高中陕西省宝鸡市金台区高一下学期期末数学试题

陕西省宝鸡市金台区【精品】高一下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )
A ．B=A∩C
B ．B ∪C=
C C ．A ⫋C
D ．A=B=C 2．已知角θ的终边经过点(1,3)P -，则cos θ=
A ．
B ．1
3- C ．3- D 3．16tan 3
π的值为（ ）
A ．
B
C
D ．
4．已知ABC ∆中，10AB =，6AC =，8,BC M =为AB 边上的中点，则CM CA CM CB ⋅+⋅= ( )
A ．0
B ．25
C ．50
D ．100 5．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 6．已知向量,a b 不共线，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）
A ．,,A
B D B ．,,A B
C C ．,,B C
D D ．,,A C D 7．已知向量()1,1a =，()2b 4,2a +=，则向量,b a 的夹角的余弦值为（ ）
A B ．C ．2 D ．2- 8．已知()()sin 3cos sin 2πθπθθ⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭
，则2sin cos cos θθθ+=( )
A ．15
B ．25
C ．35
D 9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是6x π=
，则a 的值为（）
A ．5
B
C ．3 D
10．函数sin()2y x π
ϕ=+（2π
ϕ<）的部分图象如图所示，其中P 是图象的最高点，
,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）
A ．14
B ．13
C ．25
D ．12
11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
()sin sin 26B A C C π--=
=，则B 的大小是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56
π 12．半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）
A ．2
B ．0
C ．-2
D ．4
二、填空题
13．已知函数()cos 2cos f x x x =+，[]0,2x π∈，若直线y k =与函数()y f x =的图象有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是_____.
14．已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则λμ
=__________．
15．若θ为锐角，sin 5
θ=，则sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．
16．函数1sin y x
=+的定义域为__________； 17．已知7cos ,(π,2π)25θθ=-∈ ，则sin cos 22
θθ+= __________． 18．有下列四个说法：
①已知向量(1,2)a =， (2,)b m =-，若a 与b 的夹角为钝角，则1m <；
②先将函数sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12后，再将所得
函数图象整体向左平移6π个单位，可得函数sin(2)3
y x π=+的图象； ③函数()sin lg f x x x =-有三个零点；
④函数()sin f x x x =在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增. 其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）
三、解答题
19．已知()()()1,1,3,1,,OA OB OC a b ==-=.
（1）若,,A B C 三点共线，求,a b 的关系；
（2）若2AC AB =,求点C 的坐标.
20．已知函数()cos 22f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 的单调区间.
21．设向量()()()sin ,2cos 2sin cos 2cos sin a b c ααββββ===-，，，，． （Ⅰ）若a 与2b c -垂直，求()tan αβ-的值；
（Ⅱ）求b c -的最小值.
22．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx 2ωx (ω＞0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|
的最小值为π4
. （Ⅰ）求f (x )的表达式；
（Ⅱ）将函数f (x )的图象向右平移π8
个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的单调减区间.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由集合A ，B ，C ，求出B 与C 的并集，判断A 与C 的包含关系，以及A ，B ，C 三者之间的关系即可．
【详解】
由题B ⊆A ，
∵A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，
∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊆C ，
则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的真子集，三集合不一定相等，
故选B ．
【点睛】
此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题
2．A
【分析】
根据三角函数的定义，求出OP ，即可得到cos θ的值．
【详解】
因为1,3x y =-=，r OP ===，所以cos
10x r θ=
==-． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题． 3．C
【解析】
试题分析：16ππtan πtan 5πtan 333⎛⎫=+== ⎪⎝
⎭ 考点：诱导公式.
4．C
【分析】
三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.
【详解】
由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以5CM =，
原式=()
·
·222550CM CA CB CM CM +==⨯=. 故选C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.
