北京农业大学附属中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析

北京农业大学附属中学2019-2020学年高三数学理下学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2014=
A. B. C. D.参考答案：
A
3. 已知集合A={x||x+1|＜1}，B{x|y=}，则A∩B=( )
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）
参考答案：
C
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A中绝对值不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B 的交集即可．
解答：解：由A中不等式变形得：﹣1＜x+1＜1，即﹣2＜x＜0，
∴A=（﹣2，0），
由B中y=，得到x+1＞0，即x＞﹣1，
∴B=（﹣1，+∞），
则A∩B=（﹣1，0），
故选：C．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键件．
4. 设全集，集合，则
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
5. 已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.
【详解】因为，显然是奇函数，
又,所以在R上单调递增.只有C符合,
故选C．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.
6. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，
下列命题正确的是( )
A. B. ，则
C.，则
D.，则
参考答案：
B
略
7. 直线和直线平行，则a=
A．－7或－1 B．－7 C．7或1 D．－1
参考答案：
B
解：直线和直线平行，
，
解得．
故选：．
8. 面积为的正六边形的六个顶点都在球O的球面上，球心O到正六边形所在平面的
距离为，记球O的体积为V，球O的表面积为S，则的值是（）
A. 2
B. 1
C.
D.
参考答案：
B
9. 设向量和的长度分别为4和3，夹角为60°，则|+|的值为（）
A .37
B .
C .
13 D .
参考答案：
B
略
10. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1，e2，且=，若
∠F1PF2=，则双曲线C2的渐近线方程为（）
A．x±y=0B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±2y=0
参考答案：
c
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得a1=3a2，丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2，利用余弦定理即可求得c2=3a22，b2=a2，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案．
【解答】解：设椭圆C1的方程：（a1＞b1＞0），双曲线C2的方程：
（a2＞0，b2＞0），
焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
由e1=，e1=，由=，则=，则a1=3a2，
由题意的定义：丨PF1丨+丨PF2丨=2a1，丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a2，
则丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2，
由余弦定理可知：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF1丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos∠F1PF2，
则（2c）2=（4a2）2+（2a2）2﹣2×4a2×2a2×，
c2=3a22，b22=c2﹣a22=2a22，则b2=a2，
双曲线的渐近线方程y=±x=±x，即x±y=0，
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则=___________。

参考答案：
12. 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是＿＿＿＿
参考答案：
13. 若实数满足,则的最小值是
参考答案：
1
14. 设两个向量，其中．若，
则的最小值为______．
参考答案：
试题分析：,则，将代入得：
，则
，解得：
，所以，又，则，则
，则的最小值为值为.
考点：平面向量与不等式
15.
已知的定义域为,则的取值范围是. 参考答案：
答案：
16. 如图，连结函数f(x)= (x>0)上任意两点,线段AB必在AB上方，设
点C是线段AB的中点，则由图中C在C1的上方可得不等式：.请分析函数
f(x)=lg x(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到 .
参考答案：
17. 如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________
参考答案：
0.18
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度满足：）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月
份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录如下：
(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.
(Ⅱ)设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为，估计的大小？（直接写出结论即可）.
(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率.
参考答案：
见解析
【考点】复数乘除和乘方
【试题解析】
（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为7日或8日.
（少写一个扣1分）
（Ⅱ）最高温度的方差大.
（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，
则基本事件空间可以设为，共计29个基本事件由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，
所以，
所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为
.
19. 已知函数=．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，a=2，b+c=4，
求b，c．
参考答案：
(1)∵ =sin(3π+x)·cos(π?x)+cos2(+x)，
∴=(?sin x)·(?cos x)+(?sin x)
=sin 2x+=sin(2x?)+．（3分）
由2kπ?2x?2kπ+，k∈Z，
得kπ?x kπ+，k∈Z，
即函数的单调递增区间是[kπ?，kπ+]，k∈Z．（6分）
(2)由=得，sin(2A?)+=，∴sin(2A?)=1，
∵0<A<π，∴0<2A<2π，?<2A?<，
∴2A?=，∴A=，（8分）
∵a=2，b+c=4①，
根据余弦定理得，
4=+?2bccos A=+?bc=(b+c)?3bc=16?3bc，
∴bc=4②，
联立①②得，b=c=2．（12分）
20. 设函数f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；
(Ⅱ)当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；
(Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．
参考答案：
(Ⅰ)F(x)= e x+sinx－ax,.
因为x=0是F(x)的极值点,所以.
又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, .
∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意.
所以函数S(x)在上单调递增,
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立;
因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立.
当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.
故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立.
21. 已知椭圆的离心率为，且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设O为椭圆的中线，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点满足，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程.
参考答案：
解：(Ⅰ)因为椭圆的离心率，且，所以.
又.故椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为（当存在时，由题意），代入，并整理得.
解得，于是，即.
设，则.
由已知得，得，解得，于是.又，此时，.
所以，于是.
故直线与的交点的轨迹是以为直径的圆（除去两点）.
又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.
于是点的轨迹方程是，即.
或解：（前相同）由两点的坐标可得直线的方程为.
又由点坐标可得直线的方程为.
两式相乘，消去参数得.（如果只求出交点的坐标，此步不得分）又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.
故直线与的交点的轨迹方程.
22. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（1）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
参考答案：
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA AD=A,所以CE⊥平面PAD…………5分
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD
中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面
ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于 (12)
分。