东北财经大学 高等数学2A 期末试卷 11-12学年 A卷

2011-2012学年第一学期期末试卷-A 卷
高等数学A2
一、填空题（共8道题，每题3分，共24分）
1． 函数(
),arcsin f x y y = 2． 2020ln(1)lim sin x x t dt x x →+=⎰
3．
积分1+∞
⎰的敛散性为： 4． 22121(1)n n n n ∞
=+=+∑ 5． 交换累次积分的次序：100(,)x dx f x y dy =⎰⎰
6．函数ln(1)y x x =+在0x =处的Maclaurin 级数为
7．微分方程0y y '-=的通解为
8．已知函数2z x y =，则(1,1)|dz =
二、 单项选择题（共8道题，每题2分，共16分。

）
1．设函数()f x 在闭区间[0,2]上连续，若令变量2t x =，则定积分1
0(2)f x dx ⎰化为
211200
0011) () ) () ) 2() ) 2()22A f t dt B f t dt C f t dt D f t dt ⎰⎰⎰⎰ 2．设函数()f x 在(,)-∞+∞内为奇函数且可导，则下列函数中为奇函数的为
A ） sin '()f x
B ）
0(sin )()x x f t dt ⎰ C ） 0sin ()x f t dt ⎰ D) 0(())x t f t dt +⎰ 3．对函数2(,)2f x y y xy =+，点M(0,0)
A ） 不是驻点
B ）是驻点却不是极值点
C ） 是极大值点 D) 是极小值点
4．函数(,)z f x y =在00(,)M x y 点偏导数存在，则在该点处
A ） 二重极限存在
B ）连续
C ） 可微 D) 以上都不成立
5．若级数1
n n a
∞=∑收敛，1n n b ∞=∑发散，则1n n n a b ∞=∑ A ） 收敛 B ）发散 C ） 条件收敛 D) 敛散性不定
6．幂级数11n n x n
∞=∑的收敛域为 ) (1,1) ) [1,1] ) [1,1) ) (1,1]A B C D ----
7．微分方程20xdy ydx +=的通解是
A ） y cx =
B ）2y cx =
C ） c y x = D) 2c y x
= 8．微分方程0y y '+=满足初值条件0|3x y ==的特解为
A ） 3x y e -=
B ）3x y e =
C ） 3x y e -=+ D) 3x y e =+
三、 计算题：（共8道题，每题5分，共40分）
1） 计算：
120ln(1)x dx +⎰
2） 已知函数()2,ln(),y f x y x x
=+
求(,)df x y
3） 设(,)z f xy y =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y
∂∂∂
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.
4） 计算：2
sin D
y I d y σ=⎰⎰，其中D
由20,y x y x ==所围成的封闭区域
5）
计算：D I σ=
，其中：22:{(,)|14}D x y x y ≤+≤
6）
判断级数1(1)ln(1n n ∞=-∑的敛散性 ，若收敛，问是绝对收敛还是条件收敛
7） 求幂级数21
121n n x n -∞
=-∑的和函数，并求级数11(21)2n n n ∞=-∑的和
8） 设可微函数()f x ,满足：2()22
()x xf x x f t dt =++⎰，求()f x
四、 概念题（每题6分，共6分） 已知函数()22
222222ln(), 0,40, 0x y x y x y f x y x y ⎧+++≠⎪=⎨⎪+=⎩
求2(,)(0,0)(,)x y f x y x y =∂∂∂
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五、 应用题：（每题10分，共10分） 某企业生产某产品的产量3144(,)80Q x y x y =，其中x 为劳动力人数，y 为设备台数，该企业投入40万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要600元，购买一台设备需要2000元，
试求该企业最佳资金投入分配方案。

六、 证明题：（每题4分，共4分）
已知11a =，212a =且1121||||2n n n n a a a a ----≤- (2n ≥) 证明：级数
12()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。