因此，（X，Y，X）是一个纳什均衡。

其次看S1选择Y策略。

如果S2选择X策略，S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择X策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。

如果S2选择Y策略，S3选择Y策略是理性的，如果S3选择X，S2将选择X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择Y策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。

所以该博弈式的纯战略纳什均衡有4个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。

3．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2和3）要在三个项目（A、B和C）中选中一个。

三人同时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间Si=｛A，B，C｝。

得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中。

参与人的支付函数如下：
U1(A)=U2(B)=U3(C)=2
U1(B)=U2(C)=U3(A)=1
U1(C)=U2(A)=U3(B)=0
求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。

由上，ABC策略
是无差异的，但均衡策略只能是参与人3选择A 策略，因此（A ，A ，A ）是一个纳什均衡。

如果参与人2选择B 策略，参与人3选择AB 策略是差异的，但均衡策略只能是其选择A ，因此（A ，B ，A ）是一个纳什均衡。

如果参与人2选择C 策略，参与人3将选择C 策略；同样，如果参与3选择C 策略，参与人2也将选择C 策略。

因此，（A ，C ，C ）是一个纳什均衡。

若参与人1选择B 策略。

如果参与人2选择A 策略，那么参与人3将选择A 或C 策略；但当参与人3选择C 策略时，参与人2的最优策略是选择B ，当其选择A 策略时，参与人2将选择B 策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。

如果参与人2选择B 策略，参与人3将选择ABC 是无差异的，但其选择A 和C 都不满足纳什均衡，因此当其选择A 和C 时，参与人1将选择A 或C ，因此有当参与人3选择B 策略时，才存在纳什均衡（B ，B ，B ）。

如果参与人2选择C 策略，参与人3也将选择C 策略；但参与人3选择C 策略时，参与人2将选择B 策略，因此，这时不存在纳什均衡。

若参与人1选择C 策略。

如果参与人2选择A 或B 策略，那么参与人3将选择C 策略；但当参与人3选择C 策略时，参与人1的最优策略是选择B ，因此，这种情况不存在纳什均衡。

如果参与人2选择C 策略，参与人3将选择C 策略；因为这时的AB 策略都不满足纳什均衡，因此，存在一个纳什均衡（C ，C ，C ）。

所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有5个，分别是（A ，A ，A ）（A ，B ，A ）（A ，C ，C ）（B ，B ，B ）（C ，C ，C ）。

4．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡
首先考虑纯纳什均衡。

如果S1选择T 战略→S2将选择M 战略→S1选择B 战略→S2将选择L 战略→S1选择T 战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。

所以我们考虑寻找混合战略纳什均衡。

因此，S1可以对T 与B 策略进行混合，而S2则可以对L 、M 、R 中的任意至少两个策略进行选择，因此，设S1选择T 策略的概率为α，S2选择L 策略的概率为β，M 策略的概率为γ，则可能有以下情况：
（1）S2选择L 、M 和R 的混合战略。

对于S2而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：
()()()()⎩
⎨
⎧-+=-+-+=-+αααααααα156127127172 该方程组无解，所以S2无法同时采用L 、M 和R 同时混合的战略
（2）S2选择L 和M 混合战略。

如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：()()αααα-+=-+127172，解得：α＝1/2。

但是将α＝1/2代入等式可得效用为()αα-+172＝()αα-+127＝9/2；同时，将α＝1/2代入()αα-+156可得其值等于11/2。

9/2<11/2表明L 和M 的混合战略的期望效用小于R 战略的期望效用，因此，这一混合战略也不满足纳什均衡。

（3）S2选择L 和R 混合战略。

如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，
因此，需要满足以下方程：()()αααα-+=-+172156，解得：α＝1/3。

同样，将α＝1/3代入等式可得()()αααα-+=-+172156＝16/3；将α＝1/3代入()αα-+127可得其值等于13/3。

16/3>13/3表明L 和R 的混合战略的期望效用大于M 战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳什均衡。

另一方面，计算S1的混合战略，需要满足以下等式：()()ββββ-+=-+172127，解得：β＝1/2，因此这一混合战略的纳什均衡为⎪⎭
⎫ ⎝⎛++
R L B T 21213231，。

