2024年四川省成都市树德实验中学东马棚校区中考数学二诊试题

2024年四川省成都市树德实验中学东马棚校区中考数学二诊试
题
一、单选题
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若水位上升5m 记为5m +，那么水位下降2m 应记为（ ）
A ．5m +
B ．2m +
C ．2m -
D ．5m -
2．今年“五一”假期，我市接待游客1461.3万人次，实现旅游收入115.6亿元．115.6亿用科学记数法表示为（ ）
A ．8115610.⨯
B ．9115610.⨯
C ．10115610.⨯
D ．11115610.⨯ 3．下列运算正确的是（ ）
A ． 236a a a ⋅=
B ．()325a a =
C ．()222a b a b -=-
D ．()3
263a b a b = 4．如图，AB 是O e 的直径，C ，D 是O e 上两点，连接OD BC CD ，，，若25C ∠=︒，则A
O D ∠的度数是（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．140°
D ．150°
5．在平面直角坐标系中，点()2,3P -关于x 轴对称点的坐标为（ ）
A ．()2,3--
B ．()2,3
C ．()2,3-
D ．()3,2 6．如图，A B C '''V 是ABC V 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若32::OB B B ''=，则A B C '''V 的面积与ABC V 的面积之比为（ ）
A ．3:5
B ．4:9
C ．4:25
D ．9:25
7．我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托、折回索子却量竿，却比竿子短一托”．其大意为：有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿子的长为x 尺，依题意可列方程为（ ）
A ．()51252x x +=-
B ．
()1552x x +=- C ．1552
x x +=- D ．()1552x x -=+ 8．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2D -，与x 轴的一个交点A 在点()3,0-和()2,0-之间，下列说法正确的是（ ）
A ．0ac >
B ．24b ac <
C ．当0x >时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．抛物线与x 轴的两个交点间的距离大于3
二、填空题
9．因式分解：316y y -=．
10．一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为． 11．九年级举行百科知识竞赛，对成绩不低于90分的学生人数统计如下：
则成绩不低于90分的学生的成绩的众数是分，中位数是分．
12．如图，将直角三角形ABC 沿BC 边向右平移得到直角三角形DEF AC ，交DE 于点G ．若10AB =，3BE =，6DG =，则图中阴影部分的面积为．
13．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC ，AB
于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 之长为半径作弧，两弧相交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．若8CD =，4
tan 3
B =，则AB 的长为．
三、解答题
14．（1）计算：()2
22cos 45|1---︒．
（2）化简：2214411m m m m m ⎛⎫-+-÷ ⎪--⎝⎭． 15．为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A 书法；B 绘画；C 摄影；D 泥图；E 剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题：
(1)张老师调查的学生人数是，其中选择“D 泥塑”选修课的人数是，“E 剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数；
(2)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中
任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A 书法”的概率．
16．“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B 处测得无人机A 的仰角为45︒，登上斜坡BD 的C 处测得无人机A 的仰角为
31︒．若斜坡BD 的坡比为14：，C 处的铅垂高度CN 为1.5米（点M ，B ，N 在同一水平线上），
求此时无人机的高度AM ．（结果精确到0.1米，参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈）
17．如图，已知ABC V 内接于O e ，BC 为O e 的直径，D 为O e 上一点，连接AD 交BC 于点E ，且AB BE =，连接OD ．
(1)求证：ABC COD ∠=∠；
(2)若O e 的半径为2，E 是OC 的中点，求AC 和AD 的长．
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知点()1,1A ，()3,0B ．P 是反比例函数()0k y k x
=>的图象在第一象限内的一动点，当AP x ∥轴时，PAB V 的面积为74
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，当点P 在射线OA 上时，Q 为x 轴正半轴上一点，若以P ，O ，Q 为顶点的三角形
与OAB V
相似，求点Q 的坐标；
(3)若点P 是使PAB V 的面积取得最小值的点，将线段AB 沿着x 轴向右平移n 个单位长度，平移后对应的线段为CD CD ，的垂直平分线恰好经过点P ，求n 的值．
四、填空题
19．已知25x y +=，347a b -=，则代数式()()9426a y b x --+的值为．
20．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD 的边BC 取中点O ，以O 为圆心，线段OD 为半径作圆，交BC 的延长线于点C '，过点C '作C D AD ''⊥，交AD 的延长线于点D ¢，这样就把正方形ABCD 延伸为黄金矩形ABC D ''，若4AB =，则CC '的长为．
21．现从4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a 的值，则使
关于x 的分式方程231x a x -=+的解是负数，且关于x 的不等式组()4131122x x x x a ⎧+≥+⎪⎨+-≤⎪⎩
无解的概率为．
22．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点F 在边CD 上，连接BF ，沿BF 折叠BCF △，
点C 落在点E 处，连接AE ，则AE 长度的最小值为．
23．对于自变量x 的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的
解析式后面．现有分段函数()()22340340mx mx x y mx mx x ⎧+-<⎪=⎨-+-≥⎪⎩
（其中m 是常数，且0m ≠）
，该函数
的图象记为G ．当1m =时，图象G 与x 轴的交点坐标为；若直线y m =与G 恰有两个交点，则m 的值为．
五、解答题
24．某书店为了迎接“读书节”决定购进,A B 两种新书，相关信息如下：
（1）已知A 种图书的标价是B 种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A 种图书的数量恰好比单独购买B 种图书的数量少10本，请求出,A B 两种图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A 种图书每本标价降低a 元(05)a <<销售，B 种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，(4,2)P -是抛物线24y ax x c =-+的对称轴上一点，且抛物线与y 轴的交点坐标为(0,2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设点E 在对称轴右侧的抛物线上，点F 在x 轴上，若PEF V 是以P 为直角顶点的直角三角形，且2PE PF =，求点E 和点F 的坐标；
(3)如图2，A ，B 是抛物线上的两个动点（点A 在点B 的左侧），点A ，B ，P 在同一直线上，过点(0M ，)(6)m m <-作y 轴的垂线l ，交直线AB 于点Q ，是否存在实数m ，使得QA PB QB AP ⋅=⋅总成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
26．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边ABC V 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，以AP 为边作等边APQ △，连接CQ ．求证：BP CQ =．
(2)变式探究：如图2，在等腰ABC V 中，AB BC =，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰APQ △，使AP PQ =，APQ ABC ∠=∠，连接CQ ．
①求证：ABP ACQ △∽△；
②若ABC α∠=，求CQ BP
的值．（用含α的式子表示）． (3)解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形APEF ，Q 是正方形APEF 的中心，连接CQ ．已知：AP a =，CQ b =，求APC △的面积．。