新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题
1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为
PB 的中点，若3
cos ,3
DP AE =
，则PD =（ ）
A ．1
B ．
32
C ．3
D ．2
2．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC 与BCD △均为直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，AB AC =，1
12
CD BC =
=，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）
A ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．60,3⎛⎤
⎥ ⎝⎦
C ．(0,1]
D ．(
0,2⎤⎦
3．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线
BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）
A ．
25
B ．
105
C ．
155
D ．
215
4．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，
11D P
D B
λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）
A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，
6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）
A ．()0,6
B ．()6,+∞
C ．()
0,63
D ．()
63,+∞
6．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值
为（ ） A ．
26
B ．
36
C ．
56
D ．
13
7．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣
中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：
①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；
③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②④
D ．①②③
8．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线
1A M 与DN 所成角的大小是( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
9．已知在平行六面体1111ABCD A BC D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为
60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．5
D ．6
10．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若
OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )
A ．111,,444⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．333,,444⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．111,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．222,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
11．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）
A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1A
B ．线段1CA 的中点
C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点C
D ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C
12．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面
ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD
内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）
A 352
B ．23
C ．25-
D 332
二、填空题
13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =A 到平面11BD A 的距离为_______ .
14．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 15．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为棱11A B 的中点，则异面直线AM 与1BC 所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）.
16．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 17．已知P 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11A D 上的动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值为__________．
18．在棱长为2的正方体△ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、CD 的中点，则点B 到截面AMC 1N 的距离为_____.
19．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________ 20．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．
三、解答题
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且3AD PD ==，
33PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PC 的中点.
（1）求证：DE ⊥面PBC ； （2）若点F 在线段AB 上，且1
3
AF AB =
，求二面角C DE F --的平面角的正弦值. 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AC AA BC E F ⊥==,,,分别为侧棱
11,BB CC 中点．
（1）证明：//BF 平面11AC E ．
（2）求1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值．
23．如图，在三棱锥P ABE -中，AB AE ⊥，PA ⊥平面ABE ，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，1
22
AB AP AE ==
=.
（1）求证：//CD 平面PAB ；
（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦.
24．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，90ACB ∠=︒，点D 在棱AC 上(不同于点A ，C )，点E 为棱1CC 的中点.
（1）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值；
（2）若二面角1A BE D --的余弦值为
6
6
，求线段CD 的长. 25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，
4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．
（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值． （2）点A 到平面BDM 的距离．
26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，1
3,2
AD BC =
=，5PC =，//AD BC ，AB AC =，150BAD ∠=，30PDA ∠=．
（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于1
4
？若存在，指出点F 的位置；若不存在，请说明理由．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】
由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，
连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2
a AE =-，
由3cos ,3DP AE =2232
cos ,114
a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++
， 解得2a =. 故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a ，考查了学生的空间想象力.
2．C
解析：C 【分析】
以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA 长的取值范围. 【详解】
如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，
设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，
则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，
(1,1,1)AD =--，
异面直线PQ 与AD 成30的角，
22||3
cos302||||223
PQ AD PQ AD q λ⋅∴=
==⋅++⋅，
22182516q q λ∴+=-+， 201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，
即22
182018211
λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得2222λ-≤≤， 201,02
λλ<≤∴<≤
， 可得2||||22(0,1]PA AP λλ===∈. 故选：C. 【点睛】
利用向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
3．C
解析：C 【分析】
以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面
AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ， 则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-， 设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，
则20230
n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,3n =-， 从而10
cos ,225
n BG n BG n BG
⋅<>=
=
=⨯⋅，
故直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是2
1015155⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h
l
θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
4．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC
⋅∠=
>，即
0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】
如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，
()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，
所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，
()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，
由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC ⋅∠=>，即0PA PC ⋅>， 所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<
， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC
APC PA PC ⋅∠=>，即
0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P
=-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
5．C
解析：C
【分析】
画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.
【详解】
如下图所示：
AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.
又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO . OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，
在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30
AO OB ∴==. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.
故选C.