（4）S2选择M 和R 的混合战略。

显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，对于S2来说，如
果放弃了L 战略，那么对S1而言T 战略将是劣战略，其将直接选择B 战略，这时S2只能选择R 战略，S1的反应只可能是L 战略，这显然与假设矛盾。

5．模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫子。

输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。

两个人同时出令，如果一个打败另一个人，赢者的效用为1，输者的效用为－1；否则效用为0。

给出以上博弈的战略式描述并求出所有的纳什均衡。

（1
（2种战略的混合战略，其概率分别为a ，b ，c 和d ，且a ＋b ＋c ＋d ＝1。

如果这四种战略同时混合，必须使得这四种战略的期望效用相同，因此，必须满足以下四个方程：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=--=--=-c a b c b c a c a c d b 解得：a ＝b ＝c ＝d ，所以a ＝b ＝c ＝d ＝1/4。

同理可得参与人2的战略，所以该博弈的唯一混合策略纳什均衡是参与者以1/4的概率随机选择各自的四个纯战略。

6．一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在边上（每个人只知道自己有多少钱），突然一阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱是属于自己的，他们为此发生了争执，最后请来一位律师。

律师宣布这样的规则，每个人将自己的钱数写在纸上，然后将纸条交给律师，如果所有人要求的钱数加总不大于已有钱的总数，每个人得到自己要求的那部分，剩余部分归律师；如果所有人要求的钱加总大于已有钱的总数，则所有的钱归律师所有。

写出这个博弈每个参与人的战略空间与支付函数，求出所有的纳什均衡。

（假设钱的总数为M ，M 为共同知识）。

博弈参与人的战略空间是{}
120C C x R x M ==∈≤≤，参与人i 的支付函数是：
i u = i ，
i
x M ≤∑
0，
i
x M >∑
因此，对于参与人i 来说，只要采用i
j
j i
x M x ≠=-∑都能实现自己的最大收益，也就是说，在
该博弈中有着多个纳什均衡，所有使得
i
x M =∑，0i
x M ≤≤成立的战略组合都是该博弈的纯战
略纳什均衡。

7．考虑一个工作申请的博弈。

两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。

工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。

现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问： a ．写出以上博弈的战略式描述 b ．求出以上博弈的所有纳什均衡 （1
（2）若甲选择企业1，乙将选择企业2；若乙选择企业2，甲必然选择企业1，因此，（企业1，（企业2，企业1））是一个纯战略纳什均衡。

若甲选择企业2，乙将选择企业1；若乙选择企业1，甲必然选择企业2，因此，（企业2，（企业2，企业1））也是一个纯战略纳什均衡。

（3）假定甲选择企业1的概率为α，选择企业2的概率为1α-；乙选择企业1的概率为β，选
择企业2的概率为1β-，则甲选择企业1的期望收益为()1
112
W W ββ+-，选择企业2的期望收益为()2212W W ββ+-，由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为：212
21W W W W β-=+，221
121
W W W W β--=+。

同理可得甲选择两家企业的概率：21221W W W W α-=+，221
121
W W W W α--=+。

因此，最后的混合
均衡是两学生均以212221,2121W W W W W W W W --⎛⎫
⎪++⎝⎭
的概率决定向企业1与企业2提出申请。

8．考虑存在事前交流的性别战博弈。

在丈夫决定去看足球还是芭蕾之前，丈夫有机会向妻子传递以下信息：我们在足球场见面，或者我们在芭蕾馆见面。

当以上信息交流完成以后，两者同时决定去足球场还是去芭蕾馆。

博弈支付如下：如果两者在足球场见面，则丈夫获得3，妻子获得1；如果两者在芭蕾馆见面，则丈夫获得1，妻子获得3；在其他条件下两者的支付都是0。

a ．给出以上博弈的战略式描述
b ．求出所有的纯战略纳什均衡，并讨论哪个均衡更加合理
假定丈夫向妻子传递了信息，由于他不一定必须遵守这个决定，因此，其战略可以有四种：
()1C Ff Fg Gf Gg =，，，。

