统计复习及答案

一. 一家产品销售公司在30个地区设有销售分公司。

为研究产品销售量(y )与该公司的销售价格（x 1）、各地区的年人均收入(x 2)、广告费用(x 3)之间的关系，搜集到30个地区的有关数据。

利用Excel 得到下面的回归结果（05.0=α）：
方差分析表
（1） 将方差分析表中的所缺数值补齐。

（2） 写出销售量与销售价格、年人均收入、广告费用的多元线性回归方程，并解释各
回归系数的意义。

（3） 检验回归方程的线性关系是否显著？ （4） 计算判定系数2
R ，并解释它的实际意义。

计算估计标准误差y s ，并解释它的实际意义。

（
3215012.06107.808861.1171025.7589ˆx x x y
++-=。

8861.117ˆ1-=β表示：在年人均收入和广告费用不变的情况下，销售价格每增加一个单位，销售量平均下降117.8861个单位；6107.80ˆ2
=β表示：在销售价格和广告费用不变的情况下，年人均收入每增加一个单位，销售量平均增加80.6107个单位；
5012.0ˆ3
=β表示：在年销售价格和人均收入不变的情况下，广告费用每增加一个单位，销售量平均增加0.5012个单位。

（3）由于Significance F=8.88341E-13<05.0=α，表明回归方程的线性关系显著。

（4）%36.897
.134585861
.120267742
===
SST SSR R ，表明在销售量的总变差中，被估计的多元线性回归方程所解释的比例为89.36%，说明回归方程的拟合程度较高。

（5）67.2347.550691
===--=
MSE k n SSE
s e 。

表明用销售价格、年人均收入和
广告费用来预测销售量时，平均的预测误差为234.67。

一. 一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他
的行使时间（小时）行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20个出租车司机，根据每天的收入（y ）、行使时间（1x ）和行驶的里程（2x ）的有关数据进行回归，
（1） 写出每天的收入（y ）与行使时间（1x ）和行驶的里程（2x ）的线性回归方程。

（2） 解释各回归系数的实际意义。

（3） 计算多重判定系数2
R ，并说明它的实际意义。

（4） 计算估计标准误差y S ，并说明它的实际意义。

（5） 若显著性水平α＝0.05，回归方程的线性关系是否显著？（注：
59.3)17,2(05.0=F ）
（1）回归方程为：2146.016.938.42ˆx x y
++=。

（2）16.9ˆ1
=β表示：在行驶里程不变的情况下，行驶时间每增加1小时，每
天的收入平均增加9.16元；46.0ˆ2
=β表示：在行驶时间不变的情况下，行驶里程每增加1公里，每天的收入平均增加0.46元。

（3）%17.855205
29882298822
=+==
SST SSR R 。

表明在每天收入的总变差中，被估计的多元线性回归方程所解释的比例为85.17%，说明回归方程的拟合程度较高。

（4）50.171
2205205
1=--=
--=
k n SSE
s e 。

表明用行驶时间和行驶里程来预测每天的收入时，平均的预测误差为17.50元。

（5）提出假设：0H ：021==ββ，1H ：21ββ，至少有一个不等于0。

计算检验的统计量F ：
80.481
22052052
298821=--=--=
k n SSE k SSR F
于59.3)17,2(80.4805.0=>=F F ，拒绝原假设0H 。

这意味着每天收入与行驶时间和行驶里程之间的线性关系是显著的。

一家大型商业银行在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。

试建立不良贷款y 与贷款余额x1、累计应收贷款x2、
贷款项目个数x3和固定资产投资额x4的线性回归方程，并解释各回归系数的含义
1. 以不良贷款y 为因变量，贷款余额x1、累计应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资产
投资额x4为自变量建立四元线性回归模型，Excel 的输出结果如下表，请填写方差分析表中的下划线部分：
回归统计
Multiple R*****
R Square0.79760399
标准误差 1.77875228
观测值*****
方差分析
df SS MS F Significance F 回归分析****** ***** ******** ****** 1.03539E-06
残差***** ***** *******
总计****** 312.6504
Coefficients标准误差t Stat P-value
Intercept-1.02163980.78237236-1.3058229250.20643397
各项贷款余额（亿元）******0.01043372 3.837495340.00102846
本年累计应收贷款（亿元）0.14803389******* 1.8787377980.07493542
贷款项目个数（个）0.014529350.08303316*******0.86285269
本年固定资产投资额（亿元）-0.02919290.01507297-1.9367689210.06703008
回归统计
Multiple R0.89308678
R Square0.79760399
Adjusted R Square0.75712479
标准误差 1.77875228
观测值25
方差分析
df SS MS F Significance F 回归分析4249.37120662.3428015619.7040442 1.03539E 残差2063.2791938 3.163959689
总计24312.6504
Coefficients标准误差t Stat P-value
Intercept-1.02163980.78237236-1.3058229250.20643397
各项贷款余额（亿元）0.040039350.01043372 3.837495340.00102846
本年累计应收贷款（亿元）0.148033890.07879433 1.8787377980.07493542
贷款项目个数（个） 0.01452935 0.08303316 0.174982537 0.86285269 本年固定资产投资额（亿元）
-0.0291929
0.01507297
-1.936768921
0.06703008
2、写出回归方程，并分析其回归系数的意义
3、设显著性水平α为0.05，对回归方程的显著性进行检验
4、计算残差平方和决定系数
5、对回归系数2ˆ
β进行显著性检验。

2. 以单位产品成本AC 为因变量，产量Q 和技术改进支出T 为自变量建立二元线性回归模
型，Excel 的输出结果如下表，请填写方差分析表中的下划线部分：
回归统计
Multiple R 0.989028061 R Square 0.978176505 Adjusted R Square 0.971941221 标准误差 0.625760222 观测值 10
自由度 平方和
均方
F
p 值 回归分析 _______ _______ _______ _______ 0.0000
残差 _______ _______ _______ 总计 _______
128.6
系数 标准误差
t 统计量
P-值 截距
79.26543089
_______ 126.9434402
4.96E-13
产量（千件）
-0.75456545 0.236593469 ______ 0.018259 技术改进支出（万元）
_______ 0.281584338 -1.35469377 0.217609
3. 根据回归结果计算自变量和因变量的相关系数。

4. 设显著性水平α为0.05，对回归方程的显著性进行检验。

5. 写出回归方程，并分析其回归系数的意义。

（15分）
要求：遵循综合指数编制的一般原则，计算 （1） 三种产品的产量总指数和价格总指数。

解：根据已知资料计算得：
单位：元
（1）产量总指数：
%
43.4114431.1520800
600590
01===
=
∑∑p
q p q I q
（2分）
价格总指数：%
87.0130873.100
6059780000
1
11===
=
∑∑p
q p q I p （2分）
什么是回归分析中的随机误差项和残差？它们之间的区别是什么？
答：随机误差项U t 反映除自变量外其他各种微小因素对因变量的影响。

它是Ｙt 与未知的总体回归线之间的纵向距离，是不可直接观测的。

（2.5 分）。

残差ｅt 是Ｙt 与按照回归方程计算的t Y ˆ
的差额，它是Ｙt 与样本回归线之间的纵向距
离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算出ｅt 的具体数值。

利用残差可以对随机误差项的方差进行估计。

（2.5分）
某汽车生产商欲了解广告费用x 对销售量y 的影响，收集了过去12年的有关数据。

根据计算得到以下方差分析表，求A 、B 的值，并说明销售量的变差中有多少是由于广告费用的变
2、A=SSE / (n-2) = 220158.07 / 10 =22015.807 2分 B=MSR / MSE =1422708.6 / 22015.807 =64.6221 2分
21422708.60
86.60%1642866.67
SSR R SST =
==
1分 表明销售量的变差中有88.60%是由于广告费用的变动引起的。

1分
计算下列指数：①拉氏加权产量指数；②帕氏单位成本总指数。

解：
① 拉
氏
加
权
产
量
指
数
=1
000
00
1.1445.4 1.13530.0 1.08655.2
111.60%45.430.055.2q p q q p q ⨯+⨯+⨯==++∑∑
5分
②
帕
氏
单
位
成
本
总
指
数
=
1
1
1
00
53.633.858.5
100.10%1.1445.4 1.13530.0 1.08655.2
q p q q p q
++=
=⨯+⨯+⨯∑∑
根据下面的方差分析表回答有关的问题:
注：试验因素A 有三个水平。

⑴写出原假设及备择假设；
⑵写出SST ，SSA ，SSE ，e A T f f f ,,，MSA ，MSE ，n 以及P 值； ⑶判断因素A 是否显著。

⑴ 原假设 3210:μμμ==H 1分
备择假设 ()3,2,1:1=i H i μ不全等
⑵ SST=0.001245 SSA=0.001053 SSE=0.000192 14=T f
2=A f 12=e f MSA=0.000527 MSE=0.000016 15=n
P 值=1.34E-05 4分 ⑶ F 值=32.91667>()88529.312,2=αF
拒绝原假设,因素A 显著。

1分
某汽车生产商欲了解广告费用x 对销售量y 的影响，收集了过去12年的有关数据。

通过计算得到下面的有关结果：
参数估计表
①求A 、B 、C 的值；②销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的？
③销售量与广告费用之间的相关系数是多少？④写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。

⑤检验线性关系的显著性 （a =0.05）
解
（1）A=SSR / 1=1422708.6 B=SSE / (n-2)=220158.07/10=22015.807 C=MSR / MSE=1422708.6/22015.807=64.6221 2分 （2）2
1422708.60
86.60%1642866.67
SSR R SST =
== 2分 表明销售量的变差中有88.60%是由于广告费用的变动引起的。

(3)0.93R =
== 2分
(4)估计的回归方程：
ˆ363.6891 1.420211y
x =+ 1分 回归系数1
ˆ 1.420211β=表示广告费用每增加一个单位，销售量平均增加1.420211个单位。

1分
（5）检验线性关系的显著性：
H 0 ：01=β
∵Significance F=2.17E-09＜α=0.05
∴拒绝H 0，, 线性关系显著。

2分
4、某企业三种产品的出口价及出口量资料如下：
（1）计算拉氏出口量指数；(2)计算帕氏出口价指数
解：
01
001101
100828010001206596000
(1)121.21%
10080808001206079200
15082140
100012065160100
(2)166.77%
100828010001206596000
q p
p q I p q p q I p q
⨯+⨯+⨯=
===⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=
=
==⨯+⨯+⨯∑∑∑∑
附: ∑-=1
2)(i y y i =1830 ∑-=1
2)(i y y i =1769.65 4.3=x 48=y
=∑x 273 =∑xy 980
要求：
. ① 计算估计的回归方程；
②检验线性关系的显著性（α=0.05）。

附F 0.05(1,5)=6.61 F 0.05(5,1)=230.2 F 0.05(1,3)=10.13 F 0.05(3,1)=215.7 F 0.025(1,5)=10.01 F 0.025(1,3)=17.44
现有某地区的啤酒销量数据如下，
年/季啤酒销售量
(Y)
年/季
啤酒销售量
(Y)
2000/1252004/129 232242
337355
426438 2001/1302005/131 238243
342354
430441 2002/129
239
350
435
2003/130
239
351
437
为了计算季节指数，有如下步骤
年/季啤酒销售量
(Y)
C比值y/c
2000/125
232
33730.625 1.208163
426320.8125 2001/13033.3750.898876 23834.5 1.101449
34234.875 1.204301
43034.8750.860215 2002/129360.805556 23937.625 1.036545
35038.375 1.302932
43538.50.909091 2003/13038.6250.776699 239391
35139.125 1.303514
43739.3750.939683 2004/12940.250.720497
__________________________________________________
24240.875 1.027523
35541.25 1.333333
43841.6250.912913
2005/13141.6250.744745
24341.875 1.026866
354
441
1：第C列第一个数据30.625的计算依据是什么？写出30.625的计算过程
2：试计算季节指数
3：以2000年的数据计算分离了季节因素后的数据，并解释新得到的数据的意义
__________________________________________________。