【点睛】
本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6．A
解析：A
【分析】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26
． 【详解】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1
,AE DC ＞2922=⋅ ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为
26
． 故选A ．
【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．
【详解】
如图，
在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ，
连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1，
直线A 1H 与直线A 1C 重合，
直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；
直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为2②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确；
垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体，
所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．
故选：D ．
【点睛】
本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．
8．D
解析：D
【分析】
可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M
与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角．
【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2，
则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，
(0,N 2，1)，
1
(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN A M DN θ⋅==⋅，90θ∴=．
∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．
故选D ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．
9．D
解析：D
【分析】
由()2211
+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果 【详解】
∵()2211
+BC CC AC AB =+ =222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6． ∴AC =6
故选D ．
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
10．A
解析：A
【分析】
如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得
131114444
OG OG OA OB OC ===++,即得(x,y,z). 【详解】
如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,
1(2AE AB AC =+)=1(2OB -2OA OC +),
121(33AG AE OB ==-2OA OC +). 因为OG =31GG =3(1OG OG -),
所以OG=
34
OG 1. 则1133(44OG OG OA AG ==+)=312111143334
44OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭ . 故答案为A
【点睛】
（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.
11．B
解析：B
【分析】
将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】
设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则1
(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44
Q ，
1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1
(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---，
由1AC 与PC 共线，可得11111t t z ---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，
因为2221
||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334
z z =-+， 2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+-25334
z z =-+， 所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得
22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28
z =-+， 所以当12c =时，||PQ 取得最小值64
，此时P 为线段1CA 的中点， 由于2||4
MN =
为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B
【点睛】 本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
12．C
解析：C
【分析】
若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解
【详解】
如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得
5DQ =，1DN MQ ==，故552NM DN MQ =--=-
故答案选：C
【点睛】
本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题
二、填空题
13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：63
【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解A 到平面11BD A 的距离
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(1
,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1
,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-， 设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，
则112020
n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 所以A 到平面11BD A 的距离2633
n BA
d n ⋅===. 故答案为：63
．
【点睛】
本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，
合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．(-123)【分析】在空间直角坐标系中点（xyz ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-xyz ）【详解】在空间直角坐标系中点（123）关于平面xoy 对称的点坐标是（-123）故答案为（-123）【点睛】本
解析：(-1，2，3)
【分析】
在空间直角坐标系中，点（x ，y ，z ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-x ，y ，z ）．
【详解】
在空间直角坐标系中，
点（1，2，3）关于平面xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）．
故答案为（-1，2，3）．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
15．【分析】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出异面直线AM 与B1C 所成的角【详解】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系设正方体ABCD ﹣
解析： 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM 与B 1C 所成的角．
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为2，
则A （2，0，0），M （2，1，2），B 1（2，2，2），C （0，2，0）， AM =（0，1，2），1
BC =（﹣2，0，2）， 设异面直线AM 与B 1C 所成的角为θ，
cosθ115AM B C
AM B
C ⋅===⋅ ∴
θ=． ∴异面直线
AM 与B 1C 所成的角为． 故答案为：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
16．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面 解析：25
【分析】
建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，2sin cos ,15m EM a α==
+⋅，因为[0a ∈，2]，所以当2
a =时，取到最小值，代入即可．
【详解】 解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =，
则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)， 设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，
1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，
由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020
y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)， 由(0,,1)EM a =，
设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，
2sin cos ,15
m EM a α==+⋅， 因为[0a ∈，2]，所以当2a =时， sin α2555=⋅， 故答案为：25
．
【点睛】
考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．
17．【解析】试题分析：因为//所以即为异面直线与所成的角为因为是正方体所以因为所以所以当时考点：1异面直线所成的角；2线面垂直线线垂直 3【解析】
试题分析：因为AB //CD ，所以PCD ∠即为异面直线AB 与CP 所成的角为α．因为1111ABCD A BC D -是正方体，所以11CD ADD A ⊥面，因为11DP ADD
A ⊂面，所以DC DP ⊥．所以cos CD CP α=，当1CP CA =时，min 13(cos )3CD CA CD α=== 考点：1、异面直线所成的角；2、线面垂直、线线垂直．
18．【分析】建立空间直角坐标系利用香炉峰能求出点B 到截面的距离得到答案【详解】如图所示建立空间直角坐标系因为棱长为2的正方体中分别是的中点所以则设平面的法向量为则取得所以点B 到截面的距离为【点睛】本题主 解析：263
【分析】
建立空间直角坐标系D xyz -，利用香炉峰能求出点B 到截面1AMC N 的距离，得到答案.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，
因为棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是11,A
B CD 的中点， 所以(2,0,0),(2,1,2),(0,1,0),(2,2,0)A M N B ，
则(0,1,2),(2,1,0),(0,2,0)AM AN AB ==-=，
设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =，
则2020y z x y +=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得(1,2,1)n =-，
所以点B 到截面1AMC N 的距离为426
36
AB n d n
⋅=
=
=.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解点到平面的距离问题，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面的法向量，利用向量法准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
19．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB
解析：
364
.