在此第一个大写字母表示丈夫给出的信息是去足球场，而实际上也是
去了足球场，其他同理。

而妻子的战略空间是：()2C ff fg gf gg =，，，，其中第一个字母表示丈夫建议去足球场下妻子做出的决策，而第二个字母表示丈夫建议去芭蕾舞馆的情况下妻子做出的决
这个博弈的纯战略均衡有很多，比如()Fg gg ，，丈夫发出在足球场见面的信息，但是他去了芭蕾馆，而妻子则不管丈夫什么建议都去了芭蕾馆；()Gf Gf ，，丈夫发出去芭蕾馆见面的信息，但是他去了足球场，而妻子也去了足球场；()Ff fg ，，丈夫发出去足球场见面的信息，他也去了足球场，妻子也跟着去了足球场，即她跟着丈夫的建议而行动。

这个均衡是一个聚点均衡，是更合理的均衡。

9．（库诺特博弈）假定有n 个库诺特寡头企业，每家企业生产成本函数为cq ，市场逆需求函数是P=a-Q ，其中P 是价格，Q=Σqi 是总供给，a 是大于c 的常数。

企业i 的战略是选择自身产量qi 最大化自己的利润，即其他企业的产量q-i ；选择自身产量最大化自己的利润。

求解以上博弈的纳什均衡，以及均衡产量和价格如何随n 的变化而变化。

根据已知条件可以设厂商i 的利润函数为：i i i cq pq -=π。

将∑≠-
-=-=n
i
j j
i q
q a Q a P 代
入上式可得：i i n i j j i cq q q q a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑≠π，因此一阶条件为：02=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∑≠i n i j j i q c q a q π，解得各厂商对其它厂商产量的反应函数为：2⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=∑≠n i j j i c q a q 。

由n 个厂商之间的对称性，可知q 1＝q 2＝┅┅┅＝q n ，代入上述反应函数可解得：1
21+-====n c
a q q q n 。

因此，该博弈的纳什均衡是每个厂商都生产产量
1+-n c
a 。

所以随着n 的增加，每个厂商的产量是下降的。

另外，因为市场的总供给Q=1+-⨯n c a n ，所以市场价格1
1++=+-⨯-=n nc
a n c a n a P 。

10．（伯川德博弈）假定两个寡头企业之间进行价格竞争，两企业生产的产品是完全替代的，并且两家企业的生产成本函数为cq 。

市场逆需求函数是P=a-Q ，Q=Σqi 是总供给，a 是大于c 的常数。

求出企业i 所面临市场需求以及纳什均衡时的价格。

假定消费者从价格低的厂商购买产品，如果两企业价格相同，就平分市场，如果企业i 的价格高于另一企业，则企业i 的需求量为0，反之，其它企业的需求量为0。

因此，企业i 的需求函数由下式给出：
i i
i i i i i i p pi p p p p 0)/2Q(p )
Q(p q --->=<⎪⎩
⎪
⎨⎧=
从上述需求函数的可以看出，企业i 绝不会将其价格定得高于其它企业；由于对称性，其它企
业也不会将价格定的高于企业i ，因此，博弈的均衡结果只可能是每家企业的价格都相同，即p i ＝p j 。

但是如果p i ＝p j >c 那么每家企业的利润02
i i j i p c
q ππ-==
>，因此，企业i 只要将其价格略微低于其它企业就将获得整个市场的需求，而且利润也会上升至
()()22
i i i i p c p c
Q p Q p εε---->，()0ε→。

同样，其它企业也会采取相同的策略，如果此下去，直到每家厂商都不会选择降价策略，此时的均衡结果只可能是p i ＝p j ＝c 。

此时，企业i 的需求函数为2
i a c
q -=。

11．（差异价格竞争）假定两个寡头企业进行价格竞争，但产品并不完全相同，企业i 的市场需求
)2,1,(),(=+-=j i p p a p p q j i j i i ，两家企业的生产成本函数为cq ，求两个寡头同时选择价格时
的纳什均衡。

企业
i
的利润函数为
()()i i i i i i j p q cq p c a p p π=-=--+，由一阶条件
02=++-=∂∂c p p a p j i i
π
可得企业i 的反应函数为2j i a p c p ++=。

考虑到对称性，同样方法可以得到企业j 的反应函数为2
c
p a p i j ++=，联立此两方程可得两个寡头同时选择价格时的纳什均衡为：c a p p j i +==。