5．A
【分析】
由AB DC =可得四边形为平行四边形，由AC ·BD ＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵AB DC =，
∴AB 与DC 平行且相等，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
又0AC BD ⋅=，
∴AC BD ⊥，
即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD 为菱形．
故选A ．
【点睛】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
6．A
【分析】
先计算出BD ，从而可得2BD BA =-，故可得正确选项.
【详解】
解析：∵24BD BC CD a b =+=+，2BA AB a b =-=--
∴2BD BA =-，∴,,A B D 三点共线.
故选：A.
【点睛】
本题考查共线向量，一般地，如果,a b 共线（0a ≠ ），那么存在唯一的实数λ，使得b a λ=，反之也成立，本题属于容易题.
7．C
【分析】
先求出向量b ，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．
【详解】
∵()()1,1,24,2a a b =+=，
∴()()()()4,224,221,12,0b a =-=-=．
设向量,a b 的夹角为θ，
则2cos 22||a b a b θ=
==． 故选C ．
【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量,a b 的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．
8．C
【分析】
利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得tan 2θ=，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.
【详解】
由已知()()sin 3cos sin cos 3cos sin tan 2,2πθπθθθθθθ⎛⎫++-=-⇒-=-⇒= ⎪⎝⎭
则22222sin cos cos tan 13sin cos cos .sin cos tan 15
θθθθθθθθθθ+++===++ 故选C.
【点睛】
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.
9．D
【解析】
【分析】
化简函数f （x ）＝a cos x +sin x 为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线6x π=对 称，就是6x π=
时，函数取得最值，求出a 即可． 【详解】
函数f （x ）＝a cos x +sin
x =（x +θ），其中tan θ＝a ，22ππθ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭，， 其图象关于直线6x π=
对称，所以θ62ππ+=，θ3π=，所以tan θ＝
a =
故答案为D
【点睛】
本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
10．D
【解析】 函数的周期为2π4π2
=，四分之一周期为1，而函数的最大值为1
，故
2,PA AB PB ===
cos APB ∠==，
故1tan 2
APB ∠==.
11．C
【解析】
∵sin sin()2B A C --=，
∴sin()sin()2cos sin 2
A C A C A C +--==， 又6C π
=，
∴cos 2
A =，又A 为三角形的内角，所以6A π=，故()66
B πππ=-+ 23
π=。

选C 。

12．C
【分析】
将PA PB +转化为2PO ，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.
【详解】
画出图像如下图所示，()
22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅2
222PO PC ⎛⎫+ ⎪≥-=- ⎪⎝⎭,等号在PO PC =，即P 为OC 的中点时成立.故选C.
【点睛】
本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
13．(0,1)
【分析】
画出函数f(x)在[]
0,2x π∈以及直线y=k 的图象,数形结合可得k 的取值范围.
【详解】 解:画出函数y=cosx+2|cosx|=33cos ,
[0,][,2]223
cos ,(,)22
x x x x ,
以及直线y=k 的图象,如图所示;
由f(x)的图象与直线y=k 有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.
故答案为:(0,1).
【点睛】
本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键. 14．-3
【解析】
由a b c λμ=+可知
()()()()11?