【解析】
分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．
详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中
221
431446426
a OD a -
=
=⇒-=
故全面积为：
213113+6
1114=
224a ⨯⨯⨯⨯- 36
+ 点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.
20．【详解】以AB 的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则则令所以平面的一个法向量为所以因为所
以所以所以即二面角的余弦值的取值范围是点睛：本题主要考查了空间几何 解析：99(,)1616
-
【详解】
以AB 的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
163(0,,),(0,4,0),(,0,0)(33)22
D C M a a --<<，
平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =， 设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =，
则963(0,,),(,4,0)22DC MC a =-=-，则229630022
040
n DC y z n MC ax y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎩
， 令4639,,63z x y a ==
=，所以平面DMC 的一个法向量为2463
(,63,9)n a
=， 所以
1222
99
cos ,16631663
6381144n n a a =
=
⨯⨯+++， 因为33a -<<，所以29<a ，所以2
16631663
1441442569
a ⨯⨯+>+=， 所以129cos ,16n n <
，即二面角的余弦值的取值范围是99
(,)1616
-.
点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征和二面角的计算问题，空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，利用空间向量求解空间角的关键在于“四破”：第一、破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四、破“应用公式关”.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2
【分析】
（1）由面PCD ⊥面ABCD ，BC CD ⊥可得BC ⊥面PCD ，则BC DE ⊥，又
DE PC ⊥，即可证得结论；
（2）过D 点作DC 的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为
z 轴建立空间直角坐标系，分别求得面DCE 的法向量为1n ，面DEF 的法向量为2n ，计
算即可得出结果. 【详解】
证明：（1）∵PD AD DC ==，E 为PC 中点，∴DE PC ⊥. ∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，BC CD ⊥，
∴BC ⊥面PCD ，
∵DE ⊂面PCD ，∴BC DE ⊥. ∵PC BC C ⋂=，∴DE ⊥面PBC . （2）∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，在面PCD 内，过D 点作DC
的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .如图，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为z 轴建立空间
直角坐标系， ∴()3,1,0F
，30,
4E ⎛ ⎝⎭
，()0,3,0C ，()0,0,0D ，()0,3,0DC =
，30,4DE ⎛= ⎝⎭
，()3,1,0DF =.
设面DCE 的法向量为1n ，由面PCD ⊥面ABCD ，可得()11,0,0n =，设面DEF 的法向
量为()2,,n x y z =，2200n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,
即30
430
y z x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，令1x =
，求得(21,n =-，
121cos ,13n n =
C DE F --的平面角为
θ，∴sin θ=
.
【点睛】
思路点睛：解决线面角、二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 22．（1）答案见解析；（2310
【分析】
（1）先证线线平行，即1//BF C E ，再得出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出面11AC E 的法向量为n 和向量1CB ，求出这两个向量的夹角的余弦，从而得到1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值. 【详解】
（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB 与1CC 平行且相等. 因为E ，F 分别为侧棱1BB ，1CC 的中点，所以BE 与1FC 平行且相等， 所以四边形1BEC F 是平行四边形， 从而1//BF C E .
因为1C E ⊂平面11AC E ，BF ⊄平面11AC E ，所以//BF 平面11AC E .
（2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
C xyz -，
设1BC =，则()12,0,2A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()10,1
,2B . ()112,0,0C A =，()10,1,1EC =-，()10,1,2CB =.
设平面11AC E 的法向量为(),,n x y z =， 则1110n C A n EC ⋅=⋅=，即20,
0,
x y z =⎧⎨-+=⎩
令1y =，得()0,1,1n =. 所以1310
cos
,1052
CB n =
=⨯， 故1BC 与平面11AC E 310
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）证明见解析；（2）10
10
. 【分析】
（1）利用直角三角形求出BE ，由1
2
AC BE =
可知C 是BE 的中点，由中位线求出CD
AB ，即可求证结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦. 【详解】 （1）因为
1
22
AE =，所以4AE =，又2AB =，AB AE ⊥， 所以2
2
2
2
2425BE AB AE =++=1
52
AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线， 所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点
所以CD 是ABE △的中位线，所以//CD AB ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，
所以//CD 平面PAB ．
（2）据题设知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为
x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为1
22
AB AP AE ==
=，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，
所以()040E ，
，，()120C ，，，()002P ，，，()020D ，，， 所以()042PE =-，
，，()122PC =-，，，()100CD =-，，， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z →
='''，，，
则0
n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，
所以0
x z y
=⎧⎨
='''⎩，令1y '=，则()011n →=，，， 设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10
sin PE n
PE n
θ→→
⋅=
=
⋅故直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值为1010
. 【点睛】
方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后通过斜线向量与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值得到线面角的正弦大小，属于中档题． 24．（132）1
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，根据线面角公式求解即可； （2）设(,0,0)(02)D <<，根据二面角公式及二面角1A BE D --6方程即可求解.
【详解】
(1)如图建立空间直角坐标系C 一xyz ,
则B (0,2,0)，C (0,0,2)，E (0,0,1 )，A 1(2,0,2).
11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BC EA EB ∴=-==-.
设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =,
则20
20
x z y z +=⎧⎨
-=⎩,令x = 1,则(1,1,2)n =--. 所以1113
cos ,.6||||
BC n BC n BC n ⋅<>=
=-
所以直线BC 与平面1A BE 所成角的正弦值为36
.
（2）设(,0,0)(02)D <
<，则(,2,0)BD →
=-,
设平面BED 的法向量为(,,)m x y z →
=，
则2020
x y y z λ-=⎧⎨
-=⎩,令y = 1,则2
(,1,2)m λ→=. 因为二面角1A BE D --6
所以2
2
|5|||6cos ,4||||
65m n m n m n λ
λ→
→
→
-⋅<>=
=
=
⨯+
， 解得1λ=， 所以1CD = 【点睛】
关键点点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然
后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 25．（1）22
5
；（2）22． 【分析】
（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.
（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n n
AM ⋅，即
可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】
（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， 又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，
∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，
(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，
设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，
00
n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=，
422
cos ||||25
n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉=
==⋅⋅
∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为
2
5
； （2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，
∴点A 到平面BDM 的距离4
|||cos |||2
n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为
【点睛】
方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||
n PB
n PB n PB ⋅〈⋅〉=
⋅求解；
（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式
|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.
26．（1）证明见解析；（2）点F 是线段PD 的中点． 【分析】
（1）取线段BC 中点E ，连结AE ．由已知条件推导出AE BC ⊥，PA AC ⊥．由此能证明PA ⊥平面ABCD ．
（2）以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点F 是线段PD 的中点，使直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于
14
． 【详解】
（1）证明：取线段BC 中点E ，连结AE ．
因为AD =，30PDA ∠=︒，所以1PA =． 因为//AD BC ，150=︒∠BAD 所以30B ∠=︒．
又因为AB AC =，所以AE BC ⊥，而BC = 所以2cos30BE
AC AB ==
=︒
．
因为PC =，所以222PC PA AC =+，即PA AC ⊥． 因为PA AD ⊥，且AD ，AC ⊂平面ABCD ，AD AC A =，
所以PA ⊥平面ABCD ．
（2）解：以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系如图所示，
则(0P ，0，1)，(1,3,0)B -，
3,0)C ，3,0)D ．
设1(F x ，1y ，1)z ，因为点F 在线段PD 上，
设PF PD λ=，则111
03(01)1x y z λλλ=⎧⎪
=<⎨⎪=-⎩．
即(0,3,1)F λλ-，
所以(1,33,1)FC λλ=-． 设平面PBC 的法向量为(,,)u x y z =，
则0,0u PB BC u ⋅=⋅=，所以30
230
x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，
所以(1,0,1)u =．
因为直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于
1
4
， 所以
14
FC u
FC u
⋅=
⨯． 2
14214(1)λ
λ=
⨯+-，即12
λ=． 所以点F 是线段PD 的中点． 【点睛】
关键点睛：利用向量解决空间中角的问题的关键是根据图形建立合适的空间直角坐标系和学生的计算能力.。