新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(答案解析)(3)

一、选择题
1．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，
6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）
A ．()0,6
B ．()6,+∞
C ．()
0,63
D ．()
63,+∞
2．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3
AOB AOC π
∠=∠=，则cos ,OA BC
的值为（ ） A ．0
B ．
22
C ．12
-
D ．
12
3．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥
B ．1
2l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定
4．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<
B ．γβα<<
C ．βαγ<<
D ．αγβ<<
5．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱
11A B 上的一点，且1
(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )
A ．23
B 2
C ．
223
λ
D 25
6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣
中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：
①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；
③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②④
D ．①②③
7．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )
A ．直线BD ⊥平面1AOC
B ．1A B CD ⊥
C ．三棱锥1A BC
D -的外接球的半径为2 D ．若
E 为CD 的中点，则//BC 平面1
AOE 8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )
A 3
B ．
12
C ．
14
D ．0
9．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A ．10 B 10 C ．15D 15
10．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（ ） A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90°
11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，111
3
A F A A =
，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）
A ．γβα>>
B ．αβγ>>
C ．αγβ>>
D ．γαβ>>
12．已知a =（λ+1，0，6），b =（2λ+1，2μ﹣1，2）．若//a b ，则λ与μ的值分别为（ ） A ．﹣5，﹣2
B ．1152
--，
C ．5，2
D ．2152
-，
二、填空题
13．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____． 14．已知空间向量(1,0,0)a =，13
(,
,0)22
b =，若空间向量
c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，
且对任意,x y R ∈，()()
00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 15．长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，直线1AB 和1AC 的夹角的余弦值为__________.
16．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为__________． 17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：
① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；
③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.
18．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________ 19．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.
20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．
三、解答题
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．
（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；
（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为1
3
，求PE 的长．
22．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA
A B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .
（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；
（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值是57
19
？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.
23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．
（1）若//PB 平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由．
（2）设2AB AP ==，3AD =，若1
3PE PD =，求二面角P AC E --的正弦值．
24．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，
3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.
（1）求证：//EF 平面SAB ；
（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.
25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.
（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；
（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值. 26．如图，在四棱锥 P -ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，AB =2，PC =4
（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD
（2）在线段PA 上是否存在一点N ，使得二面角A -BD -N 313
N 的位置；若不存在，请说明理由
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
画出已知图形，可得出OBC 是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段
BC 长的范围即可求出.
【详解】 如下图所示：
AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.
又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .
OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，
在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30
AO
OB ∴=
=.
在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即
063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.
故选C. 【点睛】
本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．A
解析：A 【分析】
利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】
由题意，可知OB OC =，
则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅
cos
cos
3
3
OA OC OA OB π
π
=⋅-⋅1
()02
OA OC OB =
⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．A
解析：A
【分析】
求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系． 【详解】
由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，
2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．
4．A
解析：A 【分析】
根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果. 【详解】
根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然α，β，(0,
]2
π
γ∈，因为a b >，
异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ，根据三角形1AD C 中的余弦定理得到
2222
11
cos 21()
a b a b a
α==>++，故(0,)3πα∈，同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到：
22
2
1
cos 222()1a a b b
β=
=
<⋅+⋅+，故(,)32
ππβ∈， 连接AC ，则AC 垂直于BD ，CE 垂直于BD ，AC 交CE 于C 点，故可得到BD 垂直于面ACE ，进而得到BD 垂直于AE ，而BD 平行于11D B .从而得到2
π
γ=，故αβγ<<. 故答案为A. 【点睛】
这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.
5．D
解析：D 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 . 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，
()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，
设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =， 则12020
n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨
⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，
∴点G 到平面1D EF 的距离为 225
5
EG n d n
⋅=
=
=，故选D. 【点睛】
本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．
【详解】
如图，
在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ， 连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1， 直线A 1H 与直线A 1C 重合，
直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确； 直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为arctan
2
2
，故②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体， 所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误． 故选：D ． 【点睛】
本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．
7．B
解析：B 【分析】
通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A 正确；对于B 选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C 根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行. 【详解】
因为ABCD 是正方形，故得到BD AC ⊥,折叠之后得到1BD OA ⊥，
BD OC ⊥,1
O A OC O ⋂= 故得到BD ⊥面1
AOC ,进而得到A 选项正确； 假设1A B CD ⊥，又因为11A B A ⊥D ，进而得到1A B ⊥面1ACE ,则11A B AC ⊥,三角形
1A BC ,BC=2=1 2,A B =不可能满足直角关系，故B 错误.
三棱锥1A BCD -，的外接球的球心在O 点处，因为OC=OD=OB=O 1A ，此时球的半径为2C 正确；
若E 为CD 的中点，则//BC OE ,OE 在平面1AOE 内，故得到//BC 平面1AOE ，D 正确； 故答案为B. 【点睛】
直线与平面垂直的概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的
一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭
. 8．C
解析：C
【分析】
建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】
以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：
()10,1,2A -,()3,0,0B ，()13,0,2B ，()0,1,0C ，
向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--， 11
cos ,A B BC <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯22222=⨯14
=. 本题选择C 选项.
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．B
解析：B
【分析】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．
【详解】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，
∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，
设平面1B BD 的法向量为()
,,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1
n BB ⊥， ∴220 20x y z --=⎧⎨=⎩
，令y 1=，则() 110n =-，，， ∴10cos ,5n BE
n BE n BE ⋅=
=⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10sin cos ,5
n BE θ==
B ． 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题． 10．C
解析：C
【分析】
先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小.
【详解】
1cos ,1⋅<>===⨯⋅m n
m n m n ，即,=45︒<>m n ， 所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.
答案：C
【点睛】
本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
11．D
解析：D
【分析】
过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC
为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．
【详解】
解：因为1AB AC ==，1BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，
1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0，1(2
O ，12，0)，(0E ，0
，1(1B
，1， 11
1(,22OB =，11(,
22OE =--， 11
(,22OF =-
，1EB =，EF =， 设平面1OB E 的法向量()
,,m x y z =
，
则111·02211·0222m OB x y m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪
=--+=⎪⎩
，取1x =，得()1,1,0m →=-，
同理可求平面1OB F 的法向量(52,n =-，
平面
OEF 的法向量2(2p =-，平面1EFB 的法向量2(,2q =-． ∴461cos 61||||m n m n α==434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||
m q m q γ==． γαβ∴>>．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
12．D
解析：D
【分析】
利用共线向量的性质直接求解．
【详解】
(1a λ=+，0，6)，(21b λ=+，21μ-，2)，
//a b ，
∴6(21)2(1)λλ+=+，且021μ=-， 解得25λ=-，12
μ=． λ∴与μ的值分别为21
,52-．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了空间中共线向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题
13．【解析】【分析】取MC 中点O 连结AOBO 推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1AO ＝BO ＝AO ⊥MCAO ⊥平面BMCAO ⊥BO 由此能求出AB 两点之间的距离【详解】取MC 中点O 连结AOBO ∵△ABC 中∠C ＝ 10【解析】
【分析】 取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝
32BO ＝72
，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离．
【详解】
取MC 中点O ，连结AO ，BO ，
∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点，
∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，
∴AO 21
31()2- BO 22011172cos1201214222BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+
-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，
将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，
AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，
∴A ，B 两点之间的距离|AB |22371044BO AO +=
+=, 故答案为：
102
． 【点睛】 本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题 解析：22【分析】
设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．
【详解】 解：空间向量(1,0,0)a =，13(,22
b =， 设空间向量(),,
c m n z =，
2c a ⋅=，52c b ⋅=， 2m ∴=，1
35222
m n += 2m ∴=，3n =，
∴空间向量()2,3,c z =，
又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=，
则||1z =，
故()22223122c =++=，
故答案为：22
【点睛】
本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．
15．【分析】建立空间直角坐标系设出各点坐标利用向量数量积求即得和夹角余弦值【详解】以D 为坐标原点DADCDD1所在直线为xyz 轴建立空间直角坐标系则所以因为所以直线和的夹角的余弦值为故答案为:【点睛】本
解析：3010
【分析】
建立空间直角坐标系，设出各点坐标，利用向量数量积求11cos ,AB AC <>
，即得1AB 和1AC 夹角余弦值.
【详解】
以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则
11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,0)A A B C
所以11(0,1,2),(1
,1,2),AB AC ==-- 因为111430cos ,1056AB AC -<>==- 所以直线1AB 和1AC 的夹角的余弦值为
3010 故答案为:
3010
【点睛】 本题考查利用向量求线线角，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．（00）【详解】解：由题意设C （00z ）∵C 与点A （-417）和点B （35-2）等距离∴|AC|=|BC|∴点C 的坐标为（00）
解析：（0，0，
）
【详解】
解：由题意设C （0，0，z ），
∵C 与点A （-4，1，7）和点B （3，5，-2）等距离，
∴|AC|=|BC|， 22
161(7)925(2)18z 28z 4=19
z z ∴++-=+++∴=， ∴点C 的坐标为（0，0，149
） 17．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x 列出AE+EC1关于x 的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解 解析：①③④
【分析】
由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．
【详解】
如图，
∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，
∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；
当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ，
∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；
由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，
∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确； 设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC
1=
由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知， 其最小值为
④正确．
故答案为①③④
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题 18．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB
解析：4
. 【解析】
分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．
详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD
中
6OD ==⇒=
故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯
点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.
19．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定
解析：)
【解析】
分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得
22233cos 22
VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，
连接,,VD CD VC ，则2
VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，
可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，
在三角形VDC 中由余弦定理可得，
22
22cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22
a a VDC =-∠
22030VC a VC <<⇒<<，
即VC 的取值范围是()，
为故答案为()
.
点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为：
解析：【解析】 根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++
214CA BD =⋅==
故答案为：
三、解答题
21．（1）证明见解析 ；（2）PE =
【分析】
（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，由//OE PB 即可证明；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.
【详解】
（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，
因为O ，E 分别为BD ，PD 的中点，
所以//OE PB
又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，
所以//PB 平面AEC
（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以PA AC ⊥，由1PA =，3PC =，得2AC =，
因为底面ABCD 为菱形且1AB =，所以222AB BC AC +=，
所以AB BC ⊥，所以底面ABCD 为正方形，从而,,AB AD AP 两两互相垂直， 分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，
不妨设(0,1,1)PE PD λλ==-，
所以(0,0,1)(0,,)(0,,1)AE AP PE λλλλ=+=+-=-，
(1,1,0)AC =，(1,1,1)PC =-，
设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，
由()100
n AE
y z x y n AC λλ⎧⊥⎧+-=⎪⇒⎨⎨+=⊥⎩⎪⎩，
令1x =，则1y =-，1z λλ=
-，所以1,1,1n λλ⎛
⎫=- ⎪-⎝⎭
，
设直线PC 与平面AEC 所成角为α，
则sin |cos ,|||||
31PC n
PC n PC n α⋅=〈〉=
=
⋅．
由1sin 3α=，解方程得12λ=，故2
PE =．
【点睛】
方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后求直线与法向量的夹角，取绝对值可得线面角的正弦值．
22．（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【分析】
（1）先证11//B E C D ，再根据线面平行判定定理即可证明命题；
（2）取BC 中点G ，根据AG ，AD ，1AA 两两互相垂直建立坐标系，设点(0,,0)M t 分别求得平面11MA B 和平面111A B D 的法向量，再由二面角公式解得t 值，从而确定M 的位置. 【详解】
（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11
B C E //D =， 故四边形11B EDC 为平行四边形.
11//B E C D =，1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂
/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C ，
（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，
120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，
所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.
以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系
A xyz -.
由2AB =，得3AG =(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.
1(0,0,1)A ，131,122B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭，
()10,,1A M t =-，1131,022A B ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则
1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即31022
x y ty z -=⎪
⎨⎪-=⎩
可取()
11,3,3t n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n = 由12
21212
357cos ,133n n n n n n t t ⋅=
=
=
++‖1
2
t =，
故M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 23．（1）点E 是PD 的中点，详见解析；（2361
. 【分析】
（1）点E 是PD 的中点，连接BD 交AC 与点O ，连接OE ，由中位线定理得到//OE PB ，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平
面PAC 的一个法向量()111,,m x y z =，平面ACE 的一个法向量()222,,n x y z =，设二面角
P AC E --为θ，由cos m n m n
θ⋅=
⋅求解.
【详解】
（1）点E 是PD 的中点，如图所示：
连接BD 交AC 与点O ，连接OE ， 所以//OE PB ，
又PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()40,0,2,0,0,0,2,3,0,0,3,0,0,1,3P A C D E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭,
所以()()42,3,0,0,0,2,0,1,3AC AP AE ⎛
⎫=== ⎪⎝
⎭，
设平面PAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，
则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即 111230
20x y z +=⎧⎨=⎩， 令 1113,2,0x y z ==-=，则()3,2,0m =- 设平面ACE 的一个法向量为()222,,n x y z =，
则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 2221230
4
03x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
， 令 22233,2,2
x y z ==-=
，则33,2,2n ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，
设二面角P AC E --为θ, 所以213cos 61
m n m n
θ⋅
=
=⋅，
所以
sin θ=. 【点睛】
方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝
AC BD AC BD
⋅⋅.
2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向
向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
24．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出 平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；
（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.
【详解】
（1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点， ∴//FI SA ，//IE AB ，且FI EI I =，
∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ，
同理AB 平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ，
又∵FI
EI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，
又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FI IE I =，
∴平面//EFI 平面SAB ，
∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .
（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，
设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 因为2SD =，SB SC =，2EF =，
所以2
22
222222
2224((1)(2)3422x y z x y z x y z y z ⎧⎪++=⎪⎪-+-+=+-+⎨⎪-⎛⎫⎛⎫⎪
++=
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎩，
求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-， 设(,,)n x y z =⊥平面SBC ， ∴320220
n SB x y z n
SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨
⋅=-=⎪⎩，令1y =，则1,z x ==，
所以3,1,13n ⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭
，因为AD ⊥平面SCD ，所以取(1
,0,0)m =为平面SCD 的法向量， ∴cos |cos ,|1
m n m n m
n
θ⋅=〈〉=
=
=
⋅+ 所以二面角
B S
C
D -- 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S 点坐标，考查了空间想象力及计算能力. 25．（12）23
. 【分析】
以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.
（1）写出1A B 、1C D 的坐标，计算出11cos ,A B C D <>的值，即可得出异面直线1A B 与
1C D 所成角的余弦值；
（2）计算出1ADC 的一个法向量的坐标，可知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，利用空间向量法可求得平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值. 【详解】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，
以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 如下图所示：
则由题意知()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,4A 、()12,0,4B
、()10,2,4C 、()1,1,0D .
（1）()12,0,4A B =-，()11,1,4C D =--，
111111310
cos ,2532
A B C D A B C D A B C D
⋅<>=
=
=⨯⋅ 所以，异面直线1A B 与1C D 310 （2）易知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，
设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AD =，()10,2,4AC =，
由100
m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得0240x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2y =-，则2x =，1z =， 所以，平面1ADC 的一个法向量为()2,2,1m =-，
22
cos ,33
m n m n m n
⋅-<>=
=
=-⋅， 因此，平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值为2
3
. 【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 26．（1）证明见解析；（2）存在，点N 为AP 的中点. 【分析】
（1）取AB 的中点O ，连接PO ，由面面垂直的性质得PO ⊥平面ABCD ，得出
PO AD ⊥，从而说明AD ⊥平面PAB ，即可得证；
（2）以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可说明. 【详解】
（1）证明：取AB 的中点O ，连接PO ，
∵PAB △为正三角形，∴PO AB ⊥，
又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， ∴PO ⊥平面ABCD ， 又AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥， 又∵AD AB ⊥，AD PO ⊥，且PO AB O ⋂=， ∴AD ⊥平面PAB ． 又∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ．
（2）以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
在直角PCB 中，4PC =，2PB =，∴23BC =， ∴(1,0,0),(1,0,0),(1,23,0)A B D -， 设AN AP λ=，则(1,0,3)N λλ-， 则()
2,23,0BD =，()
23BN λλ=-， 设平面BND 的一个法向量(,,)n x y z =，
则·0·0n BD n BN ⎧=⎨=⎩，即()2230
230x x z λλ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，
令3x =23,1,1n λ⎛
⎫=--
⎪⎝⎭
，
而平面ABD的法向量(0,0,1)
m =，
2
1
||||
4
n m
n m
λ
-
⋅
==
⋅⎛
+
1
λ=-（舍）或
1
2
λ=，
∴当点N为AP的中点时，二面角A BD N
--的余弦值为
13
．
【点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。