12．构造一个例子说明博弈中可能存在如下情况：一个参与人的选择空间越打大，他的处境越差。

习题1中去掉R 战略。

13．如果重复剔除严格劣战略只剩下唯一的战略组合，证明该组合必然是唯一的纳什均衡。

证明：在n 个博弈方的博弈G={S 1,…S n ;U 1,…U n }中，如果使用重复剔除严格劣战略方法排除了（S 1*,…S n *）以外的所有策略组合，则（S 1*,…S n *）一定是G 的唯一的纳什均衡。

首先，假设严格劣战略已经剔除了除（S 1*,…S n *）以外的所有策略组合，但（S 1*,…S n *）却不是一个纳什均衡。

表明至少存在某个博弈方i 和他的某个策略空间Si 中的策略si ，使得
u i (s 1*,…s i-1*, s i *, s i+1*,….. s n *)< u i (s 1*,…s i-1*, s i , s i+1*,….. s n *) （a ）
但是，由于（S1*,…S n*）是经过严格劣战略反复剔除后唯一留下的策略组合，因此s i必然属于被严格劣战略剔除的战略，即，在严格劣战略剔除过程中的某个阶段，必然存在某个当时还未被剔除的s i/，使得
u i(s1,…s i-1, s i, s i+1,….. s n)< u i(s1,…s i-1, s i/, s i+1,….. s n) （b）对由在此尚未被剔除的其他博弈方的策略构成的所有可能的策略组合(s1*,…s i-1*, s i*, s i+1*,….. s n*)都成立，即
u i(s1*,…s i-1*, s i, s i+1*,….. s n*)< u i(s1*,…s i-1*, s i/, s i+1*,….. s n*) （c）如果s i/就是s i*，即s i*是相对于s i的严格非劣战略，则（a）和（c）相矛盾，从而（S1*,…S n*）不是纳什均衡的假设不能成立，
如果s i/和s i*不同，则s i/在劣战略的剔除过程中也必须被排除，可进一步推论肯定在某阶段存在s i//是相对于s i/的非劣战略，用s i/和s i//分别替代s i和s i/，（b）和（c）式仍然必须成立，如果s i//就是s i*，则与上相同也证明了命题，否则再进一步推论到类似的s i//的存在。

由于最终只能有s i*在严格劣战略剔以后不被消除，且博弈方的策略是有限的，因此，不断重复上述过程，总会找到某个s i（n）就是s i*，从而证实在假设下必然导致（b）和（c）的矛盾，进而证明题目。

子博弈精练纳什均衡
1．用战略式表示下图的扩展式博弈（Myerson 书中习题2.4）
2．在市场进入模型中，市场逆需求函数为p ＝13-Q ，进入者和在位者生产的边际成本都为1，固定成本为0，潜在进入者的进入成本为4。

博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。

求解以上博弈精炼纳什均衡。

在市场进入模型中，设在位者选择产量1q ，潜在进入者产量为2q ，如果潜在进入者进入，则最优化为：()122max 1314q q q ---⨯-。

一阶条件下，求得*
1
2122
q q -=。

在位者选择产量1q ，在潜在者进入的情况下，其最优化为()
*
121max 131q q q ---⨯。

由一阶
条件可得*16q =，因此，*23q =。

此时，1218,5ππ==。

如果在位者设置壁垒，使得潜在进入不进入，即()212213140q q q π=---⨯-=，代入
*1
2122
q q -=
，解得*'18q =，此时，''1232,0ππ==。

因为'11ππ>，所以在位者将选择产量8，即最后的精练子博弈纳什均衡是在位者选择产量8，潜在进入者不进入。

3．两位投资者各自将D 存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。

本博弈的规则如下：在第一期，两位投资者同时决定是否收回资金。

如果任何投资者收回资金，则项目被迫清算，项目收益为2r 。

此时抽取资金投资者收益为D ，而未抽回资金投资者收益为2r －D ；如果两位投资者都抽回资金，则投资者收益都为r ；如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。

第二期项目成熟且项目收益为2R 。

此时如果两投资者都抽回资金则收益为R ；如果只有一位抽取资金，抽回资金投资者收益为2R-D ，未抽回为D ；如果两者都不抽回资金则收益为R ，假定R>D>r>D/2，求解子博弈精炼纳什均衡。