211222，，，，λμλμλμ-=-+=+-+ 2121
λμλμ+=-⎧∴⎨-+=⎩，解得35λ=-，15μ= 3λμ
∴=-
15【解析】
因为θ为锐角，sin θ=cos 5θ=，
sin sin cos 44ππθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 4πθ-=16．(2,2]()22k k k z π
π
ππ-++∈
【分析】
根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．
【详解】
依题意可得，cos 01sin 0x x ≥⎧⎨+≠⎩，解得222222k x k x k ππππππ⎧-+≤≤+⎪⎪⎨⎪≠-+⎪⎩即2222k x k ππππ-+<≤+， 故函数的定义域为(2,2]()22k k k z π
π
ππ-++∈． 故答案为：(2,2]()22k k k z ππππ-
++∈．
【点睛】 本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．
17．15
【解析】
π431(,π)sin ,cos ,sin cos 222525225θθθθθ∈∴====-∴+= 18．②③④
【分析】
根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．
【详解】
对①，若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且a 与b 不共线，即()()12201220m m ⎧⨯-+<⎪⎨⨯-⨯-≠⎪⎩
，解得1m <且4m ≠-，所以①错误；
对②，先将函数sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12
后，得函数sin 2y x =的图象，再将图象整体向左平移6π个单位，可得函数
sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭的图象，②正确； 对③，函数()sin lg f x x x =-的零点个数，即()0f x =解的个数，亦即函数sin y x =与lg y x =的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：
由图可知，③正确；
对④，()sin cos f x x x x '=+，当02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '≤，当02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，π时，()0f x '≥，故函数()sin f x x x =在02π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，④正确． 故答案为：②③④．
【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．
19．（1）a+b=2；（2）(5,-3).
【解析】
【分析】
（1）求出AB 和AC 的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出,AC AB 的坐标，根据2AC AB =得到关于,a b 的方程组，解方程组可得所求点的坐标．
【详解】
由题意知，()2,2AB OB OA =-=-，()1,1AC OC OA a b =-=--．
（1）∵,,A B C 三点共线，
∴AB ∥AC ，
∴()()()21210b a ---⨯-=，
∴2a b +=．
(2)∵2AC AB =，
∴()()()1,122,24,4a b --=-=-，
∴1414a b -=⎧⎨-=-⎩，解得53a b =⎧⎨=-⎩
， ∴点C 的坐标为()5,3-．
【点睛】
本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．
20．(1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为
()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，根据周期公式求得函数的周期；（2）由()22232k x k k Z πππππ-
+≤+≤+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增区间，由()322232
k x k k Z ，π
π
πππ+≤+≤+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

试题解析：
（Ⅰ）()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin x x =+
2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ ∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()22232k x k k Z πππππ-
+≤+≤+∈，， 得()52266
k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦ 由()322232
k x k k Z π
π
πππ+≤+≤+∈，，
得()72266
k x k k Z π
πππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调减区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
21.
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)先由条件得到2b c -的坐标，根据a 与2b c -垂直可得
4sin sin 2sin cos 4cos cos 2cos sin 0αβαβαβαβ-++=，整理得
()()4cos 2sin αβαβ-=-，从而得到()tan 2αβ-=．(Ⅱ)由b c -()2sin 2cos ,cos sin ββββ=-+得到2||53sin2b c β-=-，故当sin21β=时，||b c -取
试题解析：
（Ⅰ）由条件可得2b c -()()4sin ,2cos 2cos ,sin ββββ=--
()4sin 2cos ,2cos sin ββββ=-+，
因为a 与2b c -垂直，
所以(2)0a b c ⋅-=，
即4sin sin 2sin cos 4cos cos 2cos sin 0αβαβαβαβ-++=，
所以()()4cos 2sin αβαβ-=-，
所以()tan 2αβ-=.
（Ⅱ）由b c -()2sin 2cos ,cos sin ββββ=-+得
2||b c -=()()22
2sin 2cos cos sin ββββ-++ 53sin2β=-，
所以当sin21β=时，2||b c -取得最小值2，
所以||b c -的最小值为
22．（1）f (x )＝sin π(4)3x +
.（2）π5π[π,π],()36
k k k Z ++∈ 【解析】 试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出()g x 的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.
试题解析：
(1)f (x )＝sin 2ωx ＋
×－ ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝sin
， 由题意知，最小正周期T ＝2×＝，
T ＝＝＝，所以ω＝2，∴f (x )＝sin .
(2)将f (x )的图象向右平移个单位长度后，得到y ＝sin
的图象， 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y ＝sin
的图象． 所以g (x )＝sin
. 由3222,262
k x k k Z πππππ+≤-
≤+∈， 得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以所求的单调减区间为()5,,36k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦。