圆周角

类比圆心角探知圆周角

在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？

提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
A A
A
C
●
C
●
C
B
●
O
O
O
B

B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系.
圆周角和圆心角的关系

如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
A C
●


提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
B 1 1 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 2 1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2 一条弧所对的圆周角等于它所
O
你能写出这个命题吗? 对的圆心角的一半.
圆周角定理


综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
A
D O
C
1 1 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 2 1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
●
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系

如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
A
A
O
C
●
B
C
B
圆周角
思考：图中的∠ABC的顶点B 在圆的什么位置？∠ABC的两 边和圆是什么关系？
圆周角

A
E
C
B
A E
●
D
当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
圆周角: ∠ABC, ∠ADC, ∠AEC.
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。
二、计算 1、半径为R的圆中，有一弦分圆 周成1：4两部分，则弦所对的圆 或144° 。 周角的度数是 36º
×
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。 √
.
O D
2 、如图，已知圆心角 ∠AOB=100°，求圆周角
50º 。 ∠ACB=_____ 130º 、∠ADB=______
A

说说你的想法,并与同伴交流 . A
C
●
C
●
A C B
●
O B
O
O
B

提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
圆周角和圆心角的关系

1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A C
●
解:∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即
2 、如图，在 ⊙ O 中，若弧 AB 等于弧 EF ， 能否得到∠C = ∠G呢？
可以得到∠C=∠G
C G
∵同圆中，等 弧所对的圆周 角相等。
A B
O F E
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. ⌒ 分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB.则
解∵AB=AC ∴∠ABD=∠ADB=35º ∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=70º ∴∠BOC=2∠BAC=140º
⌒ ⌒ 5、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠ BOC=84°，求 ∠A的度数。
解:连接CD
1 ∵∠BOC=84º∴∠BAD= 2 ∠BOC=42º ⌒ ⌒ ⌒
∵BC=2DE∴DE为42º的弧

O
B D
C
这三个角的大小有什 么关系?.

1 ⌒ ∠ACB= 2 ∠AOB. BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= 1 ∠BOC 2 1
证明： ∠ACB=
∠AOB=2∠BOC
1 ∠BAC= ∠BOC 2
∠ AOB 2
O
A C
∠ACB=2∠BAC
B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D
A
B

在射门游戏中(如图),球 员射中球门的难易程度 与他所处的位置B对球门 AC的张角(∠ABC)有关.
O
.
B
C
B
课前热身
，则 AB 弧的度数为 4 、如图，⊙ O 中，∠ AOB=100º
______，AnB弧的度数为______。 100º 260º n O
5、判断题： (1)相等的圆心角所对的弧相等 。 × × (2)等弦对等弧 。 √ (3)等弧对等弦 。 (4)长度相等的两条弧是等弧 。 × (5)平分弦的直径垂直于弦 。 ×
C (1)
归纳
半圆（或直径）所对的圆周角是直 角，90o的圆周角所对的弦是直径。
如图, ⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的 平分线交⊙O于D,求BC、BD的长
C O
A
B
D
小结：
思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和 “化归”思想． 分类时应作到不重不漏； 化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简 单问题或已证问题．
A
B
探索1:
二、探索新知：
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
.A
.
.
A
A
.
O
O B C B
O
.
.
C
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？
探索:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆
上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
特征：
B
A
O C

① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
练习： 1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
图１
不是
图２
是
图３
不是
图４
不是
图５
2、指出图 中的圆周 A 角。
O
C B
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
思考：

问题：画一个圆，以A、C为弧的端点能画多 少个圆周角？它们有什么关系？
28.1.3 圆周角 (1)
一、旧知回放:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角. 2.圆心角的度数和它所对的弧的 度数的关系? 答：相等.
3、下列命题是真命题的是( ) 1)垂直弦的直径平分这条弦 2)相等的圆心角所对的弧相等 3)圆既是轴对称图形,还是中心对 称图形 A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3)
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
理解并掌 握这个模 型.
O
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系

如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 1 的圆心角的一半. 即 ∠ABC = ∠AOC.
2
圆心在角的边上 A C
●
圆心在角内 A D O
C B
圆心在角外 A C
●
O
●
O
B

B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
归纳
在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半。
练习：
1.求圆中角X的度数
D C 120° O X
O
O A
70° x
.
C B
.
A
B
B
C
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___ 130。 ° 3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=_________ 25º
做做看，收获知多少？
O B
A
C
圆周角定理及推论
定 理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C2 C1 C3
推
论
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; A 90°的圆周角所对的弦是直径．
·
O
B
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义。
2、圆周角定理及其定理应用。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗 透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论 的思想方法。 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛， 也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运 用。
巩固练习
1、判断： （1）等弧所对的圆周角相等. （√） （2）相等的圆周角所对的弧也相等.（ X ） 。 （3）90 的角所对的弦是直径。 （ X ） C（ ） （4）同弦所对的圆周角相等。 X
A
B C
O
A
O E
B
4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果 ∠ADB=35º，求∠BOC的度数。
1 ∴∠DCE=42º× 2 =21º
∴∠A=∠BDC-∠DCE=42º-21º=21º
拓展 化心动为行动

1.如图(1),在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
A O ∠C=130º D B
●
C E O
B
D A
●
O C
A
●
B
(3) (2) 2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? 为什么? ∠B=∠D=∠E 3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗? ∠C=90º