十二章复习题
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第十二章复习题
1.求微分方程[sin(ln )cos(ln )]y x x a y ′=++的通解。
解这是变量可分离的方程。
[sin(ln )cos(ln )]dy
x x a dx y
=++，两边积分得，ln [sin(ln )cos(ln )]y x x a dx
=++∫sin(ln )cos(ln )x dx x dx adx =++∫∫∫sin(ln )cos(ln )cos(ln )x x x dx x dx ax =−++∫∫sin(ln )x x ax C
=++2．求微分方程02)6(2
=+′−y y x y 的通解。
解
原方程可化成2
3
y x y dy dx −=−，用公式法可得通解是
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+=C y y x 1213。
3．求微分方程
cos )sin sin (cos cos )sin sin (cos =−+−′x y x y x y y αα
的通解。
解
−
+xdx ydy 2
2cos cos ()0cos sin cos sin sin =+xdx y ydy x a 。
积分得
()()x x y y 2sin 4
1
22sin 412+++C y x a =−sin sin sin 。
4．求微分方程)0(0)2(22
>=−+′−′′ααy y y 的通解。
解
特征方程是()0222
2
=−+−a λλ
，
1122,1−±=a λ。
当12=a
时，通解是()x
e
x C C y 21+=；
当12
>a 时，通解是()()
x
a x
a e C e C y 112
11122−−
−++=；
当
12
<a 时，通解是(
)()()x a C x a C e y x
2
22
11sin 1cos −+−=。
5.求微分方程cos sin 1y x y x ′+=的通解。
解一阶线性方程。
通解是
lncos lncos 1()
cos x
x
y e e dx C x
−=+∫()
cos tan x x C =+
6.
求微分方程322
[1()],(0)2,(0)1y y y ′′′′=+==的
特解。
解
令
y p ′=，则
dp y p
dy
′′=，所以原方程变为
(
)
3/2
21pdp dy p =
+，解之
得
11
1C =+。
由(0)2,(0)1
y y ′==得
10
C =。
所
以
p =，
即
y ′=，解
得2x C =+，再由(0)2y =得22C =。
于是所求的特解是2x =+。