2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(重庆卷.文)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．圆5)2(2
2
=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）
A ．5)2(2
2
=+-y x B ．5)2(2
2
=-+y x
C ．5)2()2(2
2
=+++y x
D ．5)2(2
2
=++y x
解：∵圆5)2(2
2
=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(2
2
=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A).
2．=+-)12
sin 12)(cos 12sin 12
(cos
π
πππ
（ ）
A ．2
3-
B ．2
1
-
C ．
21 D ．
2
3
解：(cos
sin
)(cos
sin
)cos
12
12
12
12
6
π
π
π
π
π
-+==
,选(D) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是
（ ）
A ．)2,(-∞
B ．),2(+∞
C ．),2()2,(+∞--∞
D ．（－2，2）
解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在
]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x
的取值范围为(-2,2),选(D)
4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于
（ ）
A ．（1，1）
B ．（－4，－4）
C ．－4
D ．（－2，－2）
解：（a ·b ）（a +b ）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B)
5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1
)1(log ,2|2|2
2x x 的解集为 （ ）
A ．)3,0(
B ．)2,3(
C ．)4,3(
D ．)4,2(
解∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集
为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组
⎩⎨⎧>-<-1
)1(log ,
2|2|2
2x x 的解集)4,3(,选(C) 6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2
:),sin(sin :π
βαβαα<++<的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：∵由α、β均为锐角，:,2q π
αβ+<
得0<α<α+β<
2
π
∴sin(α+β)>sin α,但α、β
均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3
π
就是一个反例,选
(C)
7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l
其中，可以判定α与β平行的条件有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解：命题①③是真命题,选(B)
8．若n
x )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
解：3x 的项的系数为3
3
2n C ,x 的项的系数为1
2n C ,由题意得3
3
2n C =81
2n C 解之得n=5,选(A)一了
9．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b b
y x 上变化，则y x 22
+的最大值为
（ ）
A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b
B ．⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442
b b b b
C ．44
2
+b
D ．b 2
解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4
=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+2
2b ,∴2
2x y +的最大值为2
4044
24b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩
,选(A)
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所
示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的 表面积一览表如下：
该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4
分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2
<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A .
解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A ∩B={x|2<x<3}
12．曲线3
x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 解：∵y '=3x 2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x 轴交点(
2
,03
),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线3
(1,1)y x =在点处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为S=
14168
42363
⋅⋅==.. 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .
解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=
1tan 11tan β
β
+=+.
14．若y x y x -=+则,42
2的最大值是 . 解：令x=2cos α,y=2sin α,则x-y=2cos α-2sin α
=2
sin(
4
πα-)≤
2,∴若
y x y x -=+则,422的最大值是
15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .
解；P=112
8222
101745
C C C C ⋅+= 16．已知B A ),0,21(-
是圆F y x F (4)2
1
(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 解：由题意可知,动点P 的轨迹是椭圆,这个椭圆的焦点是A(-12,0)和F(1
2
,0),定长2a=圆F 的半径2,因而动点P 的轨迹方程为13
42
2=+
y x 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）
若函数)4
sin(sin )
2
sin(22cos 1)(2π
π
+
++-+=
x a x x x x f 的最大值为32+，
试确定常数a 的值.
18．（本小题满分13分）
加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为
109、9
8
、8
7， 且各道工序互不影响.
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的
概率.
19．（本小题满分13分）
设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(2
3
R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值；
（2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.
20．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上
一点，PE ⊥EC. 已知,2
1,2,2=
==
AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小. 21．（本小题满分12分）
已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其
中O 为原点）. 求k 的取值范围.
22．（本小题满分12分）
数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(2
1
1≥-
=n a b n n
（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；
（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S
数学试题（文史类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分.
1.A
2.D
3.D
4.B
5.C
6.B
7.B
8.A
9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13
4
22=+y x 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）
解：)4
sin(sin )
2
sin(
21cos 21)(22π
π
+
++--+=
x a x x x x f
)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4
sin()2()4
sin()4
sin(222π
π
π
+
+=+
++
=x a x a x
因为)(x f 的最大值为)4
sin(,32π
++x 的最大值为1，则,3222+=+a
所以,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：10
7
8798109=
⨯⨯=
P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为10
7
，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189
.0)103(10721
3=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)10
3
(13=-
解法二：
恰好取到一件合格品的概率为189.0)10
3(1072
1
3=⋅⋅
C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)10
7(103)107()103(1073
33223213=+⋅+⋅⋅C C C
19．（本小题13分）
解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2
--=++-='x a x a x a x x f
因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.
（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得
当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.
当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.
综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 20．（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.
设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故
1,1,2±===x x x
CD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.
（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.
因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.
在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,2
3212=-
因△PDC ∽△GHC ，故2
3
=⋅
=PC CG PD GH ， 又,2
3
)21(12222=-=-=
DG DE EG
故在
,4
,,π
=
∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中
即二面角E —PC —D 的大小为.4
π 解法二：
（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>
).0,2
3
,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E 由0=⋅⊥CE PE 得，
即.2
3
,0432
==-
x x 故 由CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(
， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.
（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y
即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）
， 则).,2
1
,23(n m --
= 由0212,0)2,2,0(),21
,23(0=--=-⋅--
=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).2
2
,21,23(,22,1,222-===+-
=EF n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.
故,4,22|
|||cos πθθ==
=
EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4
π
21．（本小题12分）
解：（Ⅰ）设双曲线方程为122
22=-b
y a x ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==
b b a
c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.
0)1(36)31(36)26(,
0312
222
k k k k
即.13
1
22<≠
k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319
,31262
2>+>⋅--=-=
+B A B A B
A B A y y x x k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x
.1
37
3231262319)1(2
2222
-+=+-+--+=k k k k k k k 于是
解此不等式得即,01
393,213732222>-+->-+k k k k
.33
1
2<<k ② 由①、②得 .13
1
2<<k
故k 的取值范围为).1,3
3()33,1(⋃--。