首先考虑第二期博弈，可以用如下战略式来表示：
用划线法可知，若第一期不抽回，则第二期的均衡是（抽回，抽回）。

考虑第一期的博弈，用战略式表示如下：
用划线法可知存在两个均衡（抽回，抽回）与（不抽回，不抽回）。

因此，该博弈的子博弈精练纳什均衡有两个：（第一期抽回，第一期抽回）与（第一期不抽回第二期抽回，第一期不抽回第二期抽回）。

4．在囚徒困境中，“针锋相对”战略定义为：（1）每个参与人开始选择“抵赖”；（2）在t 阶段选择对方在t-1的行动。

假定贴现因子δ＝1，证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。

假定两囚徒博弈的战略式表述如下：
果他选择抵赖，他的支付是：()()111-+-+-+……，而若选择坦白然后再转向针锋相对战略，则他的支付是：()()08080+-++-++……，前者严格大于后者。

因此，在合作路径上针锋相对战略是纳什均衡。

但是，如果参与人j 首先选择坦白，参与人i 并没有积极性惩罚他，因为如果惩罚，将得到的支付是()()8080-++-++……，而如果原谅则可以连续得到－1的支付；类似的，参与人i 也没有积极性惩罚自己。

所以在惩罚路径上，针锋相对战略不是子博弈纳什均衡。

5．如果以下重复博弈两次，支付（4，4）是否能作为子博弈精炼纳什均衡结果出现，请说明理由。

假定贴现因子δ＝1。

该静态博弈有两个纯战略纳什均衡（T ，L ）和（M ，C ），其支付均小于（B ，R ）带给两方的收益，因此，在两次博弈中，双方有可能选择（B ，R ）。

由于对2S 而言，（B ，R ）带来的是最大收益，因此，他没有偏离的动机。

然而1S 仍可以选择T 战略已获得更高的收益，因此可以设置如下制约1S 行为的触发战略：
1S ：第一阶段选择B 策略，第二阶段选择T 策略；
2S ：第一阶段选择R 策略；在第二阶段，如果第一阶段的结果是（B ，R ），则采取L ，否则采取C 。

如此，由于1S 从第一阶段选择B 第二阶段选择T 的战略中获得的收益为4＋3＝7大于第一阶段偏离选择T ，第二阶段选择M 的收益5＋1＝6，所以1S 也没有动机偏离。

因此，（B ，R ）将作为二阶段博弈的子博弈精练纳什均衡结果在第一阶段出现。

6．考虑如下战略式博弈重复两次，在第二阶段开始时能够观察到第一阶段的博弈结果，假定贴现
考虑两种情况，（1）若4x >，则单阶段博弈的纳什均衡为()()()121212,,,,,x x w w z z ，构造如下战略，若第一阶段()12,y y 出现，则第二阶段选择()12,x x ；若第一阶段2S 偏离()12,y y ，选择2x ，则第二阶段选择()12,z z ；若第一阶段1S 偏离()12,y y ，选择1x ，则第二阶段选择()12,w w 。

如此，对于1S 与2S 而言，第一阶段出现()12,y y 的条件是，其总收益4＋2＝6将不小于他们在第一阶段选择其他战略下的收益x ＋0＝x ，即6x ≤。

即，()12,y y 在第一阶段出现的条件是46x <≤。

（2）当4x ≤时，单阶段的纳什均衡为()()()()12121212,,,,,,,x x y y w w z z ，则完全有可能在第一阶段出现()12,y y ，因为1S 与2S 都没有偏离的动机。

综上，()12,y y 在第一阶段出现的条件是6x ≤。

7．如下的双寡头市场战略性投资模型：企业1和企业2目前的单位生产成本都c ＝2。

企业可以引进一项新技术使单位生产成本降至c ＝1，而该项技术需要的投资为f ，企业2可以观察到企业1的投资决策，在企业1做出是否投资的决策之后，两个企业同时选择产量。

在以上两阶段博弈中市场逆需求为p ＝14-Q ，问f 取什么值时，企业1将投资引进新技术。

若企业1引进新技术，则双方企业的利润函数为
()f q q q q ----=1121114π ()22211214q q q q ---=π
一阶条件：1214210q q ---=，与2114220q q ---=。

联立可得3
11
31421==q q ，。

这时企业1的利润为f -=
9
196
1π。

若企业1不引进新技术，则双方企业的利润函数为：
()11211214q q q q ---=π ()22211214q q q q ---=π
一阶条件：1214210q q ---=，与2114220q q ---=。

联立可得421==q q 。

此时企业1的利润为161=π。

因此，企业1引进新技术的必要条件必须满足
169196≥-f ，即9
52
≤f 。

8．考虑一个政策采纳博弈，存在两个参与人，政策建议者与政策采纳者。

政策建议者首先剔除政策建议s1，并且s 1∈R 。

政策采纳者观察到s1决定是否采用，如果采用则执行政策s1，否则执行s0。

现在假定政策建议者效用函数是12u s =，而政策采纳者的效用函数是()2
22u s b =--，其中2s 为执行的政策，b 为外生参数，表示两者之间的利益冲突。

问以上博弈的精练纳什均衡。

对政策采纳者而言，最优化问题是：()2
22max u s b =--，所以政策的采用者最有可能采用的是接近b 的2s 。

所以，
2s 1s 若10s b s b -≤-
0s 若10s b s b ->-
对于政策建议者而言，最优化问题是：12max u s =，因此，10s s ≥，因此重点考虑0s 的情况，有两种：
（1） 若0s b <，则102s b s ε
=--()0ε→，21s s =；
（2） 若0s b ≥，则10s s =，20s s =。

所以，若0s b <，子博弈纳什均衡为102s b s ε=--，21s s =；若0s b ≥，子博弈纳什均衡为
10s s =，20s s =。

9．考虑一个承诺博弈，存在两个参与人。

参与人2首先行动，选择行动2a ，2a 的取值范围是{}0,1。

参与人1观察到参与人2的行动，决定向参与人2转移支付t ，但是参与人1也可以事先确定支付规则()2t a 。

现在假定参与人2的效用函数为()22u t c a =-，参与人1的效用函数为
()2
1221u a t ⎡⎤=--+⎣⎦
，
其中()2c a 表示参与人采取行动的成本，且20a =时为0，21a =时为1/2。

（1）如果参与人1没有承诺能力，可以随意修改事先宣布的支付规则，则此时的子博弈精练
纳什均衡。

（2）如果参与人1有承诺能力，只能按照事先确定的支付规则进行支付，则此时的子博弈精练纳什均衡。

（1）若参与人1没有承诺能力，则该博弈的行动顺序便为参与人2先行动，而后参与人1再行动。

在这种情况下，t 是可以随便改变的。

对于参与人1而言，其最优化问题为：()2
12max 21u a t ⎡⎤=--+⎣⎦
，1u 最大时，0t =。

对于参与人2而言，其最优化问题为：()22max u t c a =-，把参与人1的最优条件代入可得：
()22max u c a =-，最优化2u 得20a =，此时20u =，12u =-。

所以该博弈的子博弈精练纳什均衡为：20a =，0t =。

（2）若参与人1有承诺能力，则它在最优的情况下应该支付()2t a 以使得2a 尽可能偏向1，由于{}20,1a ∈，所以在取21a =的情况下，1u t =-， 212u t =-。

当()102
t εε=+→时，
20u >。

所以该博弈的子博弈精练纳什均衡是：参与人1承诺()2112t a ε==+，()200t a ==，
结果是1u t =-， 212
u t =-。

10．考虑电力设备和一个发电厂之间的两阶段博弈，在第一阶段设备厂决定是否投资以及投资多少；在第二阶段，双方决定是否交易以及在什么价格交易。

在此以C 代表设备的生产成本，V 代表设备对电厂的价值，X 代表投资额。

假定C 时X 的递减凸函数，V 和X 无关，V ≥C （0）并且X 时专用性投资，对于其他发电厂而言没有任何价值，求下述情况下的精练纳什均衡时的投资水平。

（1）没有事前合同，双方根据纳什讨价还价决定成交价格。

（2）事前签订合同，规定设备厂有权单方面决定价格，发电厂只有接受或者拒绝的选择。

（3）事前签订合同，规定发电厂有权单方面决定价格，设备厂只有接受或者拒绝的选择。

（1）在没有事前合同的情况下，纳什讨价还价解为每个参与人从中获得剩余的1/2，即成交价格是
()2
V c X -⎡⎤⎣⎦。

在这种情况下，投资应该是：()1'12C X -=。

（2）若设备厂有权单方面决定价格，则剩余肯定完全被设备厂独享，即设备厂的利润为()V c X -，而发电厂的利润为0。

在这种情况下，投资应该是：()'1C X =。

（3）若发电厂有权单方面决定价格，则剩余肯定完全被发电厂独享，即发电厂的利润为()V c X -，而设备厂的利润为0。

在这种情况下，投资应该是：()'0C X =。

11．两个厂商在市场进行价格竞争，厂商1首先确定价格水平，厂商2在观察厂商1的价格水平之后决定价格水平。

厂商1和厂商2的产品是完全同质的，且市场逆需求函数是P=a-Q ，问以下条件下的精炼纳什均衡的价格：
（1）．如果厂商1和厂商2的生产成本函数为cq （c<a ） （2）．如果厂商1和厂商2的生产成本函数为q 2/2 （1）厂商2的最优化问题是：
2max π= ()22p c q -⨯ 21p p <
()22/2p c q -⨯
21p p =
0 21p p >
所以*21p p ε=-；同理可得*
12p p ε=-，所以子博弈精练纳什均衡为**1
2p p c ==。

（2）厂商2的最优价格战略为：
⎩⎨
⎧-=<=≥2
21
22120p a x p p p p 则则π
厂商2的最优产量决策：2222max /2p x x -，（22x a p ≤-），可得22x p =，（2/2p a ≤）。

厂商2的利润002
122
22→-=>=εεπ，，则p p p。

给定企业2最优价格战略，企业1的最优价格战略是：2
111max /2p x x -,（112x a p ≤-）。

由一阶条件可得11x p =或者另外，112x a p =-：
（1）如果11x p =，则211/2p π=，当1p →∞时，1π也最大，这是不可能的；
（2）如果112x a p =-，则()()2
11112
2/2
p a p a p π=---，一阶条件下可求得13/8p a =。

所以子博弈精练纳什均衡为*
*
1213,8
p a p p ε==-。

12．在霍特林价格竞争模型中，两个厂商的生产边际成本都是c ，运输成本参数为t 。

博弈进行两期，在第一阶段两个厂商同时在线性城市上选择自己的位置；第二阶段在观察到两者位置后选择自己的价格。

（1）．如果运输成本为线性函数，证明以上博弈不存在纯战略精炼纳什均衡
（2）．如果运输成本为二次型函数（运输成本为tx 2），证明以上博弈的精炼纳什均衡的结果是两个厂商位于城市两端。

（1）假设运输成本为线性函数tx ；并假设厂商1和厂商2的价格分别为p 1和p 2，则：x 点到厂商1和厂商2购买的最终支付成本相等，即满足：)1()(21x b t p a x t p --+=-+，可得：
t
b a t p p x 2)
1(12-++-=。

厂商1和厂商2的最优价格应该满足：t
b a t p p
c p p 2)
1()()
max(arg 1211-++--∈，
1222()(1)arg max()12p p t a b p p c t -+-+⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭。

求一阶条件可得：212p bt at t c p -+++=，1212p at bt t c p -++++=。

因此，*122223at bt t bc p ++++=，*
2233at bt t c p -+-++=，因
此，*
02c x t -=<，不符合实际。

因此不存在纯战略精练纳什均衡。

（2）运输成本为二次型函数，设为tx 2；并假设厂商1和厂商2的价格分别为p 1和p 2，则：x 点到厂商1和厂商2购买的最终支付成本相等，即满足：2
22
1)1()(x b t p a x t p --+=-+，可得：
)
1(2)
1)(1(12b a t a b b a t p p x --+---+-=。

厂商1和厂商2的最优价格应该满足：
1
211()(1)(1)
()
2(1)
max p p p t a b a b p c t a b -+--+----，
2
122()(1)(1)
()
2(1)
max p p p t a b a b p c t a b -+---+---。

求
一
阶
条
件
可
得
：
c b a b a t p +-+--=
3)3)(1(1，c b a b a t p ++---=3
)
3)(1(2。

给定最优价格，让我们确定最优位置。

将p 1和p 2分别代入利润函数中可得。